Kategorientheorie

Kategorie Theorie wird verwendet, um Mathematik und ihre Konzepte als eine Sammlung von Objekten und Pfeile zu formalisieren. Kategorie Theorie kann verwendet werden, um Konzepte von anderen High-Level-Abstraktionen wie der Mengenlehre, Ringtheorie und Gruppentheorie formalisiert werden. Mehrere Begriffe in der Kategorie Theorie verwendet, in denen der Begriff "Morphismus", unterscheiden sich von ihren Verwendungen innerhalb Mathematik selbst. In der Kategorie der Theorie einer "Morphismus" gehorcht, eine Reihe von spezifischen Kategorie Theorie selbst Bedingungen. Daher ist darauf zu achten, um den Kontext, in dem Aussagen gemacht werden, zu verstehen.

Eine Abstraktion von anderen mathematischen Konzepten

Viele wichtige Bereiche der Mathematik können nach Kategorie Theorie Kategorien formalisiert werden. Kategorie-Theorie ist eine Abstraktion der Mathematik selbst die vielen komplizierten und subtilen mathematischen Ergebnisse in diesen Bereichen festzustellen, und erwies sich in einer viel einfacheren Weise als ohne die Verwendung von Kategorien ermöglicht.

Die am leichtesten zugänglichen Beispiel einer Kategorie ist die Kategorie der Sätze, in denen die Objekte untergeht und die Pfeile sind Funktionen von einem Satz zu einem anderen. Jedoch müssen die Objekte einer Klasse nicht-Sets ist, und die Pfeile brauchen keine Funktionen sein; eine Möglichkeit der Formalisierung eines mathematischen Konzept, dass sie die Grundbedingungen auf das Verhalten der Objekte und Pfeile trifft eine gültige Kategorie und alle Ergebnisse der Kategorientheorie werden, sie anzuwenden.

Die "Pfeile" der Kategorientheorie sind oft gesagt, ein Verfahren verbindet zwei Objekte, oder in vielen Fällen eine "strukturerhalt" Transformation Verbinden zweier Objekte darstellen. Es gibt jedoch viele Anwendungen, in denen sehr viel abstrakter Begriffe werden von Objekten und Morphismen vertreten. Die wichtigste Eigenschaft der Pfeile ist, daß sie "zusammengesetzt" werden, mit anderen Worten, in einer Reihenfolge angeordnet sind, um einen neuen Pfeil bilden.

Kategorien in den meisten Zweigen der Mathematik erscheint jetzt, einige Bereiche der theoretischen Informatik, wo sie können, um Typen entsprechen, und der mathematischen Physik, wo sie verwendet werden, um Vektorräume beschreiben. Kategorien wurden zuerst von Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane in 1942-1945 eingeführt wurde, im Zusammenhang mit der algebraischen Topologie.

Kategorie Theorie hat mehrere Gesichter nicht nur an Spezialisten, sondern an anderen Mathematikern bekannt. Ein Begriff, der aus dem Jahr 1940, "allgemeine abstrakte Unsinn", bezieht sich auf seine hohen Abstraktionsebene, im Vergleich zu klassischen Zweige der Mathematik. Homologische Algebra ist Kategorientheorie in seinem Aspekt der Organisation und darauf hindeutet, Manipulationen in der abstrakten Algebra.

Nützlichkeit

Kategorien, Objekte und Morphismen

Die Studie von Kategorien ist ein Versuch, axiomatisch erfassen, was allgemein in verschiedenen Klassen von verwandten mathematischen Strukturen indem diese Unterschiede den strukturerhaltenden Funktionen zwischen ihnen gefunden. Eine systematische Untersuchung der Kategorie Theorie erlaubt uns dann, um allgemeine Ergebnisse über jede dieser Arten von mathematischen Strukturen aus den Axiomen einer Kategorie zu beweisen.

Betrachten Sie das folgende Beispiel. Die Klasse Grp von Gruppen aus aller Objekte mit einem "Gruppenstruktur". Man kann fahren Sie Sätze über Gruppen, indem sie logische Ableitungen aus der Menge von Axiomen zu beweisen. Beispielsweise wird es sofort von der Axiome dass die Identität Element einer Gruppe ist einzigartig erwiesen.

