Quadratwurzel

In der Mathematik ist eine Zahl y, so dass, mit anderen Worten, ist eine Zahl, deren Quadrat y a a Quadratwurzel einer Zahl a. Zum Beispiel, 4 und -4 Quadratwurzeln von 16, weil.

Jedes nicht-negative reelle Zahl a hat eine einzigartige nicht-negative Quadratwurzel, die so genannte Haupt Quadratwurzel, die durch bezeichnet ist, wo √ der Rest Zeichen oder radix genannt. Beispielsweise ist der Haupt Quadratwurzel 9 3 bezeichneten = 3, weil und 3 nicht-negativ ist. Der Ausdruck, dessen Wurzel in Betracht gezogen wird als Radikanden bekannt. Die Radikanden ist die Zahl oder ein Ausdruck unter dem Wurzelzeichen in diesem Beispiel 9.

Jede positive Zahl a besitzt zwei Quadratwurzeln :, was positiv ist, und -, was negativ ist. Zusammen bilden diese beiden Wurzeln bezeichnet ±. Obwohl die Haupt Quadratwurzel einer positiven Zahl ist nur eine von seinen zwei Quadratwurzeln, die Bezeichnung "die Wurzel" wird häufig verwendet, um auf die Haupt Quadratwurzel beziehen. Für positive a kann der Haupt Quadratwurzel auch im Exponenten-Darstellung geschrieben werden, da ein.

Quadratwurzeln negativer Zahlen können im Rahmen der komplexen Zahlen erläutert. Allgemeiner kann Quadratwurzeln in jedem Kontext, in dem ein Begriff der "Quadratur" einiger mathematischer Objekte definiert betrachtet werden

Geschichte

24,51,10 und 42;; 25,35 Basis 60 Zahlen auf einem Platz, der von zwei Diagonalen gekreuzt Die Yale Babylonian Collection YBC 7289 Tontafel wurde zwischen 1800 BC und 1600 BC, zeigt und 30 als 1 erstellt.

Der Papyrus Rhind ist eine Kopie aus dem Jahr 1650 vor Christus von einem noch früheren Arbeit und zeigt, wie die Ägypter extrahiert Quadratwurzeln.

Im alten Indien, die Kenntnis der theoretischen und angewandten Aspekte Quadrat und Quadratwurzel war mindestens so alt wie die Sulba Sutras, datiert rund 800 bis 500 vor Christus. Ein Verfahren für die Suche nach sehr gute Annäherungen an die Quadratwurzeln aus 2 und 3 sind in der Baudhayana Sulba Sutra gegeben. Aryabhata im Aryabhatiya, hat eine Methode für die Suche nach der Quadratwurzel von Zahlen mit vielen Stellen angegeben.

Es war den alten Griechen bekannt, dass Quadratwurzeln aus positiven ganzen Zahlen, die nicht perfekt sind Plätze sind immer irrationalen Zahlen: Zahlen nicht ausdrückbar als Verhältnis zweier ganzer Zahlen. Dies ist der Satz Euclid X, 9 nahezu sicher auf Theaitetos aus dem Jahr 380 vor Christus circa. Der Fall ist bis jetzt zurück zu den früheren Pythagoräer angenommen und wird traditionell zum Hippasus zurückzuführen. Es ist genau die Länge der Diagonalen eines Quadrats mit der Seitenlänge 1.

In der chinesischen mathematische Arbeit Schriften über Reckoning, zwischen 202 BC und 186 BC während der frühen Han-Dynastie geschrieben wird, wird die Quadratwurzel unter Verwendung eines "Überschuß und Mangel" Methode, die auf ", sagt angenähert ... kombinieren den Überschuss und Mangel als der Divisor, der Mangel Zähler multipliziert mit dem überschüssigen Nenner und das überschüssige Zähler Zeiten des Mangels Nenner, kombinieren sie als Dividende ".

Mahavira, ein indischer Mathematiker aus dem 9. Jahrhundert, war der erste, zu behaupten, dass Quadratwurzeln aus negativen Zahlen gibt es nicht.

Ein Symbol für die Quadratwurzeln, als aufwendige R geschrieben, wurde von Regiomontanus erfunden. Ein R wurde auch für Radix verwendet, um Quadratwurzeln in Giralamo Cardanos Ars Magna anzuzeigen.

