Komplexen projektiven Raum

In der Mathematik ist komplex projektiven Raum der projektiven Raum in Bezug auf den Körper der komplexen Zahlen. Analog, während die Punkte eines echten projektiven Raum Label die Linien durch den Ursprung eines echten euklidischen Raum, die Punkte eines komplexen projektiven Raum Label die komplexen Linien durch den Ursprung eines komplexen euklidischen Raum. Formal ist eine komplexe projektiven Raum der Raum der komplexen Geraden durch den Ursprung eines dimensionalen komplexen Vektorraum. Der Raum wird verschiedentlich als P, Pn oder CP bezeichnet. Wenn der Komplex projektiven Raum CP ist der Riemannschen Kugel, und wenn, ist CP die komplexe projektive Ebene.

Komplexen projektiven Raum wurde zuerst von von Staudt als Instanz, was damals als "Geometrie der Lage", eine Vorstellung, die ursprünglich aufgrund von Lazare Carnot, eine Art von synthetischen Geometrie, die anderen projektiven Geometrien auch enthalten bekannt eingeführt. Anschließend in der Nähe von der Wende des 20. Jahrhunderts wurde klar, zu der italienischen Schule der algebraischen Geometrie, dass die komplexen projektiven Räumen waren die natürlichen Bereiche, in denen, die Lösungen von Polynomgleichungen betrachten - algebraischer Varietäten. In neuerer Zeit sind sowohl die Topologie und Geometrie der komplexen projektiven Raum sind gut verstanden und eng mit der Kugel stehen. In der Tat, in einem gewissen Sinne die -Sphäre kann als eine Familie von Kreisen von CP parametriert angesehen werden: das ist die Hopf-Faserung. Komplexen projektiven Raum trägt eine Metrik, die so genannte Fubini-Study-Metrik, in Bezug auf die es eine hermitesche symmetrischen Raum von Rang 1.

Komplexen projektiven Raum hat viele Anwendungen in Mathematik und Quantenphysik. In der algebraischen Geometrie, ist komplex projektiven Raum die Heimat der projektive Varietäten, eine gut erzogene Klasse algebraischer Varietäten. In der Topologie spielt die komplexen projektiven Raum eine wichtige Rolle als Klassifizierungs Platz für komplexe Leitungsbündel: Familien von komplexen Linien von einem anderen Raum parametrisiert. In diesem Zusammenhang ist die unendliche Vereinigung der projektiven Räumen, bezeichnet CP, der Klassifizierungsraum K. In der Quantenphysik ist die Wellenfunktion zu einem reinen Zustand eines quantenmechanischen Systems assoziiert eine Wahrscheinlichkeitsamplitude, was bedeutet, dass es Einheit Norm hat, und hat einen unwesentlichen Gesamtphase: das heißt, ist die Wellenfunktion eines reinen Zustand natürlich ein Punkt in der projektiven Hilbert-Raum der Zustandsraum.

Einbringen

Die Vorstellung von einer projektiven Ebene ergibt sich aus der Idee der Perspektive in der Geometrie und Kunst: dass es manchmal sinnvoll, in der euklidischen Ebene einen zusätzlichen "imaginären" Linie, die den Horizont, dass ein Künstler malt das Flugzeug vielleicht sehen repräsentiert sind. Nach jeder Richtung von dem Ursprung, gibt es einen anderen Punkt auf dem Horizont, so dass der Horizont kann als der Satz von allen Richtungen vom Ursprung betrachtet werden. Die euklidischen Ebene, zusammen mit seinen Horizont, nennt man die reelle projektive Ebene, und der Horizont wird manchmal als eine Linie im Unendlichen. Aus dem gleichen Aufbau kann projektiven Räumen in höheren Dimensionen berücksichtigt werden. Zum Beispiel ist die reelle projektive 3-Raum einen euklidischen Raum zusammen mit einer Ebene im Unendlichen, die den Horizont, dass ein Künstler sehen würde darstellt.