Statt sich nur auf die einzelnen Objekte besitzen eine bestimmte Struktur, Kategorientheorie betont die Morphismen - die strukturerhaltenden Abbildungen - zwischen diesen Objekten; Durch das Studium dieser Morphismen, können wir mehr über die Struktur der Objekte zu lernen. Im Falle von Gruppen, die Morphismen sind die Gruppenhomomorphismen. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen zwei Gruppen "bewahrt die Gruppenstruktur" in einem präzisen Sinn - es ist ein "Prozess" unter einer Gruppe zur anderen, in einer Weise, die zusammen Informationen über die Struktur der ersten Gruppe in die zweite Gruppe trägt. Das Studium der Gruppenhomomorphismen liefert dann ein Werkzeug zur Untersuchung der allgemeinen Eigenschaften von Gruppen und Folgen der Gruppenaxiome.

Eine ähnliche Art der Untersuchung tritt in vielen mathematischen Theorien, wie das Studium der stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen in der Topologie und dem Studium der glatten Funktionen in der Theorie der Mannigfaltigkeiten.

Nicht alle Kategorien entstehen als "strukturerhaltende Funktionen" jedoch, die Standard-Beispiel ist die Kategorie der Homotopien zwischen spitzen topologische Räume.

Wenn man die Beziehungen anstelle von Funktionen axiomatizes, erhält man die Theorie der Allegorien.

Funktoren

Eine Kategorie ist selbst eine Art der mathematischen Struktur, so dass wir für die "Prozesse", die diese Struktur in einem gewissen Sinne zu erhalten suchen; ein solches Verfahren wird als functor.

Diagramm Jagd ist eine visuelle Methode der Streit mit abstrakten "Pfeile" in Diagrammen beigetreten. Funktoren werden durch Pfeile zwischen den Kategorien, unter bestimmten Bedingungen definiert, Kommutativität vertreten. Funktoren können kategorialen Diagrammen und Sequenzen zu definieren. Ein Funktor Mitarbeiter auf jedes Objekt einer Kategorie ein Objekt einer anderen Kategorie und jedem Morphismus in der ersten Kategorie einen Morphismus in der zweiten.

In der Tat, was wir getan haben, ist zu definieren eine Kategorie von Kategorien und Funktoren - die Objekte sind Kategorien und die Morphismen sind Funktoren.

Durch das Studium der Kategorien und Funktoren sind wir nicht nur das Studium eine Klasse von mathematischen Strukturen und die Morphismen zwischen ihnen; Wir untersuchen die Beziehungen zwischen den verschiedenen Klassen von mathematischen Strukturen. Dies ist eine grundlegende Idee, die zuerst in der algebraischen Topologie aufgetaucht. Schwierigen topologischen Fragen können in algebraischen Fragen, die oft leichter zu lösen übersetzt werden. Grundkonstruktionen, wie zB die Grundgruppe oder Grund Gruppoid eines topologischen Raumes, kann als Grundfunktoren in die Kategorie der Gruppoide auf diese Weise zum Ausdruck gebracht werden, und das Konzept ist allgegenwärtig in der Algebra und ihre Anwendungen.

Natürliche Transformationen

Noch einmal zu abstrahieren, einige schematische und / oder sequentielle Konstruktionen sind oft "natürlich im Zusammenhang" - eine vage Vorstellung, auf den ersten Blick. Dies führt zur Klärung Konzept der natürlichen Transformation, eine Möglichkeit, "Karte" eines functor zum anderen. Viele wichtige Konstruktionen in der Mathematik kann in diesem Zusammenhang untersucht werden. "Natürlichkeit" ist ein Prinzip, wie allgemeine Kovarianz in der Physik, die tiefer schneidet als zunächst deutlich. Ein Pfeil zwischen zwei Funktoren ist eine natürliche Transformation, wenn es unter bestimmten Natürlichkeit oder commutativity Bedingungen.

Funktoren und natürliche Transformationen sind die Schlüsselbegriffe in der Kategorie Theorie.

Kategorien, Objekte und Morphismen

Kategorien

Eine Kategorie C besteht aus den folgenden drei mathematische Entitäten:

  • Eine Klasse OB, dessen Elemente als Objekte bezeichnet werden;
  • Eine Klasse hom, deren Elemente Morphismen oder Karten oder Pfeile bezeichnet. Jeder Morphismus f hat einen Quellobjekt ein Zielobjekt und b.
    Der Ausdruck würde verbal angegeben werden als "f eine morphism von A nach B".
    Der Ausdruck alternativ ausgedrückt als ,, oder bezeichnet das hom-Klasse aller Morphismen von a nach b.
  • Eine binäre Operation ∘, genannt Komposition von Morphismen, so dass für alle drei Objekte a, b, und c, haben wir. Die Zusammensetzung und ist als oder gf geschrieben, die von zwei Axiome geregelt:
    • Assoziativität: Wenn, dann, und
    • Identität: Für jedes Objekt x besteht ein morphism genannte Identität morphism für x, so dass für jede morphism, haben wir.

