Kollineation

Projektive Geometrie ist eine Kollineation eine eins-zu-eins und auf der Karte von einem projektiven Raum zu einem anderen oder von einem projektiven Raum zu sich selbst, so dass die Bilder von kollinearen Punkten befinden sich kollinear. Ein Kollineation ist also ein Isomorphismus zwischen projektiven Räumen oder ein Automorphismus von einem projektiven Raum für sich. Einige Autoren beschränken die Definition Kollineation zu dem Fall, wo es eine automorphism. Die Menge aller Kollineationen eines Raumes, um sich eine Gruppe bilden, die so genannte Kollineationsgruppe.

Definition

Einfach ausgedrückt, ist eine Kollineation eine Eins-zu-Eins-Abbildung von einem projektiven Raum zu einem anderen oder von einem projektiven Raum zu sich selbst, so dass die Bilder von kollinearen Punkten befinden sich kollinear. Man kann dies mit verschiedenen Arten der Präsentation einen projektiven Raum zu formalisieren. Außerdem ist der Fall der projektiven Linie spezielle und daher im allgemeinen unterschiedlich behandelt.

Lineare Algebra

Für einen projektiven Raum im Hinblick auf die lineare Algebra definiert ist, ist ein Kollineation eine Karte zwischen den projektiven Räumen, die ordnungserhalt in Bezug auf die Aufnahme von Unterräumen ist.

Formal sei V ein Vektorraum über einem Körper K und W ein Vektorraum über einem Feld L. Betrachten Sie die projektiven Räumen PG und PG, bestehend aus den Vektor-Linien V und W Anruf D und D die Menge der Unterräume von V sein und W sind. Ein Kollineation von PG PG ist eine Karte α: D → D, so dass:

  • α eine Bijektion.
  • A ⊆ B ⇔ α ⊆ α für alle A, B in D.

Axiomatisch

Bei einem projektiven Raum axiomatisch im Sinne einer Inzidenz Struktur definiert, eine Kollineation zwischen projektiven Räumen so definierten wobei dann eine bijektive Funktion f zwischen den Sätzen von Punkten und eine bijektive Funktion g zwischen dem Satz von Linien, die Erhaltung der Inzidenzrelation.

Jedes projektiven Raum der Dimension größer als oder gleich drei ist isomorph zum projectivization eines linearen Raum über einem Teilungsring, so daß in diesen Abmessungen ist diese Definition nicht mehr allgemein als das linear-algebraische oben, nur in der Dimension zwei gibt es andere projektive Ebenen, nämlich die Nicht-Desarguesian Flugzeuge, und diese Definition erlaubt es, Kollineationen in solchen projektiven Ebenen definieren.

Für eine Dimension, die Menge der Punkte auf einer projektiven Geraden liegen definiert einen projektiven Raum, und das resultierende Begriff Kollineation ist nur irgendeine Bijektion der Menge.

Kollineationen der projektiven Geraden

Für einen projektiven Raum der Dimension ein, sind alle Punkte kollinear, so dass die Kollineationsgruppe ist genau die symmetrische Gruppe der Punkte der projektiven Geraden. Dies unterscheidet sich von dem Verhalten in höheren Dimensionen, und so gibt einem eine restriktivere Definition, so dass der Hauptsatz der projektiven Geometrie hält angegeben.

In dieser Definition, wenn V die Dimension zwei, eine Kollineation von PG PG ist eine Karte α: D → D, so dass:

  • Der Nullraum von V auf den Nullraum von W. kartiert
  • V an W. kartiert
  • Gibt es eine nichtsinguläre semilineare Abbildung β von V nach W, so dass für alle v in V,

Diese letzte Anforderung stellt sicher, dass Kollineationen sind alle semilineare Karten.

Typen

Die wichtigsten Beispiele sind Kollineationen projektiven linearen Transformationen und automorphen Kollineationen. Für projektiven Räumen, die aus einem linearen Raum, der Fundamentalsatz der projektiven Geometrie besagt, dass alle Kollineationen sind eine Kombination aus diesen, wie unten beschrieben.

Projektive lineare Transformationen

Projektive lineare Transformationen sind Kollineationen, aber im Allgemeinen nicht alle Kollineationen sind projektive lineare Transformationen. PGL ist im Allgemeinen eine echte Untergruppe des Kollineationsgruppe.

Automorphe Kollineationen

Ein automorphen Kollineation ist eine Karte, die in den Koordinaten, ist ein Feld Automorphismus auf die Koordinaten aufgetragen.

