Ultrafilter

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Januar 3, 2017 Ursel Franke U 0 24

Im mathematischen Bereich der Mengentheorie ist ein Ultrafilter eine maximale Filter, das heißt ein Filter, nicht vergrößert werden kann. Filter und Ultrafilter sind spezielle Untergruppen von Halbordnungen. Ultrafilter können auch auf Boolesche Algebren und Sätze definiert werden:

  • Ein Ultrafilter auf einem Poset P eine maximale Filter auf P.
  • Ein Ultrafilter auf einer Booleschen Algebra B ist ein Ultrafilter auf der poset von Nicht-Null-Elemente von B.
  • Ein Ultrafilter auf einer Menge X ist ein Ultrafilter auf der Boolesche Algebra von Teilmengen von X.

Eher verwirrend, ein Ultrafilter auf einem Poset P oder Booleschen Algebra B ist eine Teilmenge von P oder B, während ein Ultrafilter auf einer Menge X ist eine Sammlung von Teilmengen von X. Ultrafilter haben viele Anwendungen in der Mengenlehre, Modelltheorie und Topologie.

Ein Ultrafilter auf einer Menge X hat einige besondere Eigenschaften. Beispielsweise bei jeder Teilmenge A von X, das Ultrafilter müssen entweder A oder ihr Komplement enthalten. Darüber hinaus kann ein Ultrafilter auf einer Menge X als endlich additive Maßnahme betrachtet werden. In dieser Ansicht wird jeder Teilmenge von X entweder als "fast alles" oder "fast nichts".

Formale Definition für Ultrafilter auf einem Satz

Gegeben sei eine Menge X, ein Ultrafilter auf X ist eine Gruppe, bestehend aus U Teilmengen von X, so dass

  • Die leere Menge ist nicht ein Element von U
  • Wenn A und B sind Teilmengen von X ist, A eine Teilmenge der B und A ein Element von U ist, dann ist B auch ein Element der U.
  • Wenn A und B sind Elemente des U, so ist auch der Schnittpunkt von A und B.
  • Wenn A eine Teilmenge von X, dann ist entweder A oder X \ A ist ein Element der U.

Eine Charakterisierung wird durch den folgenden Satz gegeben. Ein Filter U auf einer Menge X ist ein Ultrafilter, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • Es gibt keine Filter F feiner als U, dh impliziert U = F.
  •  bedeutet, oder.
  •  oder.

Eine andere Sichtweise auf Ultrafilter auf einer Menge X ist eine Funktion m auf der Potenzmenge von X, indem Sie m definieren = 1, wenn A ein Element von U und m = 0 sonst. Eine solche Funktion wird als 2-wertigen morphism. Dann ist M ein endlich additiven Maß auf X, und jede Eigenschaft Elemente von X ist entweder wahr oder falsch ist fast überall fast überall. Man beachte, dass dies nicht eine Maßnahme im üblichen Sinne, die erforderlich ist, um countably additiv definieren.

Für einen Filter F, die nicht eine Ultra würde man sagen, m = 1, wenn A ∈ F und m = 0, wenn X \ A ∈ F, wobei m undefined anderswo.

Ein einfaches Beispiel für ein Ultrafilter ist ein Hauptultrafilter, die von Teilmengen von X, die ein bestimmtes Element enthalten, x von X. Alle Ultrafilter auf einem endlichen Satzes Haupt besteht.

Vollständigkeit

Die Vollständigkeit der ein Ultrafilter U auf einem Satz ist die kleinste Kardinal κ, so dass es κ Elemente U, deren Schnittpunkt ist nicht in U. Die Definition impliziert, dass die Vollständigkeit der Ultrafilter zumindest. Ein Ultrafilter, dessen Vollständigkeit ist größer als diejenige ist, ist der Schnittpunkt jeder zählbaren Menge von Elementen von U noch in U countably vollständige oder -vollständig bezeichnet.

Die Vollständigkeit eines abzählbar komplette nonprincipal Ultrafilter auf einem Satz ist immer eine messbare Kardinal.

Verallgemeinerung auf Teilaufträge

Um der Theorie ist ein Ultrafilter eine Teilmenge einer halbgeordneten Menge, die maximal unter allen richtigen Filter ist. Formal heißt dies, daß jeder Filter die ordnungsgemäß enthält einen Ultrafilter hat gleich der gesamten poset sein.

Sonderfall: Boolesche Algebra

Ein wichtiger Spezialfall des Konzepts tritt auf, wenn der betrachtete poset ist ein Boolescher Algebra, wie im Fall eines Ultrafilters auf einem Satz. In diesem Fall werden durch Ultrafilter enthalten sind, für jedes Element eine der Booleschen Algebra, genau eine der Elemente a und ¬a.