Morphismen

Beziehungen zwischen den Morphismen sind oft mit kommutativen Diagrammen dargestellt, mit "Punkten", die Objekte und "Pfeile", die Morphismen.

Morphismen können Sie eine der folgenden Eigenschaften. Ein Morphismus ist ein:

  • Monomorphismus wenn impliziert für alle Morphismen.
  • Epimorphismus wenn impliziert für alle Morphismen.
  • bimorphism wenn f sowohl epische und monic.
  • Isomorphismus wenn es eine morphism so daß.
  • Endomorphismus, wenn. Ende bezeichnet die Klasse von Endomorphismen ein.
  • Automorphismus, wenn f ist sowohl ein Endomorphismus und ein Isomorphismus. aut bezeichnet die Klasse von Automorphismen a.
  • Zurückziehen, wenn eine Rechtsinverse von f vorhanden ist, dh, wenn es eine morphism mit.
  • Abschnitt, wenn eine linke Inverse von f vorhanden ist, dh, wenn es eine morphism mit.

Jedes Zurückziehen ein Epimorphismus und jeder Abschnitt ein Monomorphismus. Weiterhin sind die folgenden drei Anweisungen äquivalent:

  • f ein Monomorphismus und eine Rückzugs;
  • f ein Epimorphismus und einen Abschnitt;
  • f ein Isomorphismus ist.

Funktoren

Funktoren sind strukturerhaltenden Abbildungen zwischen Kategorien. Sie kann als morphisms im Bereich aller Kategorien einteilen.

Ein Funktor F aus einer Kategorie C, die einer Kategorie D, geschrieben, besteht aus:

  • für jedes Objekt x in C, ein Objekt F in D; und
  • für jeden Morphismus in C, ein Morphismus,

derart, dass die folgenden beiden Eigenschaften zu halten:

  • Für jedes Objekt x in C;
  • Für alle Morphismen und ,.

Ein kontra Funktor, ist wie ein kovarianten Funktor, außer dass es "dreht Morphismen around". Genauer gesagt, muss jeder morphism in C zu einer morphism in D. zugeordnet werden mit anderen Worten als eine kovariante functor vom gegenüberliegenden Typ C D. wirkt ein kontra functor

Natürliche Transformationen

Eine natürliche Transformation ist eine Beziehung zwischen zwei Funktoren. Funktoren beschreiben oft "natürliche Konstruktionen" und natürliche Transformationen beschreiben, dann "natürlich Homomorphismen" zwischen zwei solchen Konstruktionen. Manchmal zwei ganz verschiedene Konstruktionen ergeben "die gleiche" Ergebnis; dies wird durch eine natürliche Isomorphismus zwischen den beiden Funktoren ausgedrückt.

Wenn F und G Funktoren zwischen den Kategorien C und D, dann eine natürliche Transformation η von F nach G Mitarbeiter zu jedem Objekt X in C ein Morphismus in D, so dass für jeden Morphismus in C, haben wir; Dies bedeutet, dass das folgende Diagramm kommutativ ist:

Die beiden Funktoren F und G sind natürlich isomorph, wenn es eine natürliche Transformation von F nach G, so dass ηX ein Isomorphismus für jedes Objekt X in C.

Andere Konzepte

Universal-Konstruktionen, Grenzen und Colimites

In der Sprache der Kategorie Theorie können viele Bereiche der mathematischen Studie kategorisiert werden. Kategorien gehören Sätze, Gruppen, Topologien, und so weiter.

