Sonderbarkeit

In der Mathematik ist eine Singularität in der Regel ein Punkt, an dem eine bestimmte mathematische Objekt nicht definiert ist, oder ein Punkt von außergewöhnlicher Satz, wo es gut erzogene werden in einer bestimmten Art und Weise, wie beispielsweise Differenzierbarkeit ausfällt. Siehe Singularity Theorie für allgemeine Diskussion der geometrischen Theorie, die nur einige Aspekte abdeckt.

Zum Beispiel die Funktion

auf der reellen Achse eine Singularität bei x = 0, wobei es scheint, zu "explodieren", um ± ∞ und ist nicht definiert. Die Funktion G = | x | hat auch eine Singularität bei x = 0, da es nicht differenzierbar dort. Ebenso hat das durch y = x definiert graph auch eine Singularität bei, dieses Mal, weil es eine "Ecke" an diesem Punkt.

Die von in dem Koordinatensystem definierten algebraischen Satz eine Singularität bei, weil es nicht eine Tangente es zuzulassen.

Echt Analyse

Im wirklichen Analyse Singularitäten sind entweder Diskontinuitäten oder Unterbrechungen des Derivats. Es gibt vier Arten von Diskontinuitäten: Typ I, die zwei Untergruppen besitzt, und Typ II, die ebenfalls in zwei Untertypen unterteilt werden, aber normalerweise nicht.

Um diese Arten zwei Grenzen verwendet werden, zu beschreiben. Angenommen, eine Funktion einer reellen Argument und für jeden Wert des Arguments, sagen wir, dann wird der linkshändigen Grenze ,, und die rechtshändige Grenze ,, werden definiert durch:

Der Wert ist der Wert, den die Funktion tendiert der Wert nähert sich von unten, und der Wert ist der Wert, den die Funktion tendiert der Wert nähert sich von oben, unabhängig von der tatsächlichen Wert die Funktion hat an der Stelle.

Gibt es einige Funktionen, für die diese Grenzen überhaupt nicht existieren. Beispielsweise die Funktion

nicht gegen alles sind in der Regel als nähert. Die Grenzwerte sind in diesem Fall nicht unendlich, sondern undefiniert: Es gibt keinen Wert, der auf absetzt. In Anlehnung an komplexe Analyse wird diese manchmal als eine wesentliche Singularität.

  • Ein Punkt, der Kontinuität, ist ein Wert, für die, wie man in der Regel erwartet. Alle Werte müssen endlich sein.
  • Ein Typ-I-Diskontinuität tritt auf, wenn und existieren und endlich sind, aber eine der drei Bedingungen gelten:; nicht für diesen Wert vorhanden ist; oder entspricht nicht den Wert, der die beiden Grenzen tendieren. Zwei Subtypen auftreten:
    • Ein Sprung tritt auf, wenn, unabhängig davon, ob vorhanden ist, und unabhängig davon, welchen Wert es haben könnte, wenn sie nicht vorhanden ist.
    • Eine abnehmbare Diskontinuität tritt auf, wenn, aber entweder der Wert nicht die Grenzen nicht übereinstimmt, oder die Funktion nicht an der Stelle existieren.
  • Ein Typ-II-Diskontinuität tritt auf, wenn entweder oder ist nicht vorhanden. Dies hat zwei Untertypen, die in der Regel nicht gesondert berücksichtigt werden:
    • Eine unendliche Diskontinuität ist der Spezialfall, wenn entweder der linken oder der rechten Hand Grenze nicht speziell existieren, weil es unendlich ist, und die andere Grenze ist entweder ebenfalls unendlich oder einige gut definierte endliche Zahl.
    • Eine wesentliche Singularität ist ein Begriff aus komplexe Analyse entlehnt. Dies ist der Fall, wenn entweder der eine oder andere Begrenzungen oder nicht vorhanden ist, aber nicht, weil es eine unendliche Diskontinuität. Wesentliche Singularitäten nähern keine Grenzen, auch nicht, wenn gesetzliche Antworten werden erweitert, um einzuschließen.

Im wirklichen Analyse, eine Singularität oder Diskontinuität ist eine Eigenschaft der allein eine Funktion. Irgendwelche Singularitäten, die in der Ableitung einer Funktion vorhanden sein können, werden als Personen, die der Ableitung nicht zur ursprünglichen Funktion betrachtet.

Koordinaten Singularitäten

Ein Koordinaten Singularität tritt auf, wenn eine scheinbare Singularität oder Diskontinuität tritt in einem Koordinatensystem, das durch die Wahl eines anderen Frame entfernt werden kann. Ein Beispiel ist die scheinbare Singularität im 90 Grad Breite in sphärischen Koordinaten. Ein Objekt, das sich nach Norden auf der Oberfläche einer Kugel plötzlich erleben sofortige Änderung in der Länge an der Stange. Diese Diskontinuität ist jedoch nur scheinbar; es ist ein Artefakt des gewählten Koordinatensystem, das singuläre an den Polen ist. Ein anderes Koordinatensystem würde den scheinbaren Diskontinuität zu beseitigen, zB durch Ersetzen Breite / Länge mit n-Vektor.