Diese echten projektiven Räumen können in einer etwas strengeren Weise wie folgt aufgebaut sein. Hier, lass R bezeichnen die realen Koordinatenraum der n + 1 Dimensionen und hinsichtlich der Landschaft als eine Hyperebene in diesem Raum angestrichen werden. Nehmen wir an, dass das Auge des Künstlers ist der Ursprung in R. Dann entlang jeder Linie durch sein Auge, gibt es einen Punkt der Landschaft oder einen Punkt am Horizont. Wodurch der wirkliche projektiven Raum ist der Raum, der durch den Nullpunkt in R. ohne Bezug auf Koordinaten, dies ist der Raum der Geraden durch den Ursprung in einer dimensionalen reellen Vektorraum.

Um den Komplex zu projektiven Raum in analoger Weise beschreiben erfordert eine Verallgemeinerung der Idee der Vektor, Linie, und die Richtung. Stellen Sie sich vor, dass anstelle der, die in einer realen euklidischen Raum, der Künstler liegt in einem Komplex euklidischen Raum C stehen und die Landschaft ist ein komplexes Hyperebene. Anders als im Fall von echten euklidischen Raum, in dem komplexen Fall gibt es Richtungen, in denen der Künstler sehen, die nicht sehen, die Landschaft. Jedoch in einem komplexen Raum, gibt es eine zusätzliche "Phase", wobei die Richtungen durch einen Punkt verbunden ist, und durch das Verschieben dieser Phase wird der Künstler kann garantieren, dass er sieht, in der Regel die Landschaft. Die "Horizont" ist dann der Raum der Richtungen, aber derart, dass zwei Richtungen werden als "die gleiche" angesehen, wenn sie unterscheiden sich nur durch einen Phasen. Der Komplex projektiven Raum ist dann die Landschaft mit dem Horizont gebunden "im Unendlichen". Ebenso wie die realen Fall ist der Komplex projektiven Raum der Raum von Richtungen durch den Ursprung C, in zwei Richtungen werden als gleich angesehen, wenn sie von einer Phase unterscheiden.

Construction

Komplex projektiven Raum ist eine komplexe Verteiler, die durch n + 1 komplexen Koordinaten beschrieben werden kann

wobei die Tupel, die sich um eine Gesamt Neuskalierung identifiziert:

Das heißt, sind diese homogenen Koordinaten im herkömmlichen Sinn der projektiven Geometrie. Die Punktmenge CP wird von den Flecken bedeckt. In Ui, kann man ein Koordinatensystem definieren,

Die Koordinatenübergänge zwischen zwei verschiedene solcher Grafiken Ui und Uj sind holomorphe Funktionen. So CP trägt die Struktur einer komplexen Mannigfaltigkeit der komplexen Dimension n, und erst recht die Struktur einer wirklichen differenzierbare Mannigfaltigkeit realer Dimension 2n.

Man kann auch sehen CP als Quotient der Einheit 2n + 1 Sphäre C unter Einwirkung von U:

Dies liegt daran, jede Zeile in C schneidet die Einheitskugel in einem Kreis. Durch die erste sein, die der Einheitskugel vorsteht und dann unter der natürlichen Wirkung von U Identifizierung erhält man CP. Für n = 1 Diese Konstruktion ergibt die klassische Hopf Bündel. Aus dieser Perspektive wird die differenzierbare Struktur auf CP von der S induziert werden, wobei der Quotient aus dem letzteren durch eine kompakte Gruppe, die richtig wirkt.

Topology

Die Topologie des CP induktiv durch die folgende Zellenzerlegung bestimmt. Sei H eine Hyperebene festgelegt durch den Ursprung in C. Unter der Projektionsabbildung zu sein, geht H in einen Teilraum, die homöomorph zu CP ist. Das Komplement von H in CP ist homöomorph zu C. So entsteht CP durch Anbringen eines 2n-Zelle zu CP:

Alternativ, falls die 2n-Zelle statt dessen das offene Einheitskugel in C betrachtet, so ist die Befestigung der Karte ist die Hopf Faserung der Grenze. Eine analoge induktive Zellenzerlegungs gilt für alle der projektive Räume; zu sehen.

Point-Topologie eingestellt

Komplexen projektiven Raum ist kompakt und verbunden sind, wobei ein Quotient aus einer kompakten, zusammenhängenden Raum.