Jede Kategorie wird durch Eigenschaften, die allen Objekten gemeinsam haben, wie die leere Menge oder das Produkt zweier Topologien, aber in der Definition einer Kategorie, Objekte werden als atomar betrachtet, dh zu unterscheiden, wissen wir nicht, ob ein Objekt wissen A ist ein Satz, eine Topologie, oder jede andere abstrakter Begriff. Daher besteht die Herausforderung darin spezielle Objekte, ohne sich auf die interne Struktur dieser Objekte zu definieren. Um die leere Menge, ohne sich auf Elemente oder der Produkttopologie, ohne sich auf Sätze öffnen zu definieren, kann man diese Objekte in Bezug auf ihre Beziehungen zu anderen Objekten zu charakterisieren, wie sie durch die Morphismen der jeweiligen Kategorien vergeben. Somit ist die Aufgabe, die universellen Eigenschaften, die eindeutig die Objekte von Interesse zu bestimmen finden.

Tatsächlich zeigt es sich, dass zahlreiche wichtige Konstruktionen kann rein kategorischen Weise beschrieben werden. Das zentrale Konzept, das für diesen Zweck erforderlich ist, wird als kategorische Grenze und kann dualisiert werden, um die Vorstellung von einem Kolimes ergeben.

Equivalent Kategorien

Es ist eine natürliche Frage: Unter welchen Voraussetzungen kann zwei Kategorien als "im Wesentlichen die gleiche" sein, in dem Sinne, dass zu einer Kategorie ohne weiteres in Sätze über die andere Kategorie überführt werden Theoreme? Das Hauptwerkzeug einen einsetzt, um eine solche Situation wird als Äquivalenz von Kategorien, die durch eine geeignete Funktoren zwischen zwei Kategorien gegeben ist, zu beschreiben. Kategorische Gleichwertigkeit hat zahlreiche Anwendungen in der Mathematik gefunden.

Weitere Konzepte und Ergebnisse

Die Definitionen der Kategorien und Funktoren stellen Ihnen nur die Grundlagen des kategorischen Algebra; weitere wichtige Themen sind unten aufgeführt. Obwohl es starke Wechselbeziehungen zwischen all diesen Themen kann der angegebenen Reihenfolge als Leitlinie für die weitere Lektüre angesehen werden.

  • Die Funktorkategorie D hat als Objekte die Funktoren von C nach D und als Morphismen die natürlichen Transformationen solcher Funktoren. Die Yoneda Lemma ist eine der berühmtesten grundlegenden Ergebnisse der Kategorientheorie; sie beschreibt darstellbare Funktoren in functor Kategorien.
  • Duality: Jede Aussage, Satz, oder Definition in der Kategorie Theorie hat eine doppelte, die im Wesentlichen durch "Umkehr aller Pfeile" gewonnen wird. Wenn eine Aussage wahr ist in einer Kategorie C dann seine Dual wahr im dualen Kategorie C. Diese Dualität, die transparent auf der Ebene der Kategorie Theorie ist, wird oft in Anwendungen verdeckt und kann zu überraschenden Beziehungen zu führen.
  • Adjungierten functors: A functor kann adjungiertes anderen functor, die in die entgegengesetzte Richtung bildet gelassen werden. Ein solches Paar von adjungierten Funktoren in der Regel aus einer Konstruktion durch eine universelle Eigenschaft definiert; Dies kann als abstrakter und leistungsstarke Blick auf universellen Eigenschaften gesehen werden.

Höherdimensionalen Kategorien

Viele der oben genannten Konzepte, insbesondere Äquivalenz von Kategorien, adjungierten functor Paare und functor Kategorien können in den Kontext der höherdimensionalen Kategorien befinden. Kurz gesagt, wenn man bedenkt, einen Morphismus zwischen zwei Objekten als "Prozess, der uns von einem Objekt zum anderen" ist, dann höherdimensionalen Kategorien erlauben es uns, profitabel zu verallgemeinern, indem man "höherdimensionalen Prozesse".

Zum Beispiel ist ein 2-Kategorie eine Kategorie zusammen mit "Morphismen zwischen Morphismen", dh Prozesse, die uns zu einem Morphismus in eine andere verwandeln können. Wir können dann "komponieren", diese "bimorphisms" horizontal und vertikal, und wir benötigen eine 2-dimensionale "Austauschrecht" zu halten, über die beiden Zusammensetzung Gesetze. In diesem Zusammenhang ist das Standardbeispiel Katze, die 2-Kategorie aller Kategorien, und in diesem Beispiel sind bimorphisms von Morphismen einfach natürliche Transformationen von Morphismen im üblichen Sinne. Ein weiteres grundlegendes Beispiel ist, um einen 2-Kategorie mit einem einzigen Objekt zu betrachten; Diese sind im Wesentlichen monoidal Kategorien. Bicategories eine schwächere Begriff der 2-dimensionalen Kategorien, in denen die Zusammensetzung der morphisms nicht streng assoziativ, sondern lediglich assoziativen "bis" Isomorphie.

