Tschebyscheff-Polynome

In der Mathematik die Tschebyscheff-Polynome nach Pafnuty Chebyshev genannt, sind eine Folge von orthogonale Polynome, die in Beziehung stehen zu Moivre-Formel de und die rekursiv definiert werden kann. Man unterscheidet in der Regel zwischen Tschebyscheff-Polynome der ersten Art, die Tn und Tschebyscheff-Polynome der zweiten Art, die gekennzeichnet sind Un bezeichnet sind. Der Buchstabe T ist aufgrund der alternativen Transkriptionen des Namens Chebyshev als Tchebycheff, Tchebyshev oder Tschebyschow verwendet.

Die Tschebyscheff-Polynome Tn oder Un sind Polynome vom Grad n und die Reihenfolge der Tschebyscheff-Polynome entweder Art komponiert ein Polynom-Sequenz.

Tschebyscheff-Polynome Polynome sind mit der größtmöglichen führenden Koeffizienten, aber unter der Bedingung, dass ihre absolute Wert wird auf dem Intervall von 1 begrenzt Sie sind auch die Extrem Polynome für viele andere Eigenschaften.

Tschebyscheff-Polynome sind in Approximationstheorie wichtig, weil die Wurzeln der Tschebyscheff-Polynome der ersten Art, die auch Chebyshev Knoten genannt werden, als Knoten in Polynominterpolation verwendet wird. Die resultierende Interpolationspolynom minimiert das Problem der Runge-Phänomen und stellt eine Näherung, die in der Nähe des Polynoms beste Annäherung an eine kontinuierliche Funktion unter der Maximum-Norm ist. Diese Näherung führt direkt zu dem Verfahren von Curtis Clenshaw-Quadratur.

Bei der Untersuchung von Differentialgleichungen als die Lösung der Differentialgleichungen Chebyshev sie entstehen

und

für die Polynome der ersten und der zweiten Art sind. Diese Gleichungen sind Spezialfälle der Sturm-Liouvilleschen Differentialgleichung.

Definition

Die Tschebyscheff-Polynome der ersten Art werden durch die Rekursion definiert

Der gewöhnliche erzeugende Funktion für Tn

die exponentielle erzeugende Funktion ist

Die erzeugende Funktion relevant für die 2-dimensionalen Potentialtheorie und Multipolentwicklung ist

Die Tschebyscheff-Polynome der zweiten Art werden durch die Rekursion definiert

Der gewöhnliche erzeugende Funktion für Un ist

die exponentielle erzeugende Funktion ist

Trigonometrische definition

Die Tschebyscheff-Polynome der ersten Art können die einzigartigen Polynome genügen definiert werden

oder, mit anderen Worten, wenn die einzigartigen Polynome genügen

für n = 0, 1, 2, 3, ..., die eine Variante des Schröder-Gleichung, nämlich ist. Tn ist funktional Konjugat auf nx, in der Brut Immobilie unter kodifiziert. Weitere vergleichen, um die Ausbreitung Polynome, im folgenden Abschnitt.

Die Polynome der zweiten Art zu erfüllen:

Das ist strukturell sehr ähnlich zu dem Dirichlet Kernel:

Das cos wird eine n-ten Grades Polynom in cos kann durch die Beobachtung, dass cos ist der Realteil von einer Seite von de Moivre Formel, und der Realteil der anderen Seite zu sehen ist ein Polynom in cos und sin, in dem alle Kräfte Sünde selbst und damit austauschbaren durch die Identität cos + sin = 1.

Diese Identität ist sehr nützlich in Verbindung mit der rekursiven Erzeugungs Formel, da sie ermöglicht, die Cosinus jeder ganzzahligen Vielfachen eines Winkels ausschließlich hinsichtlich der Kosinus des Basiswinkels berechnen.

Auswertung der ersten zwei Tschebyscheff-Polynome,

und

Man kann ohne weiteres festzustellen, dass

und so weiter.