Homotopiegruppen

Von dem Faserbündel

oder mehr suggestiv

CP einfach zusammenhängend. Darüber hinaus wird durch die lange exakte Homotopie-Sequenz, ist der zweite Homotopiegruppe und alle höheren Homotopiegruppen stimmen mit denen des S: für alle k & gt; 2.

Homologie

In der Regel wird die algebraische Topologie des CP auf dem Rang der Homologiegruppen null in ungeraden Dimensionen auf Basis; auch H2i ist unendliche zyklische für i = 0 bis n. Daher laufen die Bettizahlen

Das heißt, 0 in ungeraden Dimensionen 1 in auch Dimensionen bis 2n. Die Euler-Charakteristik des CP ist also n + 1. Mit Poincaré Dualität das gleiche gilt für die Reihen der Kohomologiegruppen. Im Falle der Kohomologie, kann man weiter gehen, und Identifizierung der abgestuften Ringstruktur, beispiels Tasse Produkt; der Generator von H ist die Klasse, zu einer Hyperebene zugeordnet ist, und dies ist ein Ringgenerator, so daß der Ring isomorph ist

mit T ein Grad zwei Generator. Dies impliziert auch, dass der Hodge Nummer h = 1 und alle anderen Null sind. Siehe.

K-Theorie

Nach Induktion und Bott Periodizität

Die Tangentialbündel erfüllt

wo bezeichnet die triviale Leitungsbündel. Daraus kann die Chern-Klassen und Kennzahlen berechnet werden.

Klassifizieren Raum

Es einen Raum CP, die in einem gewissen Sinn ist die induktive Grenze CP als n → ∞. Es ist BU, der Klassifizierungsraum U, im Sinne der Homotopietheorie, und so klassifiziert komplexen Leitungsbündeln; äquivalent es erklärt die ersten Chern-Klasse. Siehe, zum Beispiel, und. Der Raum CP ist ebenfalls die gleiche wie die unendlichdimensionale projektiven unitären Gruppe; zu sehen, dass die Artikel für weitere Eigenschaften und Diskussion.

Differentialgeometrie

Die natürliche Metrik auf CP ist die Fubini-Study-Metrik, und seine Isometriegruppe ist die projektive einheitliche Gruppe PU, wobei der Stabilisator eines Punktes

Es ist eine hermitesche symmetrischen Raum, als Nebenklassenraum dargestellt

Die geodätische Symmetrie in einem Punkt p ist die unitäre Transformation, die p fixiert und ist der negative Identität auf das orthogonale Komplement der Leitung durch p dargestellt wird.

Geodäten

Durch zwei beliebigen Punkten p, q in komplexen projektiven Raum, es geht ein einzigartiger Komplex Linie. Ein großer Kreis dieser komplexen Zeile, p und q enthält eine Geodätische für die Fubini-Study Metrik. Insbesondere alle Geodäten sind geschlossen, und alle haben gleiche Länge.

Der Schnittort jedes Punktes p gleich einer Hyperebene CP. Dies ist auch die Menge der Fixpunkte der geodätischen Symmetrie bei p. Siehe.

Schnittkrümmung Kneifen

Es verfügt über Schnittkrümmung im Bereich von 1/4 bis 1 und ist die rundesten Mannigfaltigkeit, die nicht eine Kugel: von der 4.1-klemmt Kugel Satz, jedes vollständige, einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Krümmungs strikt zwischen 1/4 und 1 diffeomorph an die Kugel. Komplexen projektiven Raum zeigt, dass 1/4 scharf ist. Umgekehrt, wenn vollständige einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit hat Schnitts Krümmungen in dem abgeschlossenen Intervall, dann ist es entweder diffeomorph an die Kugel oder isometrischen der komplexen projektiven Raum, der quaternionic projektiven Raum, oder der Cayley Ebene F4 / Spin; zu sehen.

