Steindarstellungssatz für Boolesche Algebren

In der Mathematik Stones Darstellungssatz für Boolesche Algebra besagt, dass jede Boolesche Algebra ist isomorph zu einem Feld von Sätzen. Der Satz ist von grundlegender Bedeutung, um die tieferen Verständnis der Boolesche Algebra, die in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts entstanden. Der Satz wurde zuerst von Stein bewiesen, und somit in seiner Ehre genannt. Stein wurde von seinem Studium der Spektraltheorie von Operatoren auf einem Hilbertraum zu ihr geführt.

Stein Räume

Jede Boolesche Algebra B hat einen zugehörigen topologischen Raum, hier bezeichnet S, nannte seinen Steinflächen. Die Punkte in S sind die Ultrafilter auf B oder äquivalent die homomorphisms von B zu dem Zweielement Boolean Algebra. Die Topologie auf S wird von einer Basis aus allen Mengen der Form erzeugt

wobei B ist ein Element von B

Für jede Boolesche Algebra B, S ist ein kompaktes total unzusammenhängend Hausdorff-Raum; diese Räume sind Steinplätze genannt. Umgekehrt ist zu jedem gegebenen topologischen Raum X, ist die Sammlung von Teilmengen von X, die clopen sind eine Boolesche Algebra.

Darstellungssatz

Eine einfache Version von Stone Darstellungssatz besagt, dass jede Boolesche Algebra B ist isomorph zur Algebra der clopen Teilmengen von seinem Stein Platz S. Der Isomorphismus sendet ein Element b∈B auf die Menge aller Ultrafilter, der b enthalten. Dies ist ein clopen Satz wegen der Wahl der Topologie auf S und weil B ist eine Boolesche Algebra.

Bekräftigung der Satz mit der Sprache der Kategorientheorie; das Theorem besagt, dass es eine Dualität zwischen der Kategorie der Booleschen Algebren und der Kategorie der Steinflächen. Diese Dualität bedeutet, dass zusätzlich zu den Isomorphismen zwischen Booleschen Algebren und ihre Steinflächen, jeder Homomorphismus von einer Booleschen Algebra A zu einer Booleschen Algebra B entspricht auf natürliche Weise, um eine kontinuierliche Funktion von S bis S. Mit anderen Worten, es gibt eine kontra Funktor, der eine Äquivalenz zwischen den Kategorien gibt. Dies war ein frühes Beispiel für eine nicht-triviale Dualität von Kategorien.

Der Satz ist ein Spezialfall von Stone Dualität, eine allgemeine Rahmenregelung für Dualitäten zwischen topologischen Räumen und Halbordnungen.

Der Beweis erfordert entweder das Auswahlaxiom oder ein abgeschwächter Form davon. Genauer gesagt, ist der Satz entspricht dem Booleschen Primideal Satz, einem geschwächten Wahl Prinzip, das besagt, dass jede Boolesche Algebra hat eine erstklassige ideal.

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