Zwei unmittelbare Folgerungen sind die Zusammensetzung Identität

und der Ausdruck der komplexen Potenzierung im Hinblick auf die Tschebyscheff-Polynome: gegebenen z = a + bi,

Pell Gleichung definition

Die Chebyshev-Polynomen können auch als Lösungen für die Pell Gleichung definiert werden

in einem Ring R. So können sie durch die Standardtechnik zur Pell Gleichungen Befugnis einer Grundlösung erzeugt werden:

Produkte der Tschebyscheff-Polynome

Beim Arbeiten mit Tschebyscheff-Polynome oft Produkte von zwei von ihnen auftritt. Diese Produkte können Kombinationen von Chebyshev-Polynomen mit geringeren oder höheren Maß reduziert werden und der Abschluss Aussagen zu dem Produkt sind leichter zu machen. Es sei angenommen, dass im Folgenden der Index m ist größer oder gleich dem Index n und n nicht negativ. Für Tschebyscheff-Polynome erster Art das Produkt expandiert nach

die eine Analogie zu dem Additionstheorem mit den Identitäten für n = 1 ergibt sich der bereits bekannte Rekursionsformel ist, nur anders, und mit n = 2 angeordnet er die Rekursion bildet für alle geraden oder alle ungeraden Tschebyscheff-Polynome, die zu entwerfen erlaubt Funktionen mit vorgeschriebenen Symmetrieeigenschaften. Drei weitere nützliche Formeln zur Bewertung von Tschebyscheff-Polynome können aus dieser Produkterweiterung abgeschlossen werden:

Für Tschebyscheff-Polynome der zweiten Art Produkte können wie folgt geschrieben werden:

Dadurch, wie oben, mit n = 2 die Rekursionsformel der Tschebyscheff-Polynome der zweiten Art bildet für beide Arten von Symmetrie

Beziehung zwischen Tschebyscheff-Polynome der ersten und zweiten Art

Die Tschebyscheff-Polynome der ersten und zweiten Art sind durch die nachfolgenden Gleichungen bezogenen

Die Wiederkehr Verhältnis des Derivats der Tschebyscheff-Polynome können aus diesen Beziehungen abgeleitet werden

Diese Beziehung ist in der Chebyshev Spektralverfahren der Lösung von Differentialgleichungen eingesetzt.

Äquivalent, können die beiden Sequenzen auch aus einem Paar von gegenseitiger Rekursionsgleichungen definiert werden:

Diese können aus der trigonometrischen Formeln abgeleitet werden; Wenn beispielsweise, dann

Beachten Sie, dass diese beiden Gleichungen und die trigonometrische Gleichungen nehmen eine einfachere Form, wenn wir, wie einige Werke, folgen Sie den alternativen Konvention bezeichnet unserer Un mit statt Un + 1.

Turan Ungleichheiten für die Tschebyscheff-Polynome sind

Die integralen Beziehungen

wo Integrale werden als Hauptwert berücksichtigt.

Explizite Ausdrücke

Verschiedene Ansätze zur Definition von Tschebyscheff-Polynome zu unterschiedlichen explizite Ausdrücke wie:



wo 2F1 ist eine hypergeometrische Funktion.

Immobilien

Wurzeln und Extrema

Ein Chebyshev-Polynom der beiden Art mit Grad n hat n verschiedenen einfachen Wurzeln, genannt Chebyshev Wurzeln, im Intervall. Die Wurzeln der Chebyshev-Polynom der ersten Art werden manchmal als Chebyshev Knoten, weil sie als Knoten in Polynominterpolation verwendet. Verwendung der trigonometrischen Definition und die Tatsache, dass

kann man leicht beweisen, dass die Wurzeln der Tn

Ebenso sind die Wurzeln der Un sind

Die Extrema Tn des Intervalls befinden sich

Eine einzigartige Eigenschaft der Tschebyscheff-Polynome der ersten Art ist, dass auf dem Intervall alle Extrema Werte haben, die entweder -1 oder 1. So sind diese Polynome haben nur zwei endlichen kritischen Werten, die definierende Eigenschaft Shabat Polynome. Sowohl die erste und zweite Arten von Tschebyscheff-Polynom haben Extrema an den Endpunkten, gegeben durch:

Differenzierung und Integration

Die Ableitungen der Polynome weniger als unkompliziert. Durch Differenzieren der Polynome in ihre trigonometrische Formen, ist es leicht zu zeigen, dass:

Die letzten beiden Formeln können numerisch lästig wegen der Division durch Null auf und ist. Es kann gezeigt werden, daß:

Beweis

Die zweite Ableitung des Tschebyscheff-Polynom der ersten Art ist,

die, wenn sie beurteilt, wie oben gezeigt, stellt ein Problem dar, da es unbestimmt bei x = ± 1 ist. Da die Funktion ein Polynom ist, müssen die Derivate für alle reellen Zahlen vorhanden sind, so dass die Aufnahme auf dem obigen Ausdruck begrenzen sollte den gewünschten Wert zu erhalten:

wo nur wird jetzt berücksichtigt. Factoring den Nenner:

Da die Grenze als Ganzes muss vorhanden und die Grenze der Zähler und der Nenner unabhängig voneinander existieren, und

Der Nenner Grenzen auf null, was bedeutet, daß der Zähler auf Null zu einschränkend sein, dh, die später nützlich sein werden. Da die Zähler und Nenner beide auf Null Begrenzung, gilt Regel von L'Hospital:

Der Beweis ist ähnlich, mit der Tatsache, dass, wichtig.

Tatsächlich ist die folgende, allgemeine Formel gilt:

Dieses letztere Ergebnis ist von großem Nutzen bei der numerischen Lösung von Eigenwertproblemen.

Über Integration, die erste Ableitung des Tn bedeutet, daß

und die Rekursion für die erste Art Polynome mit Derivaten feststellt, dass

Orthogonalität

Sowohl die Tn und die Un bilden eine Folge von Orthogonalpolynome. Die Polynome der ersten Art sind orthogonal in Bezug auf das Gewicht

auf dem Intervall, das heißt wir haben:

Dies kann, indem man x = cos und mit Hilfe der Definition von Identität Tn (cos) = cos nachgewiesen werden.

Ähnlich werden die Polynome der zweiten Art orthogonal in Bezug auf das Gewicht

auf dem Intervall, das heißt wir haben:

.

Die Tn auch eine diskrete Orthogonalität Bedingung erfüllen:

wobei die xk sind die N Chebyshev Knoten TN

Für die Polynome der zweiten Art und mit der gleichen Tschebyscheff-Knoten xk gibt es ähnliche Summen:

und ohne die Gewichtsfunktion:

Basierend auf den N Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms der zweiten Art UN

eine andere Summe aufgebaut werden

und immer wieder, ohne die Gewichtsfunktion:

Minimal ∞-Norm

Für jede gegebene n ≥ 1 unter den Polynome vom Grad n mit führendem Koeffizienten 1,

ist derjenige, dessen maximaler Absolutwert im Intervall minimal.

Diese maximale Absolutwert

und | ƒ | dieses Maximum erreicht genau Zeiten an

Nehmen wir an, ein Polynom vom Grad n mit führendem Koeffizienten 1 mit maximaler Absolutwert auf das Intervall von weniger als.

Definieren

Da bei extremen Punkte haben wir

Von dem Zwischenwertsatz, mindestens n Wurzeln. Dies ist jedoch nicht möglich, da ein Polynom vom Grad, so dass der Hauptsatz der Algebra impliziert sie höchstens Wurzeln.

Weitere Immobilien

Die Tschebyscheff-Polynome sind ein Sonderfall der ultraspherical oder Gegenbauer-Polynom, die selbst ein Spezialfall der Jacobi-Polynome:

Für jede natürliche Zahl n, Tn und Un sind beide Polynome vom Grad n. Sie sind gerade oder ungerade Funktionen von x, wenn n gerade oder ungerade ist, so dass, wenn sie als Polynome x geschrieben, es hat nur gerade oder ungerade Grad Begriffe sind. Tatsächlich,

und

Der führende Koeffizient von Tn ist, wenn, aber, wenn 1.

Tn sind ein Sonderfall von Lissajous Kurven mit Frequenz-Verhältnis gleich n ist.

Mehrere Polynom-Sequenzen wie Lucas Polynome, Dickson Polynome sind Fibonacci-Polynomen zu Tschebyscheff-Polynome Tn und Un zusammen.

Die Tschebyscheff-Polynome der ersten Art entsprechen der Beziehung

die sich leicht aus dem Produkt-zu-Summenformel für die Cosinus bewiesen. Die Polynome der zweiten Art erfüllen die ähnliche Beziehung

Ähnlich der Formel

wir die analoge Formel

Denn

das sich aus der Tatsache, dass dies gilt definitions.