Ultrafilter auf eine Boolesche Algebra mit Primideale, maximalen Ideale und Homomorphismen in die 2-Elements Boolesche Algebra {true, false} identifiziert werden, wie folgt:

  • Maximalen Ideale einer Booleschen Algebra sind die gleichen wie Primideale.
  • Bei einem Homomorphismus einer Booleschen Algebra auf {true, false}, das Urbild des "true" ist ein Ultrafilter, und das Urbild von "false" ein maximales Ideal.
  • Bei einem maximalen Ideal eines Boolesche Algebra ist sein Komplement ein Ultrafilter, und es ist eine einzigartige Homomorphismus auf {true, false} Einnahme der maximalen Ideal auf "false".
  • Bei einem Ultrafilter eines Boolesche Algebra ist sein Komplement ein maximales Ideal, und es ist eine einzigartige Homomorphismus auf {true, false} unter den Ultrafilter auf "true".

Wir wollen sehen, eine andere Satz, der für die Definition des Begriffs der "Ultrafilter" genutzt werden könnte. Sei B bezeichnen eine Boolesche Algebra und F eine richtige Filter darin. F ist ein Ultrafilter iff:

 Details finden Sie in.

Typen und Existenz von Ultrafilter

Es gibt zwei sehr unterschiedliche Arten von Ultrafilter: Haupt und kostenlos. Ein Hauptultrafilter ist ein Filter, das ein kleinstes Element. Folglich sind die Hauptultrafilter der Form Fa = {x | a ≤ x} für einige Elemente einer der gegebenen Poset. In diesem Fall wird als ein Hauptelement des Ultrafilter. Für den Fall von Ultrafiltern auf Mengen, die Elemente, die als Eigen qualifizieren sind genau die Ein-Element-Sets. Somit ist ein Hauptultrafilter auf einem Set S besteht aus allen Sätzen eine bestimmte Stelle des S. ein Ultrafilter auf einer endlichen Menge ist Principal enthält. Alle Ultrafilter, der nicht Haupt wird als freie Ultrafilter.

Beachten Sie, dass ein Ultrafilter auf einer unendlichen Menge S ist nicht Haupt genau dann, wenn sie die Fréchet-Filter von cofinite Teilmengen von S. Dies ist offensichtlich, da ein Nicht-Hauptultra keine endliche Menge enthält, enthält, bedeutet dies, dass, indem sie ergänzt Es enthält alle cofinite Teilmengen von S, die genau die Fréchet-Filter ist.

Man kann zeigen, dass jeder Filter einer Booleschen Algebra ist in einem Ultrafilter und das freie Ultra deshalb existieren, aber die Beweise beinhalten das Auswahlaxiom in Form von Lemma von Zorn enthalten. Andererseits bedeutet die Aussage, dass jeder Filter in einem Ultrafilter enthalten nicht, AC. In der Tat entspricht der Boolean Primideal Satz ist es, ein bekannter Zwischenpunkt zwischen den Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre und der ZF-Theorie durch die Auswahlaxiom ergänzt. Beweise, die die Auswahlaxiom erzeugen keine expliziten Beispiele für freie Ultrafilter. Nichtsdestotrotz, die fast alle Ultrafilter auf einer unendlichen Menge sind kostenlos. Dagegen ist jede Ultra einer endlichen poset Haupt Da jede endliche Filter eine mindestens Element.

Anwendungen

Ultrafilter auf Gruppen sind nützlich in der Topologie, insbesondere im Hinblick auf kompakte separierten Räumen und in Modelltheorie in der Konstruktion und ultraproducts ultrapowers. Jeder Ultrafilter auf einem kompakten Hausdorff-Raum konvergiert genau einem Punkt. Ebenso sind Ultrafilter auf posets wichtigsten, wenn die poset eine Boolesche Algebra ist, da in diesem Fall die Ultra fallen mit den Anfangsfilter. Ultrafilter in dieser Form spielen eine zentrale Rolle in Stone Darstellungssatz für Boolesche Algebren.

Die Menge G aller Ultra eines poset P kann auf natürliche Weise topologized werden, ist, dass in der Tat eng mit der oben erwähnten Darstellungssatz stehen. Für jedes Element einer von P, lass Da = {U ∈ G | a ∈ U}. Dies ist besonders nützlich, wenn P ist wieder eine Boolesche Algebra, da in dieser Situation die Menge aller Da ist eine Basis für eine kompakte Hausdorff-Topologie auf G. Vor allem, wenn man die Ultrafilter auf einer Menge S wird die resultierende topologischen Raum der Stein -Čech Kompaktifizierung einer diskreten Raum der Mächtigkeit | S |.