Hauptsatz der projektiven Geometrie

Wenn die geometrische Abmessung eines pappian projektiven Raum zumindest 2 ist, jedes Kollineation ist das Produkt einer homographischen und einem automorphen Kollineation. Genauer gesagt, ist die Kollineationsgruppe die projektive semilineare Gruppe, die die semidirekte Produkt von Homographien durch automorphen Kollineationen ist.

Insbesondere sind die Kollineationen von PG genau die Homographien, wie R hat keine nicht-triviale Automorphismen ist trivial).

Angenommen φ ist ein semilinearer singulär Karte von V nach W, mit der Dimension V mindestens drei beträgt. Definieren α: D → D mit den Worten, dass für alle z in D. Da φ ist semilineare man leicht überprüft, ob die Karte richtig definiert sind, und noch mehr, als φ ist nicht singulär, bijektiv ist. Es ist nun offensichtlich, dass α ist ein Kollineation. Wir sagen α wird durch φ induziert.

Der Fundamentalsatz der projektiven Geometrie besagt das Gegenteil:

Angenommen, V ein Vektorraum über einem Körper K mit Dimension mindestens drei, W ist ein Vektorraum über einem Körper L und α ist ein Kollineation von PG PG. Dies bedeutet, K und L sind isomorph Felder, V und W haben die gleichen Abmessungen, und es ist ein semilineare Abbildung φ, so dass φ α induziert.

Für die Kollineation Gruppe ist die projektive semilineare Gruppe - das ist PGL, durch Feld Automorphismen verdreht; Formal ist die semidirekte Produkt, wobei k die Primkörper für K.

Lineare Struktur

So für K ein Paradefeld, haben wir aber für K nicht bester Feld ist der projektiven linearen Gruppe in der Regel eine echte Untergruppe des Kollineation Gruppe, die der als "Transformationen Erhaltung einer projektiven semi-linearen Struktur" gedacht werden kann. Entsprechend entspricht der Quotientengruppe auf "Auswahl der linearen Struktur", wobei die Identität als der bestehende lineare Struktur. Bei einem projektiven Raum ohne Identifizierung als projectivization eines linearen Raum, gibt es keine natürlichen Isomorphismus zwischen der Kollineationsgruppe und PΓL, und die Wahl einer linearen Struktur entspricht einer Wahl der Untergruppe dieser Entscheidungen Bildung einer torsor über

Geschichte

Die Idee einer Linie wurde zu einer dreiwertige Relation von kollinearen Punkten ermittelt abstrahiert. Nach Wilhelm Blaschke war es August Möbius, der ersten dieses Wesen der geometrischen Transformation abstrahiert:

Zeitgenössische Mathematiker betrachten Geometrie als Inzidenzstruktur mit einem Automorphismus Gruppe, bestehend aus Abbildungen des zugrunde liegenden Raum, der Inzidenz zu bewahren. Eine solche Abbildung permutiert die Linien der Einfallsstruktur und der Begriff Kollineation anhält.

Wie von Blaschke und Klein erwähnt, bevorzugt, Michel Chasles den Begriff Homographie zu Kollineation. Eine Unterscheidung zwischen den Bedingungen entstand, als der Unterschied zwischen der reellen projektiven Ebene und der komplexe projektive Linie geklärt. Da es keine nicht-triviale Automorphismen Feld der reellen Zahlen, alle Kollineationen sind Homographien im reelle projektive Ebene., Aber aufgrund der Feld Automorphismus komplexe Konjugation, nicht alle Kollineationen des komplexen projektiven Geraden sind Homographien. In Anwendungen wie Computer Vision, wo die zugrundeliegende Feld ist die reellen Zahlen, Homographie und Kollineation können austauschbar verwendet werden.

Anti-Homographie

Der Vorgang der Einnahme der komplex Konjugierten der komplexen Ebene entspricht einer Reflexion in der Zahlengeraden. Mit der Notation z * für das Konjugat von Z, wird eine Anti Homographie gegeben durch

Wodurch eine Anti Homographie ist die Zusammensetzung der Konjugation mit einem Homographie, und so ist ein Beispiel für eine Kollineation die nicht eine Homographie. Zum Beispiel, geometrisch, beläuft sich die Abbildung auf Kreisumkehr. Die Transformationen der inversive Geometrie der Ebene werden häufig als die Sammlung aller Homographien und Anti Homographien der komplexen Ebene beschrieben.

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