Vergleichbarkeit graph

In der Graphentheorie, ist ein Vergleichbarkeitsgraph ein ungerichteter Graph, die Paare von Elementen, die in einer partiellen Reihenfolge miteinander vergleichbar sind verbindet. Vergleichbarkeit Grafiken wurden ebenfalls transitiv orientierbare Grafiken, teilweise bestellbar Graphen und Contain Graphen genannt. Ein incomparability Kurve ist ein ungerichteter Graph, die Paare von Elementen, die in einem Teil um nicht miteinander vergleichbar sind verbindet.

Definitionen und Charakterisierung

Für jede strenge Halbordnung ist die Vergleichbarkeit Graph der die Grafik von denen die Ecken sind die Elemente S und die Kanten sind die Paare {u, v} von Elementen, so daß u & lt; v. Das heißt, für eine Halbordnung, nehmen Sie die gerichteten azyklischen Graphen, gelten transitive Hülle, und entfernen Sie Orientierung.

Äquivalent ist Vergleichbarkeitsgraph ein Diagramm, das eine transitive Orientierung, eine Zuweisung von Richtungen zu den Kanten des Graphen, so daß die Adjazenzrelation des resultierenden Graphen transitiv ist: wann immer existieren gerichteten Kanten und muß dort eine Kante vorhanden ist.

Man kann jede partielle Ordnung als eine Familie von Mengen dar, so daß x & lt; y in der partiellen Ordnung, wenn die Menge an x ​​ist eine entsprechende Teilmenge der Menge entspricht, y. Auf diese Weise kann die Vergleichbarkeit Diagrammen dargestellt äquivalent Contain Graphen der Satz Familien zu sein; das heißt, ein Graph mit einem Scheitelpunkt für jeden Satz in der Familie und einer Kante zwischen zwei Sätzen, wenn einer eine Untermenge der anderen ist.

Alternativ ist auch eine Vergleichbarkeit Graph eine Kurve, so dass für jeden generaliZyklus ungerader Länge, kann man eine Kante verbindet zwei Knoten, die im Abstand zwei im Zyklus sind zu finden. Solche Kante wird als Dreiecks Akkord. In diesem Zusammenhang ist eine verallgemeinerte Zyklus definiert, um einen geschlossenen Weg, der jeder Kante des Graphen in jeder Richtung verwendet höchstens einmal sein.

Vergleichbarkeit Graphen kann auch durch eine Liste der verbotenen Untergraphen charakterisiert werden.

Verhältnis zu anderen Graphen Familien

Jede vollständige Graph ist eine Vergleichbarkeit Graphen, die Vergleichbarkeit Graphen einer Gesamtauftrag. Alle azyklische Orientierungen eines vollständigen Graphen sind transitiv. Jeder bipartite Graph ist auch eine Vergleichbarkeit Graphen. Ausrichten der Kanten eines bipartiten Graphen von einer Seite der Zweiteilung zu den anderen ergibt eine transitive Orientierung, entsprechend einer Halbordnung der Höhe zwei. Als Seymour beobachtet, jede Vergleichbarkeit Grafik, weder vollständig noch bipartite ist hat eine Schräg Partition.

Das Komplement eines Intervall Graph ist eine Vergleichbarkeit Graphen. Die Vergleichbarkeit Beziehung wird ein Intervall Reihenfolge aufgerufen. Interval Graphen sind genau die Graphen, die Sehnen sind und haben die Vergleichbarkeit Graph ergänzt.

Eine Permutation Graph ist ein Contain Graphen auf einer Reihe von Intervallen. Daher sind Permutation Graphen eine weitere Unterklasse der Vergleichbarkeit Graphen.

Die trivial perfekte Graphen sind die Vergleichbarkeit Graphen von Wurzelbäumen. Cographs können als die Vergleichbarkeit Graphen der Serien-Parallel-Teilaufträge gekennzeichnet werden; Somit sind auch die Vergleichbarkeit cographs Graphen.

Jeder Vergleichbarkeit Graphen ist perfekt. Die Perfektion der Vergleichbarkeit Graphen ist Mirsky-Theorem und die Perfektion ihrer Ergänzungen ist Dilworth Theorem; Diese Tatsachen, zusammen mit der Ergänzung Eigentum der perfekten Graphen können verwendet werden, um den Satz von Dilworth von Mirsky Theorem oder umgekehrt zu beweisen. Genauer gesagt, sind die Vergleichbarkeit Graphen perfekt bestellbar Graphen, eine Unterklasse der perfekten Graphen: ein gieriger Farbtonalgorithmus für einen topologischen Anordnung eines transitiven Orientierung der Grafik optimal färben sie.

Die Komplementgraph jeder Vergleichbarkeit Graphen ist ein String Graphen.

Algorithmen

Eine transitive Orientierung einer Kurve, wenn es vorhanden ist, kann in linearer Zeit gefunden werden. Jedoch der Algorithmus dafür wird Orientierungen zu den Kanten eines Graphen zuzuweisen, so, um die Aufgabe zu testen, ob ein Graph ist eine Vergleichbarkeitsgraph vervollständigen, muß man überprüfen, ob das sich ergebende Ausrichtung ist transitiv, ein Problem beweisbar äquivalent Komplexität Matrix Multiplikation.

Da die Vergleichbarkeit Graphen perfekt sind, viele Probleme, die schwer auf allgemeinere Klassen von Graphen, einschließlich Graphfärbung und dem unabhängigen Satz Problem sind, können in Polynomialzeit Vergleichbarkeit Graphen berechnet werden.

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