Gemäß dem Historiker der Mathematik D.E. Smith, Aryabhata Methode für die Suche nach der Quadratwurzel wurde erstmals in Europa um Cataneo 1546 eingeführt.

'-' Das Symbol "√" für die Quadratwurzel wurde erstmals im Druck 1525 in Christoph Rudolff der Coss, der auch der erste, der damals neuen Zeichen '+' und verwenden verwendet.

Eigenschaften und Anwendungen

Die Hauptquadratwurzelfunktion f = ist eine Funktion, die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen auf sich selbst abbildet. In geometrischer Hinsicht bildet die Quadratwurzelfunktion die Fläche eines Quadrats zu seiner Seitenlänge.

Die Quadratwurzel von x ist vernünftig ist, wenn x eine rationale Zahl ist, die als ein Verhältnis von zwei Quadratzahlen dargestellt werden kann. Die Quadratwurzel Funktion bildet rationalen Zahlen in algebraischen Zahlen.

Für alle reellen Zahlen x

Für alle nicht-negativen reellen Zahlen x und y,

und

Die Quadratwurzelfunktion stetig ist für alle nicht-negativen x und differenzierbar ist für alle positiven x. Wenn f die Wurzelfunktion, wird seine Derivat gegeben durch:

Die Taylor-Reihe von etwa x = 0 konvergiert für | x | ≤ 1 und ist gegeben durch

Quadratwurzel einer nicht negative Zahl wird in der Definition der euklidischen Norm, wie in Verallgemeinerungen wie Hilbert Räumen verwendet, ebenso. Es definiert einen wichtigen Begriff der Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet. Es hat einen großen Einsatz in der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung; quadratischen Feldern und Ringen der quadratischen Zahlen, die auf Quadratwurzeln basieren, sind in der Algebra wichtig und haben in der Geometrie verwendet. Quadratwurzeln häufig in mathematische Formeln an anderer Stelle erscheinen, ebenso wie in vielen physikalischen Gesetzen.

Berechnung

Die meisten Taschenrechner haben eine Quadratwurzel-Taste. Computer-Tabellen und andere Software werden auch häufig verwendet, um Quadratwurzeln berechnen. Taschenrechner zu implementieren in der Regel effizienter Routinen wie die Newton-Verfahren, um die Quadratwurzel aus einer positiven reellen Zahl zu berechnen. Bei der Berechnung von Quadratwurzeln mit Logarithmentafeln oder Rechenschieber, kann man die Identität nutzen

wo und sind die natürlichen und Basis 10 Logarithmen.

Durch Versuch und Irrtum, kann man eine Schätzung für quadratische und Anheben oder Absenken der Schätzung, bis es eine ausreichende Genauigkeit übereinstimmt. Für diese Technik ist es ratsam, die Identität zu verwenden

denn sie ermöglicht es, die Schätzung x um einen Betrag c einstellen und messen Sie den Platz von der Einstellung in Bezug auf die ursprüngliche Schätzung und dessen Platz. Ferner wird, wenn c in der Nähe von 0, da die Tangente an den Graphen von c = 0, als Funktion von c allein ist. So können kleine Anpassungen x durch Einstellen auf oder geplant werden.

Die häufigste iterative Methode der Quadratwurzelberechnung mit der Hand wird als die "babylonische Methode" oder "Heron-Verfahren" nach dem griechischen Philosophen das erste Jahrhundert Heron von Alexandria, der als erster beschrieb es bekannt. Das Verfahren verwendet die gleiche iterative Schema wie die Newton-Raphson-Methode liefert, wenn der Funktion y = f angewendet = x - a, mit der Tatsache, dass ihre Steigung an jedem Punkt ist aber älter als es von vielen Jahrhunderten. Der Algorithmus besteht darin, eine einfache Rechnung, die sich zu einer Nummer näher zu dem tatsächlichen Quadratwurzel jedes Mal ist es durch ihr Ergebnis als neuer Eingangs wiederholt wiederholen. Die Motivation besteht darin, daß, wenn x eine Überschätzung der Quadratwurzel eines nicht-negativen reellen Zahl a dann a / x wird niedrig angesetzt und so der Mittelwert dieser beiden Zahlen ist eine bessere Annäherung als jeder von ihnen sein. Die Ungleichheit der arithmetischen und geometrischen Mittel zeigt jedoch dieser Mittelwert ist immer eine Überschätzung der Quadratwurzel, und so kann es als ein neues Überschätzung, mit dem der Prozess, der als Folge der aufeinanderfolgenden Überschätzung konvergiert wiederholen dienen und unterschätzt näher miteinander nach jeder Iteration. Um x zu finden:

