Wesentliche Singularität

In komplexen Analyse, ist eine wesentliche Singularität der Funktion einer "schweren" Singularität in der Nähe der die Funktion zeigt extreme Verhalten.

Die Kategorie wesentliche Singularität ist ein "left-over" oder Standardgruppe von Singularitäten, die besonders unüberschaubar sind: per definitionem sie sich in keiner der beiden anderen Kategorien von Singularität, die mit in irgendeiner Weise behandelt werden kann zu passen - entfernbare Singularitäten und Stöcke.

Formale Beschreibung

Betrachten Sie eine offene Teilmenge U von der komplexen Ebene C. Lassen Sie ein Element von U, und f: U \ {a} → C eine meromorphe Funktion. Der Punkt A wird als eine wesentliche Singularität der Funktion f, wenn die Singularität ist weder ein Pol noch eine hebbare Singularität.

Zum Beispiel hat die Funktion f = e eine wesentliche Singularität bei z = 0.

Alternative Beschreibungen

Sei a eine komplexe Zahl sein wird angenommen, dass f nicht an einem, sondern definiert ist analytisch in einem gewissen Bereich U der komplexen Ebene, und dass jede offene Umgebung von a hat nicht leeren Kreuzung mit U.

Wenn sowohl

Ob

Und falls

Wenn weder

Ein anderer Weg, um eine wesentliche Singularität zu charakterisieren ist, dass der Laurent-Reihe von f an der Stelle a unendlich viele negativen Studienbedingungen. Eine verwandte Definition ist, dass, wenn es einen Punkt gibt, bei denen nicht differenzierbar ist für jede ganze Zahl ist, dann eine wesentliche Singularität.

Das Verhalten holomorpher Funktionen in der Nähe ihrer wesentlichen Singularitäten durch die Casorati-Weierstraß und durch die deutlich stärker Picards großen Satz beschrieben. Letztere besagt, dass in jeder Nachbarschaft einer wesentlichen Singularität ein, nimmt die Funktion f auf jedem komplexen Wert, außer vielleicht einem, unendlich viele Male.

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