Münzen in einem Brunnen

In der kombinatorischen Mathematik, Münzen in einem Brunnen ist ein interessantes Problem mit einem noch interessanter erzeugende Funktion. Das Problem wird nachfolgend beschrieben:

Lösung:

Die obige Sequenz zeigen die Anzahl der Wege, auf denen n-Münzen gestapelt werden können. Also, zum Beispiel für 9 Münzen haben wir 26 verschiedene Möglichkeiten, stapelt sie in einem Brunnen. Die Zahl, die die Lösung für das oben genannte Problem wird dann durch den Koeffizienten der Polynom der Erzeugungsfunktion gegeben ist durch:

Solche erzeugende Funktion werden ausführlich in sucht

Insbesondere wird die Anzahl solcher Quellen, die unter Verwendung von n Münzen erzeugt werden können durch die Koeffizienten gegeben durch:

Dies wird einfach durch Einsetzen des Wertes von y 1 sein zu sehen Dies liegt daran, nehme die erzeugende Funktion für die Form:

dann, wenn wir wollen, um die Gesamtzahl von Brunnen zu erhalten, müssen wir Summation über k zu tun. So kann die Anzahl von Brunnen mit n insgesamt Münzen angegeben werden durch:

die durch Einsetzen des Wertes von y 1 sein, und die Beobachtung der Koeffizient von x erhalten werden kann.

Der Nachweis der Erzeugungsfunktion. Betrachten Sie die Anzahl der Möglichkeiten der Bildung einer Quelle des n-Münzen mit k-Münzen an der Basis von gegeben. Betrachten Sie nun die Anzahl der Möglichkeiten zur Herstellung desselben, jedoch mit der Einschränkung, dass der zweite am unteren Schicht enthält keine Lücken, dh es genau k enthält - 1 Münzen. Lassen Sie diese aufgerufen werden primitive Brunnen und bezeichnen sie mit. Die beiden Funktionen werden durch die folgende Gleichung bezogen werden:

Dies liegt daran, können wir die primitiven Brunnen als normaler Brunnen n anzuzeigen - k 'Münzen mit k - 1-Münzen in der Basisschicht lückenlos abgesteckt auf einer einzigen Schicht von k Münzen. Bedenken Sie außerdem, eine normale Brunnen mit einer vermeintlichen Lücke in der vorletzten Schicht in der R-Position. So kann der normale Brunnen als ein Satz von zwei Brunnen eingesehen werden:

  • Eine primitive Brunnen mit n-Münzen in ihr und Basisschicht mit r Münzen.
  • Ein normaler Brunnen mit n - n 'Münzen in sie und die Basisschicht mit k - r Münzen.

So erhalten wir die folgende Beziehung:

Jetzt können wir leicht beobachten, die erzeugende Funktion Beziehung für sein:

und für die zu sein:

Nun, einfach Ersetzen wir die Beziehung:

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