Quotient-Algebra

In der Mathematik ein Quotient-Algebra ,, auch als Faktor Algebra, wird durch die Aufteilung der Elemente einer Algebra in Äquivalenzklassen durch eine Kongruenzrelation gegebenen erhalten, ist, dass eine Äquivalenzrelation, die zusätzlich kompatibel mit allen Operationen der Algebra, in die formal im Folgenden beschrieben.

Kompatibel Verhältnis

Sei A eine Menge, und sei E eine Äquivalenzrelation auf der Menge A. Das Verhältnis E wird gesagt, mit einem n-stellige Operation f, wenn für alle, wann immer bedeutet, kompatibel zu sein. Eine Äquivalenzrelation mit all den Operationen einer Algebra kompatibel heißt eine Kongruenz.

Kongruenz Gitter

Für jede Algebra auf der Menge A, die Identität Relation auf A, und sind trivial Kongruenzen. Eine Algebra ohne andere Kongruenzen heißt einfach.

Lassen Sie die Menge der Kongruenzen auf der Algebra. Weil Kongruenzen werden unter Schnitt abgeschlossen, können wir ein Meet Operation zu definieren: indem man einfach den Schnittpunkt der Kongruenzen.

Auf der anderen Seite, sind Kongruenzen nicht unter Union geschlossen. Wir können jedoch die Schließung eines binären Relation E auf eine feste Algebra definiert, bezogen ist, so dass es eine Übereinstimmung in der folgenden Weise :. Beachten Sie, dass die Schließung einer binären Relation hängt von den Operationen in, nicht nur auf dem Träger-Set. Jetzt definieren.

Für jeden Algebra, wobei die beiden Vorgänge oben definiert bildet ein Gitter, genannt die Kongruenz Gitter.

Quotient Algebren und Homomorphismen

Eine Menge A kann in Äquivalenzklassen durch eine Äquivalenzrelation E gegeben partitioniert werden, und in der Regel als eine Quotientenmenge, und mit A / E. Für eine Algebra, ist es einfach, die Operationen auf A / E induzierte definieren, wenn E eine Kongruenz. Genauer gesagt, für jeden Betrieb arity in definieren, wo bezeichnet die Äquivalenzklasse von einem Modulo-E.

Für eine Algebra, bei einer Kongruenz E auf, die Algebra heißt der Quotient Algebra der Modulo E. Es gibt eine natürliche Homomorphismus von bis Abbilden jedes Element auf seine Äquivalenzklasse. In der Tat, bestimmt jeden Homomorphismus h eine Kongruenz; der Kern des Homomorphismus ,.

Bei einer Algebra, definiert einen Homomorphismus h somit zwei Algebren homomorphen um, das Bild h und die beiden sind isomorph, ein Ergebnis, wie die homomorphe Bild Theorem bekannt. Formal lassen eine surjektive Homomorphismus. Dann existiert eine eindeutige Isomorphismus g aus auf, so dass g mit dem natürlichen Homomorphismus durch induzierte zusammen gleich H ist.

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