Die Ultraprodukt Bau in Modelltheorie nutzt Ultrafilter auf elementare Erweiterungen der Strukturen zu erzeugen. Beispielsweise bei der Konstruktion von hypeNummern als Ultraprodukt der reellen Zahlen, wir zunächst die Diskursbereich erstreckt sich von den reellen Zahlen, um Sequenzen von reellen Zahlen. Diese Sequenzraum wird als eine Obermenge der reellen Zahlen durch die Identifizierung jedes reale mit der entsprechenden konstanten Sequenz angesehen. Um die bekannten Funktionen und die Beziehungen von den reellen Zahlen zu den hyper zu verlängern, ist die natürliche Idee, sie punktweise definieren. Aber das wäre wichtig logischen Eigenschaften der reellen Zahlen zu verlieren; beispielsweise punktweise & lt; ist nicht eine totale Ordnung. Anstatt also definieren wir die Funktionen und Beziehungen "punktweise Modulo-U", wobei U ein Ultrafilter auf der Indexmenge der Sequenzen; von los Theorem sichert diese alle Eigenschaften der reellen Zahlen, die in Logik erster Ordnung festgestellt werden. Ist U nonprincipal, wird die Erweiterung dadurch erhalten ist nicht trivialen.

In geometrischen Gruppentheorie werden nicht-Hauptultrafilter verwendet, um die asymptotische Kegel einer Gruppe zu definieren. Diese Konstruktion ergibt eine strenge Art und Weise zu prüfen, suchen Sie in der Gruppe von unendlich, dass der Groß Geometrie der Gruppe ist. Asymptotische Zapfen sind besondere Beispiele für ultralimits metrischer Räume.

Gödels ontologische Beweis der Existenz Gottes setzt als ein Axiom, das die Menge aller "positiven Eigenschaften" ist ein Ultrafilter.

In Sozialwahltheorie werden nicht-Hauptultrafilter verwendet werden, um eine Regel für die Aggregation der Präferenzen der unendlich viele Individuen zu definieren. Im Gegensatz zu Arrow-Theorem für endlich viele Menschen, eine solche Regelung erfüllt die Bedingungen, die Pfeil schlägt. Mihara zeigt, jedoch sind solche Regeln praktisch nur von begrenztem Interesse an Sozialwissenschaftler, denn sie sind nicht-algorithmische oder nicht berechenbar.

Bestellung über Ultrafilter

Rudin-Keisler Anordnung ist eine Vorbestellung auf der Klasse von Ultrafiltern wie folgt definiert: wenn U ein Ultrafilter auf X und V ein Ultrafilter auf Y, dann, wenn und nur wenn es eine Funktion f: X → Y, so dass

für jede Teilmenge C von Y.

Ultrafilter U und V Rudin-Keisler äquivalente ,, wenn es Mengen ,, und eine Bijektion f: A → B, der die obige Bedingung erfüllt.

Bekannt ist, dass der Kern ist, dh nur wenn und.

Ultrafilter auf ω

Es gibt verschiedene besondere Eigenschaften, die ein Ultrafilter auf ω besitzen können, die nützlich in verschiedenen Bereichen der Mengenlehre und Topologie zu beweisen.

  • Ein nicht-Hauptultrafilter U ist ein P-Punkt, wenn für jede Partition von ω ist, so dass, besteht, so daß.
  • Ein nicht-Hauptultrafilter U Ramsey, wenn für jede Partition der ω, so dass es existiert, so dass

Es ist eine triviale Feststellung, dass alle Ramsey Ultrafilter P-Punkten. Walter Rudin bewiesen, daß das Kontinuum Hypothese impliziert die Existenz Ramsey Ultrafilter. Tatsächlich sind viele Hypothesen impliziert die Existenz von Ramsey Ultrafilter, einschließlich Martins Axiom. Saharon Shelah später zeigte, dass es stimmt, dass es keine P-Punkt-Ultrafilter. Daher stellt die Existenz dieser Art von Ultrafiltern ist unabhängig von ZFC.

P-Punkte werden als solche bezeichnet, weil sie topologische P-Punkten in der üblichen Topologie der Raum des Nicht-Haupt-Ultrafilter sind. Der Name kommt von Ramsey Satz von Ramsey. Um zu sehen, warum kann man beweisen, dass ein Ultrafilter ist Ramsey wenn und nur wenn für jeden 2-Färbung gibt es ein Element der Ultrafilter, das eine homogene Farbe hat.

Ein Ultrafilter auf ω Ramsey, wenn und nur wenn es minimal im Rudin-Keisler Ordnung der Nichthauptultrafilter.

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