Stationären Punkt

FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc
Januar 6, 2017 Ilonka Zabel S 0 205

In der Mathematik, vor allem in der Infinitesimalrechnung, ist ein stationärer Punkt oder kritischen Punkt einer differenzierbaren Funktion einer Variablen ein Punkt der Definitionsbereich der Funktion, wo die Ableitung Null. Es ist ein Punkt, wo die Funktion "stops" zunimmt oder abnimmt. Für eine differenzierbare Funktion von mehreren Variablen, ist eine stationäre oder kritischen Punkt eine Eingabe in dem alle partiellen Ableitungen gleich Null sind.

Die stationären Punkte sind einfach auf dem Graphen einer Funktion einer Variablen zu visualisieren: sie auf die Punkte auf der Kurve entsprechen, wo die Tangente parallel zur x-Achse ist. Für die Funktion von zwei Variablen, die den Punkten auf der Kurve entsprechen, wo sie die Tangentialebene parallel zur xy-Ebene ist.

Stationären Punkte, die kritischen Punkte und Wendepunkte

Der Begriff stationärer Punkt einer Funktion kann mit kritischen Punkt für eine gegebene Projektion des Graphen der Funktion verwechselt werden. "Critical point" ist allgemeiner: ein stationärer Punkt einer Funktion entspricht einem kritischen Punkt seiner Graphen für die Projektion parallel zu der x-Achse. Andererseits werden die kritischen Punkte des Graphen für die Projektion parallel zu der y-Achse sind die Punkte, an denen die Ableitung nicht definiert ist. Daraus folgt, dass einige Autoren als "kritischer Punkt" die kritischen Punkte für jede dieser Projektionen.

Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die derivativen Vorzeichen ändert. Ein Wendepunkt kann entweder ein relatives Maximum oder ein relatives Minimum ist. Wenn die Funktion differenzierbar ist, dann ist ein Wendepunkt ist ein stationärer Punkt; jedoch nicht alle stationären Punkte sind Wendepunkte. Wenn die Funktion zweimal differenzierbar ist, die feststehenden Punkte, die nicht Wendepunkte sind horizontale Wendepunkten. Beispielsweise die Funktion hat einen stationären Punkt bei x = 0, das ebenfalls ein Wendepunkt, ist aber nicht ein Wendepunkt.

Klassifikation

Isoliert stationären Punkte eines echten Wertfunktion werden durch die erste Ableitung Test in vier Arten unterteilen:

  • ein lokales Minimum ist eine, wo die Ableitung der Funktion ändert sich von negativ auf positiv;
  • ein lokales Maximum ist eine, wo die Ableitung der Funktion ändert von positiv auf negativ;
  • Ein steigender Wendepunkt ist einer, wo die Ableitung der Funktion positiv ist auf beiden Seiten des stationären Punkt; ein solcher Punkt markiert einen Wandel in der Höhlung
  • eine fallende Wendepunkt ist einer, wo die Ableitung der Funktion negativ ist auf beiden Seiten des stationären Punkt; ein solcher Punkt markiert einen Wandel in der Höhlung

Ein Punkt, der entweder ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum ist, wird als lokale Extremwert. Ebenso ein Punkt, der entweder ein globales Maximum oder ein globales Minimum ist, wird als globale Extremum. Mit dem Satz von Fermat, müssen globale Extrema an der Grenze oder am stationären Punkte auftreten.

Kurvendiskussion

Bestimmen der Position und Art der stationären Punkte hilft bei Kurvendiskussion der differenzierbare Funktionen. Lösen der Gleichung f = 0 Gibt die x-Koordinaten aller stationären Punkte; Die Y-Koordinaten sind trivial die Funktionswerte bei diesen x-Koordinaten. Der spezifische Charakter eines stationären Punkt x kann in einigen Fällen durch die Untersuchung der zweiten Ableitung f '' ermittelt werden:

  • Wenn f '' & lt; 0, der stationäre Punkt x ist konkav nach unten; eine maximale Extremwert.
  • Wenn f '' & gt; 0, ist der stationäre Punkt bei x konkave up; eine minimale Extremwert.
  • Wenn f '' = 0, muß die Natur der stationären Punkt durch andere Mittel bestimmt werden, die oft mit der Feststellung eines Vorzeichenwechsels um diesen Punkt.

Ein einfacher Weg zur Bestimmung der Natur eines stationären Punkt wird durch Prüfen der Funktionswerte zwischen den stationären Punkten.

Ein einfaches Beispiel für ein Wendepunkt ist die Funktion f = x. Es gibt eine klare Veränderung der Wölbung um den Punkt x = 0, und wir können dies mit Hilfe von Zahnstein zu beweisen. Die zweite Ableitung von f ist die überall kontinuierlichen 6x und bei x = 0, f '' = 0, und die Vorzeichenwechsel zu diesem Punkt. So x = 0 ist ein Wendepunkt.

Allgemeiner die stationären Punkte eines reellwertigen Funktion f: R → R sind diejenigen Punkte x0 wobei die Ableitung in jeder Richtung gleich Null ist, oder, äquivalent, die Steigung gleich Null ist.

Beispiel

Für die Funktion f = x haben wir F '= 0 und f' '= 0. Auch wenn f' '= 0 ist, ist dieser Punkt nicht ein Wendepunkt. Der Grund dafür ist, dass das Vorzeichen von f 'von negativ nach positiv.

Für die Funktion f = sin wir F '≠ 0 und f' '= 0. Dies ist aber nicht ein stationärer Punkt, sondern es ist ein Wendepunkt. Dies, weil die Konkavität ändert sich von konkav nach unten, nach oben konkav ist und das Vorzeichen von f 'sich nicht ändert; es bleibt positiv.

Für die Funktion f = x haben wir F '= 0 und f' '= 0. Dies ist sowohl ein stationärer Punkt und einem Wendepunkt. Dies liegt daran, dass die Konkavität sich von konkav nach unten, nach oben konkav ist und das Vorzeichen von f 'sich nicht ändert; es bleibt positiv.

(0)
(0)
Kommentare - 0
Keine Kommentare

Fügen Sie einen Kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Zeichen übrig: 3000
captcha