Punktweise Konvergenz

In der Mathematik ist punktweise Konvergenz einer von verschiedenen Richtungen in dem eine Folge von Funktionen, um eine bestimmte Funktion zu konvergieren.

Definition

Angenommen, {fn} eine Folge von Funktionen, die sich im selben Bereich und codomain. Die Folge {fn} konvergiert punktweise gegen f, oft geschrieben

dann und nur dann, wenn

für alle x in der Domäne.

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Dieses Konzept wird oft mit gleichmäßigen Konvergenz gegenüber. Zu sagen, dass

bedeutet, dass

Das ist eine stärkere Aussage über die Geltendmachung von punktweise Konvergenz: jeden gleichmäßig konvergiert Sequenz punktweise konvergent zu derselben Begrenzungsfunktion, aber einige punktweise konvergent Sequenzen nicht gleichmäßig konvergiert. Zum Beispiel haben wir

Die punktweise Grenzwert einer Folge von stetigen Funktionen kann eine unstetige Funktion sein, aber nur, wenn die Konvergenz nicht einheitlich. Beispielsweise,

nimmt den Wert 1, wenn x eine ganze Zahl ist und 0, wenn x keine ganze Zahl ist, und so ist diskontinuierlich bei jeder ganzen Zahl.

Die Werte der Funktionen fn muss nicht reelle Zahlen sein, aber kann in jeder topologischer Raum, damit das Konzept der punktweisen Konvergenz sinnvoll. Gleichmäßige Konvergenz, auf der anderen Seite, ist nicht sinnvoll für Funktionen mit Werten in topologischen Räumen in der Regel, aber sinnvoll für Funktionen mit Werten in metrische Räume, und, allgemeiner, in Uniform Plätze.

Topology

Punktweise Konvergenz ist die gleiche wie die Konvergenz in der Produkttopologie auf dem Raum Y, wobei X die Domäne und Y die codomain. Wenn der Wertebereich Y ist kompakt, dann durch Satz von Tychonoff, ist auch der Raum Y kompakt.

Fast überall Konvergenz

In Maßtheorie, spricht man von fast überall Konvergenz einer Folge von messbaren Funktionen auf einem Messraum definiert. Das bedeutet, dass die punktweise Konvergenz fast überall. Egorov Theorem besagt, dass die punktweise Konvergenz fast überall auf einem Satz von endliches Maß bedeutet, gleichmäßigen Konvergenz auf einem etwas kleineren Set.

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