Algebraische Geometrie

Komplex projektiven Raum ist ein Spezialfall einer Grassmannsche und ist ein homogener Raum für verschiedene Lie-Gruppen. Es ist eine Kähler Verteiler Tragen des Fubini-Study-Metrik, die im wesentlichen durch Symmetrieeigenschaften bestimmt wird. Es spielt auch eine zentrale Rolle in der algebraischen Geometrie; von Chow-Theorem ist jede kompakte komplexe Untermannigfaltigkeit von CP die Null-Locus aus einer endlichen Anzahl von Polynomen und ist somit eine projektive algebraische Varietät. Sehen

Zariski-Topologie

In der algebraischen Geometrie, kann komplex projektiven Raum mit einer anderen Topologie wie der Zariski-Topologie bekannt, ausgestattet werden. Lassen Sie bezeichnen die kommutativen Ring von Polynomen in den Variablen Z0, ..., Zn. Dieser Ring wird durch die Gesamtgrad jedes Polynom abgestuft:

Definieren Sie eine Teilmenge von CP zu schließen, wenn sie den Satz von einer Sammlung von homogenen Polynomen gleichzeitige Lösung werden. Deklarieren Sie die Komplemente der abgeschlossenen Mengen offen zu sein, dies definiert eine Topologie auf CP.

Struktur als Schema

Ein weiterer Bau von CP ist möglich. Lassen S + ⊂ S die ideale durch die homogene Polynome vom positiven Grad überspannt werden:

Definieren Proj S um die Menge aller homogenen Primideale in S, die S + nicht enthalten sein. Rufen Sie einen geschlossen von Proj S offen, wenn sie die Form hat

für einige ideale I in S. Die Komplemente dieser geschlossenen Sets definieren eine Topologie auf Proj S. Der Ring S, durch die Lokalisierung in einem Primideal, bestimmt eine Garbe der lokalen Ringe auf Proj S. Der Raum Proj S zusammen mit ihren Topologie und Garbe der lokalen Ringe, ist ein Schema. Die Teilmenge von geschlossenen Punkte Proj S homöomorph zum CP mit seinen Zariski-Topologie. Lokale Sektionen der Garbe mit den rationalen Funktionen der gesamten Grad Null auf CP identifiziert.

Linienbündel

Alle Linienbündel auf komplexen projektiven Raum kann durch die folgende Konstruktion erhalten werden. Eine Funktion ist homogen vom Grad k, wenn genannt

für alle} und}. Generell macht diese Definition sinnvoll Kegel in}. Ein Satz} heißt ein Kegel, wenn, wenn, dann für jeden}; das heißt, eine Teilmenge ein Kegel, wenn es die komplexe Linien durch jeden ihrer Punkte enthält. Wenn eine offene Menge, lassen} die Kegel über U: das Urbild von U unter der Projektion. Schließlich wird für jede ganze Zahl k, lassen O die Menge der Funktionen, die homogen vom Grad k in V. sind Dies definiert eine Garbe der Abschnitte einer bestimmten Leitungsbündel, von O. bezeichnet

In dem speziellen Fall, wird das Bündel O genannt tautologische Leitungsbündel. Es ist in äquivalenter Weise wie die Teilbündel des Produktes definiert

dessen Faser über die Menge

Diese Leitungsbündel können auch in der Sprache der Teiler beschrieben. Sei H = CP eine gegebene komplexe Hyperebene in CP sein. Der Raum meromorpher Funktionen auf CP mit höchstens einem einfachen Pol entlang H ein eindimensionalen Raum, durch O bezeichnet, und eine so genannte Hyperbündel. Die Dual-Bündel bezeichnet O, und die k-Tensor Kraft des O wird von O. bezeichnet Dies ist die Garbe von holomorphen Vielfache einer meromorphe Funktion mit einem Pol der Ordnung k entlang H. erzeugten Es stellt sich heraus, dass

In der Tat, wenn ein linearer definieren Funktion für H, L, dann ist eine meromorphe Abschnitt O, und vor Ort die anderen Abschnitte der O Vielfache von diesem Abschnitt.

Da die Linienbündel auf CP sind bis auf Isomorphie durch ihre Chern-Klassen, die ganze Zahlen sind eingeteilt:. Sie liegen in der Tat die ersten Chernklassen von komplexen projektiven Raum unter Poincaré-Dualität durch die Homologieklasse in eine Hyperebene H zugeordnet generiert . Das Leitungsbündel O hat Chern-Klasse k. Daher jede holomorphe Leitungsbündel auf CP ein Tensor Kraft des O oder O Mit anderen Worten wird die Picard Gruppe von CP als abelsche Gruppe von der Hyperebene Klasse generiert.

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