Komplexe Analyse

In komplexen Analyse Es gibt vier Klassen von Singularitäten, wie unten beschrieben. Angenommen, U eine offene Teilmenge der komplexen Zahlen C, und der Punkt a ein Element von U und f ist eine auf einigen Nachbarschaft um eine definierte Komplex differenzierbare Funktion, ohne a: U \ {a}.

  • Isolierter Singularitäten: Angenommen, die Funktion f nicht an einem definierten, obwohl es weisen Werte auf U \ definiert {a}.
    • Der Punkt a eine hebbare Singularität von f, wenn es eine holomorphe Funktion g auf allen U mit f = g definiert für alle z in U \ {a}. Die Funktion g ist ein kontinuierliches Ersetzen der Funktion f.
    • Der Punkt A ist eine Stange oder nicht wesentliche Singularität von f, wenn es eine holomorphe Funktion g auf U definiert mit g null ist, und eine natürliche Zahl n, so dass f = g / für alle z in U \ {a}. Die Zahl n ist dabei die Reihenfolge der Pole bezeichnet. Das Derivat bei einer nicht-wesentliche Singularität selbst eine nicht-wesentliche Singularität, wobei n um 1 erhöht.
    • Der Punkt a eine wesentliche Singularität von f, wenn es weder eine hebbare Singularität noch eine Stange. Der Punkt a eine wesentliche Singularität, wenn und nur wenn der Laurent-Reihe unendlich viele Kräfte von negativen Grad.
  • Verzweigungspunkte sind im allgemeinen das Ergebnis einer Mehrwertfunktion wie oder innerhalb einer bestimmten, begrenzten Domäne definiert, so dass die Funktion einwertig innerhalb der Domäne durchgeführt werden. Der Schnitt einer Linie oder Kurve der Domäne ausgeschlossen, eine technische Trennung zwischen diskontinuierliche Werte der Funktion einzuführen. Wenn der Schnitt wirklich erforderlich ist, wird die Funktion deutlich unterschiedliche Werte auf jeder Seite des Verzweigungsschnitt haben. Die Form der Verzweigungsschnitt ist eine Frage der Wahl, es muss jedoch zwei verschiedenen Verzweigungspunkten, die an Ort und Stelle festgelegt ist zu verbinden.

Endlicher Zeit Singularität

Ein endlicher Zeit Singularität auftritt, wenn eine Eingangsgröße die Zeit ist und eine Ausgangsgröße nimmt in Richtung unendlich auf einen endlichen Zeit. Dies sind in der Kinematik und PDEs wichtig - Unendlichkeiten nicht physisch auftreten, aber das Verhalten in der Nähe der Singularität ist oft von Interesse. Mathematisch die einfachsten in endlicher Zeit Singularitäten Potenzgesetze für verschiedene Exponenten, von denen die einfachste hyperbolisch Wachstum, wobei der Exponent 1: Genauer gesagt, um eine Singularität in positive Zeit die Zeit fortschreitet zu bekommen, verwendet stattdessen ein.

Ein Beispiel wäre die Springbewegungen aus einem unelastischen Kugel auf einer Ebene sein. Wenn idealisiert Bewegung betrachtet wird, in denen dieselbe Bruchteil der kinetischen Energie wird bei jedem Schlag hat, wird die Frequenz der Sprünge unendlich, wie der Ball in einer endlichen Zeit ruhen. Andere Beispiele von endlicher Zeit Singularitäten sind die Painlevé Paradox in verschiedenen Formen, und wie die Präzession Rate einer Münze auf einer ebenen Fläche gesponnen Richtung unendlich beschleunigt, bevor abrupt stoppen.

Hypothetischen Beispiele sind Heinz von Foersters witzig "Doomsday-Gleichung".

Algebraische Geometrie und kommutativen Algebra

In der algebraischen Geometrie, eine Singularität einer algebraischen Varietät ein Punkt, der Sorte, wo die Tangentenraum kann nicht regelmäßig bestimmt werden. Das einfachste Beispiel für Singularitäten sind Kurven, die sich kreuzen. Aber es gibt auch andere Arten von Singularitäten, wie Höcker. Zum Beispiel die Gleichung definiert eine Kurve, die eine Spitze im Ursprung hat. Könnte man die x-Achse als Tangente an diesem Punkt zu definieren, aber diese Definition nicht die gleiche wie die Definition in anderen Punkten. In der Tat, in diesem Fall ist die x-Achse einen "Doppeltangente."

Für affine und projektive Varietäten sind die Singularitäten die Punkte, wo die Jacobi-Matrix hat einen Rang, der niedriger ist als an anderen Stellen der Vielfalt ist.

Eine äquivalente Definition hinsichtlich der kommutativen Algebra kann erteilt werden, die auf abstrakte Sorten und Systeme erweitert: Ein Punkt ist sonderbar, wenn der lokale Ring an diesem Punkt ist keine reguläre lokaler Ring.

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