  • Beginnen Sie mit einer beliebigen positiven Startwert x. Je näher an der Wurzel aus a, desto weniger Iterationen, die benötigt werden, um die gewünschte Genauigkeit zu erreichen.
  • Ersetzen Sie x durch die durchschnittliche / 2 zwischen x und a / x.
  • Wiederholen von Schritt 2 mit diesen Mittelwert als den neuen Wert von x.

Das heißt, wenn eine beliebige Schätzung für ist, und dann wird jeder xn ist eine Annäherung, die besser für große n als für kleine n. Wenn a positiv ist, ist die Konvergenz quadratisch, was bedeutet, dass bei der Annäherung an die Grenze, die Anzahl der richtigen Ziffern verdoppelt grob jeweils nächsten Iteration. Wenn die Konvergenz nur linear.

Verwendung der Identität

die Berechnung der Quadratwurzel einer positiven Zahl kann mit der von einer Anzahl in einem Bereich reduziert werden kann, wie folgt aussieht:

wobei die zweistellige Muster {3, 6} wiederholt immer und immer wieder in den Teil Nenner. Da die oben ist auch identisch mit den folgenden verallgemeinerten Kettenbrüche:

Geometrische Konstruktion der Quadratwurzel

Quadratwurzel einer positiven Zahl ist üblicherweise als die Seitenlänge eines Quadrats mit einer Fläche gleich der gegebenen Zahl definiert. Aber die quadratische Form ist nicht für erforderlich: Wenn einer von zwei ähnlichen ebenen euklidischen Objekte hat das Gebiet ein-mal größer als der andere, dann ist das Verhältnis ihrer linearen Größen ist.

Eine Wurzel kann mit einem Zirkel und Lineal konstruiert werden. In seiner Elemente, gab Euklid die Konstruktion des geometrischen Mittels der beiden Größen an zwei verschiedenen Orten: Proposition II.14 und Proposition VI.13. Da der geometrische Mittelwert von a und b ist, eine einfach, indem sie zu konstruieren kann.

Der Bau wird auch von Descartes in seinem La Géométrie Bild 2 auf Seite 2. jedoch gegeben, zu sehen machte Descartes keinen Anspruch auf Originalität und sein Publikum würde sehr vertraut mit Euclid gewesen.

Zweiten Beweis Euklids in Buch VI, hängt von der Theorie der ähnlichen Dreiecken. Lassen AHB ist eine Strecke der Länge mit und. Konstruieren Sie den Kreis mit AB als Durchmesser und sei C eine der beiden Schnittpunkte der senkrechten Akkord H mit dem Kreis sein können und die Länge CH als h. Dann, mit Satz von Thales und, wie im Beweis von Satz des Pythagoras durch ähnliche Dreiecke ist Dreiecks AHC ähnlich Dreieck CHB, so dass AH: CH ist als HC: HB, das heißt, aus denen wir schließen mit Dreisatz, dass und schließlich daß. Beachten Sie außerdem, dass, wenn Sie waren, um den Mittelpunkt O der Strecke AB markieren und ziehen Sie den Radius OC Längen dann deutlich OC & gt; CH, dh, die das arithmetische-geometrische Mittel Ungleichung für zwei Variablen ist, und, wie oben erwähnt, ist die Grundlage der antiken griechischen Verständnis der "Heron-Verfahren".

Eine andere Methode der geometrische Konstruktion verwendet rechtwinklige Dreiecke und Induktion: Selbstverständlich können, konstruiert werden, und einmal konstruiert wurde, das rechte Dreieck mit 1 und seine Beine hat eine Hypotenuse. Die Wurzelschnecke wird mit aufeinanderfolgenden Quadratwurzeln auf diese Weise aufgebaut.


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