Zelluläre Homologie

In der Mathematik zelluläre Homologie in der algebraischen Topologie ist ein Homologietheorie für die Kategorie der CW-Komplexen. Es stimmt mit singulären Homologie, und kann ein wirksames Mittel zur Berechnung von Homologie-Module bieten.

Definition

Wenn ein CW-Komplex mit n-Skelett werden die zellulären Homologie Modulen als Homologiegruppen des Zellenkette definierter

denen wird genommen, um die leere Menge ist.

Die Gruppe

ist freie abelsche, mit Generatoren, die mit den -Zellen der identifiziert werden können. Sei eine -cell der, und sei das Anbringen Karte. Dann betrachten wir die Zusammensetzung

wo die erste Karte identifiziert mit über das Kennfeld, ist das Objekt ein -cell von X, die dritte Karte ist der Quotient der Karte, die bis zu einem Punkt zusammenbricht, und die letzte Karte identifiziert mit über das Kennfeld.

TRENNLINIENPLANS

Dann wird durch die Formel

wobei der Grad der und die Summe über alle -Zellen der als Generatoren als ausgeführt.

Andere Eigenschaften

Man sieht von der zellulären-Kettenkomplex, dass die -skeleton ermittelt alle unteren eindimensionalen Homologie-Module:

für.

Eine wichtige Folge dieser zellulären Perspektive ist, dass, wenn ein CW-Komplex hat keine Zellen in aufeinanderfolgenden Maßen, dann alle seine Homologie Module frei sind. Beispielsweise der Komplex projektiven Raum hat eine Zellstruktur mit einer Zelle in jedem geradzahligen Dimension; Daraus folgt, dass für die,

und

Verallgemeinerung

Atiyah-Hirzebruchsche Spektralfolge ist analog im Verfahren zur Berechnung der Homologie eines CW-Komplex für eine beliebige außerordentliche Homologie Theorie.

Euler-Charakteristik

Für eine Zellkomplex, lassen ihre -ten Gerüst und werden die Zahl der -Zellen, dh der Rang der freien Moduls. Die Euler-Charakteristik der wird dann definiert durch

Die Euler-Charakteristik ist eine Homotopie invariant. In der Tat, in Bezug auf die Zahl von Betti,

Dies kann wie folgt begründet werden. Betrachten Sie die lange exakte Sequenz von relativen Homologie für die dreifache:

Jagd Genauigkeit durch die Sequenz gibt

Die gleiche Berechnung gilt für die Dreiergruppen ,, etc. Durch Induktion,

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