Lassen

Dann und Pendeln Polynome:

wie es in der Abelschen Brutimmobilien oben angegebenen evident.

Beispiele

Erste Art

Die ersten Tschebyscheff-Polynome der ersten Art sind

Zweiter Art

Die ersten Tschebyscheff-Polynome der zweiten Art sind

Als Basis-Set

Im entsprechenden Sobolevraum die Menge der Tschebyscheff-Polynome bilden eine orthonormale Basis, so daß eine Funktion in dem gleichen Raum auf über das Expansions ausgedrückt werden:

Ferner, wie zuvor erwähnt, bilden die Tschebyscheff-Polynome eine orthogonale Basis, die impliziert, dass die Koeffizienten a kann leicht durch die Anwendung eines inneren Produktes bestimmt werden. Diese Summe wird als Chebyshev-Serie oder ein Chebyshev Expansion.

Da ein Chebyshev-Reihe ist mit einem Fourier Kosinusreihe durch eine Änderung von Variablen bezogen, alle Sätze, Identitäten, etc., die zur Fourier-Reihe anzuwenden eine Chebyshev-Gegenstück. Diese Attribute sind:

  • Die Tschebyscheff-Polynome bilden einen vollständigen orthogonalen Systems.
  • Die Chebyshev Reihe konvergiert, um ƒ wenn die Funktion stückweise glatt und kontinuierlich. Die Glätte Anforderung kann entspannt in den meisten Fällen, so lange es eine endliche Anzahl von Diskontinuitäten in ƒ und ihre Derivate werden.
  • Bei einer Unterbrechung, wird die Reihe mit dem Durchschnitt der linken und rechten Grenzen konvergieren.

Die Fülle der Sätze und Identitäten von Fourier-Reihen geerbt machen das Tschebyscheff-Polynome wichtige Werkzeuge in der numerischen Analyse; beispielsweise sind sie die beliebteste Allzweck-Grundfunktionen in der spektralen Verfahren verwendet, die oft zugunsten der trigonometrischen Reihen aufgrund der Regel schneller Konvergenz für stetige Funktionen.

Beispiel 1

Betrachten Sie die Chebyshev Ausbau der. Man kann zum Ausdruck

Man kann die Koeffizienten entweder durch die Anwendung eines inneren Produktes oder durch die diskreten Orthogonalitätsbedingung finden. Für das innere Produkt,

das gibt

Alternativ, wenn Sie nicht das innere Produkt der Funktion die Sie versuchen zu nähern sind zu bewerten, gibt der diskreten Orthogonalitätsbedingung

wo ist das Kronecker-Delta-Funktion und das sind die N Gauss-Lobatto Nullstellen

Dies ermöglicht es uns, die Koeffizienten sehr effizient durch die diskrete Cosinus-Transformation zu berechnen,

Beispiel 2

Um ein anderes Beispiel liefern:

Teilsummen

Die Teilsummen

sind sehr nützlich bei der Angleichung der verschiedenen Funktionen und in der Lösung von Differentialgleichungen. Zwei übliche Verfahren zur Bestimmung der Koeffizienten a werden durch die Verwendung des inneren Produkts als in Galerkin Verfahren und durch die Verwendung der Kollokation, die Interpolation bezogen ist.

Als ein Interpolationsmittel werden die N Koeffizienten der Partialsumme der Regel auf die Chebyshev-Gauss-Lobatto Punkte, die in minimalen Fehler ergibt und vermeidet Runge-Phänomen mit einem gleichmäßigen Raster zugeordnet erhalten. Diese Sammlung von Punkten entspricht der Extrema der höchsten Ordnung Polynom in die Summe, zuzüglich der Endpunkte und ist gegeben durch:

Polynom in Chebyshev Form

Eine beliebige Polynom vom Grad N kann im Hinblick auf die Tschebyscheff-Polynome erster Art geschrieben werden. Ein solches Polynom p ist von der Form

Polynome in Chebyshev Form kann mit dem Clenshaw-Algorithmus ausgewertet werden.

Spread Polynome

Die Spread-Polynome sind gewissermaßen äquivalent zu den Tschebyscheff-Polynome erster Art, sondern ermöglichen es, Quadratwurzeln und konventionellen trigonometrische Funktionen in bestimmten Zusammenhängen zu vermeiden, vor allem in rationale Trigonometrie.

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