Dieser Vorgang kann für alle natürlichen Zahlen n verlängert werden, und diese sind n-Kategorien genannt. Es gibt sogar eine Vorstellung von ω-Kategorie, die der Ordnungszahl ω.

Höherdimensionalen Kategorien sind Teil des umfassenderen mathematischen Gebiet der höherdimensionalen Algebra, eine von Ronald Brown vorgestellte Konzept. Für eine Gesprächs Einführung in diese Ideen finden John Baez, "eine Geschichte von n-Kategorien".

Historische Notizen

In 1942-45, Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane eingeführt Kategorien, Funktoren und natürliche Transformationen als Teil ihrer Arbeit in der Topologie, insbesondere algebraischen Topologie. Ihre Arbeit war ein wichtiger Teil des Übergangs von der intuitiven und geometrische Homologie zu axiomatischen Homologietheorie. Eilenberg und Mac Lane schrieb später, dass ihr Ziel war es, natürliche Transformationen zu verstehen; Um das zu tun, musste Funktoren festgelegt werden, welche Kategorien erforderlich.

Stanislaw Ulam, und einige schriftlich in seinem Namen, haben behauptet, dass verwandte Ideen waren Strom in den späten 1930er Jahren in Polen. Eilenberg war Polnisch, und studierte Mathematik in Polen in den 1930er Jahren. Kategorie Theorie ist auch, in gewissem Sinne eine Fortsetzung der Arbeit des Emmy Noether bei der Formalisierung abstrakten Prozessen; Noether erkannt, dass, um eine Art von mathematischen Struktur zu verstehen, um die Prozesse zu bewahren diese Struktur zu verstehen muss man. Um dieses Verständnis zu erreichen, Eilenberg und Mac Lane schlug eine axiomatische Formalisierung der Beziehung zwischen Struktur und die Prozesse bewahren sie.

Die weitere Entwicklung der Kategorientheorie wurde zuerst von den Rechen Bedürfnisse der homologischen Algebra, und später von den axiomatischen Bedürfnisse der algebraischen Geometrie, Bereich am meisten resistent gegen die in entweder axiomatischen Mengenlehre oder der Russell-Whitehead Ansicht der Vereinigten Stiftungen geerdet betrieben. Allgemeine Kategorientheorie, eine Erweiterung des universellen Algebra mit vielen neuen Features so dass für semantische Flexibilität und Logik höherer Ordnung, kam erst später; es ist jetzt ganz der Mathematik angewandt.

Bestimmte Kategorien genannt Topoi können sogar als Alternative zu axiomatischen Mengenlehre als Grundlage der Mathematik dienen. Ein Topos kann auch als eine bestimmte Art von Kategorie mit zwei weiteren Topos Axiome betrachtet werden. Diese grundlegenden Anwendungen der Kategorientheorie wurden in fairen Detail als Basis für, und Begründung, konstruktive Mathematik arbeitete. Topos Theorie ist eine Form der abstrakten Garbentheorie, mit geometrischen Ursprüngen, und führt zu Ideen wie sinnlos Topologie.

Kategorische Logik ist nun ein gut definierten Bereich, basierend auf Typ-Theorie für intuitionistic Logiken, mit Anwendungen in funktionaler Programmierung und Bereichstheorie, wobei eine kartesische geschlossene Gruppe als nicht-syntaktische Beschreibung einer Lambda-Kalkül gemacht. Zumindest, Kategorie theoretischen Sprache stellt klar, was genau diese verwandten Bereichen gemeinsam haben.

Kategorie Theorie wurde auch auf anderen Gebieten angewendet wurden ebenso. Zum Beispiel hat John Baez eine Verbindung zwischen Feynman-Diagramme in Physik und monoidal Kategorien angezeigt. Eine weitere Anwendung der Kategorientheorie, genauer gesagt: topos Theorie hat in der mathematischen Musiktheorie gemacht worden, siehe zum Beispiel das Buch Der Topos der Musik, Geometrische Logic of Concepts, Theorie und Performance by Guerino Mazzola.

Neuere Bemühungen um Studenten zu den Kategorien als Grundlage für Mathematik einzuführen gehören William Lawvere und Rosebrugh und Lawvere und Stephen Schanuel und Mirroslav Yotov.

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