Die étale oder algebraischen Grundgruppe ist eine Entsprechung in der algebraischen Geometrie, für die Systeme, von den üblichen Fundamentalgruppe topologischer Räume.

Topologische Analog / informelle Diskussion

In der algebraischen Topologie wird die Fundamentalgruppe π1 eines spitzen topologischen Raum wie die Gruppe der Homotopieklassen von Schleifen bei x auf der Basis definiert. Diese Definition funktioniert gut für Räume wie reelle und komplexe Mannigfaltigkeiten, gibt aber zu unerwünschten Ergebnissen für eine algebraische Vielfalt mit der Zariski-Topologie.

In der Klassifikation der Überlagerungen wird gezeigt, dass die Fundamentalgruppe ist genau die Gruppe von Deck Transformationen der universellen Überlagerungsfläche. Dies ist vielversprechender: Finite étale Morphismen sind die entsprechenden analog Überlagerungen. Leider eine algebraische Varietät X oft nicht um eine "universelle Abdeckung", die endlich über X zu haben, so muss man die gesamte Kategorie der endlichen étale Verkleidungen der X. betrachten Man kann dann definieren die étale Grundgruppe als inverse Limit von endlichen Automorphismus Gruppen.

Formale Definition

Sei a verbunden und lokal noethersch Schema sein, lassen ein geometrischer Punkt und lassen Sie die Kategorie der Paare, so dass eine endliche étale Morphismus von einem Schema Morphismen in dieser Kategorie ist sein sind Morphismen als Systeme über diese Kategorie hat eine natürliche Funktor auf der Kategorie Sätze, nämlich die functor

geometrisch dies ist die Faser von mehr und abstrakt ist es die Yoneda Funktor von der Funktor corepresented nicht darstellbar ist, ist es jedoch pro-darstellbare, in der Tat von Galois deckt der. Das bedeutet, dass wir eine projektive System, durch eine gerichtete Menge indiziert, wo die sind Galois deckt der, dh endlichen étale Regelungen über, so dass. Es bedeutet auch, dass wir einen Isomorphismus von Funktoren gegeben

Insbesondere haben wir einen markierten Punkt der projektiven Systems.

Für zwei solcher die Karte induziert ein Gruppenhomomorphismus, die eine projektive System der Automorphismengruppen aus der projektiven System erzeugt. Wir machen Sie dann die folgende Definition: Die étale grundlegende Gruppe von ist der Limes

mit dem Limes-Topologie.

Der Funktor ist jetzt ein Funktor von der Kategorie der endlich und stetig -Sets und stellt eine Äquivalenz von Kategorien zwischen und die Kategorie der endlich und stetig -Sets.

Beispiele und Sätze

Die grundlegendste Beispiel für eine grundlegende Gruppe π1, die grundlegende Gruppe eines Körpers k. Im Wesentlichen per Definition kann die Grundeinheit der k gezeigt isomorph zum absoluten Galoisgruppe Gal sein werden. Genauer gesagt, ist die Wahl eines geometrischen Punkt der Spec äquivalent zu geben ein lösbar geschlossenen Erweiterungskörper K, und die Fundamentalgruppe in Bezug auf diesen Basispunkt identifiziert sich mit der Galoisgruppe Gal. Diese Interpretation des Galois-Gruppe wird als Grothendieck ist Galoistheorie bekannt.

Allgemeiner gesagt, für jede geometrisch verbunden Vielzahl X über einem Körper k gibt es eine genaue Abfolge der proendliche Gruppen

Regelungen über einem Körper der Charakteristik Null

Für ein Schema X, die von endlichem Typ über C ist, die komplexen Zahlen, gibt es eine enge Beziehung zwischen der étale grundlegende Gruppe von X und dem üblichen, topologisch, Fundamentalgruppe X, die komplexe analytische Raum angebracht, um X. Die algebraischen Grund Gruppe, wie sie üblicherweise in diesem Fall aufgerufen wird, ist der proendliche Fertigstellung π1. Dies ist eine Folge der Riemannschen Existenzsatz, der besagt, dass alle Finite étale Verkleidungen der X stammen aus denen der X. Insbesondere als Grundeinheit der glatten Kurven über C ist gut verstanden, dies bestimmt die algebraischen Grundgruppe. Ganz allgemein ist die Grundeinheit der eine richtige Regelung über jede algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik Null bekannt, da eine Erweiterung algebraisch abgeschlossen Felder induziert isomorph Grundgruppen.

Regelungen über ein Feld von positiver Charakteristik und der zahme Fundamentalgruppe

Für ein algebraisch abgeschlossener Körper k der positive Eigenschaft, die Ergebnisse sind unterschiedlich, da Artin-Schreier Beläge in dieser Situation existieren. Beispielsweise ist die grundlegende Gruppe der affinen Linie nicht topologisch endlich erzeugt. Das zahme Fundamentalgruppe von rund Schema U ist ein Quotient aus den üblichen Fundamentalgruppe U, die nur Abdeckungen, die zahm entlang D, wobei X für einige Kompaktifizierung und D ist das Komplement von U in X. Zum Beispiel verzweigt werden berücksichtigt, die zahme Fundamentalgruppe der affinen Linie ist Null.

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