Kategorie topologischer Räume

In der Mathematik, die Kategorie der topologischen Räumen, oft bezeichnet Top, ist die Kategorie, deren Objekte topologische Räume und deren Morphismen sind stetige Abbildungen. Dies ist eine Kategorie, weil die Zusammensetzung der zwei kontinuierlichen Karten wieder kontinuierlich. Das Studium der Oberseite und der Eigenschaften topologischer Räume mit den Techniken der Kategorientheorie als kategorische Topologie bekannt.

N.B. Einige Autoren verwenden Sie den Namen für die Top-Kategorie mit topologischen Mannigfaltigkeiten als Objekte und Dauerkarten als Morphismen.

Als konkretes Kategorie

Wie viele Kategorien, die Kategorie Top ist eine konkrete Kategorie, was bedeutet, seine Objekte sind Sätze mit Zusatzstruktur und deren Morphismen sind Funktionen, die Erhaltung dieser Struktur. Es gibt eine natürliche vergesslich functor

in die Kategorie der Sätze, die jedem topologischen Raum der Basiswert zu setzen und jede stetige Abbildung des zugrunde liegenden Funktion ordnet.

Der vergessliche Funktor U hat sowohl einen linken adjoint

was rüstet einen bestimmten Satz mit der diskreten Topologie und ein Recht adjoint

was rüstet einen bestimmten Satz mit der indiskreten Topologie. Beide Funktoren sind in der Tat, oder Umkehrungen zu U. Da jede Funktion zwischen diskreten oder indiskret Räume kontinuierlich ist, diese beiden Funktoren die volle Einbettungen von Set in Top.

Das Konstrukt Top ist auch faser vollständige Bedeutung, dass die Kategorie aller Topologien auf einer gegebenen Menge X bildet einen vollständigen Verband, wenn durch die Aufnahme bestellt. Das größte Element in dieser Faser ist die diskrete Topologie auf X, während das kleinste Element ist die indiskrete Topologie.

Das Konstrukt ist das Top-Modell der sogenannten eine topologische Kategorie. Diese Kategorien werden durch die Tatsache, dass jedes strukturierte Quelle verfügt über eine einzigartige Anfangshub gekennzeichnet. In der Anfangs Top Lift, indem Sie den Anfangstopologie auf der Quelle erhalten. Topologische Kategorien haben viele Eigenschaften gemeinsam mit Top.

Grenzwerte und Colimites

Die Kategorie Top ist vollständig und cocomplete, was bedeutet, dass alle kleinen Grenzen und Colimites in Top existieren. In der Tat, die vergesslich Funktor U: Top → Set hebt eindeutig die beiden Grenzen und Colimites und bewahrt sie als gut. Daher sind Grenzen in Top indem Topologien auf die entsprechenden Grenzwerte in Set gegeben.

Wenn insbesondere F ist ein Diagramm, in der Spitze und eine Grenze für die UF-Satz, die entsprechende Grenze von F in Top ist, indem die anfänglichen Topologie erhalten. Dual dazu sind Colimites in Top indem die endgültige Topologie auf den entsprechenden Colimites im Set erhalten.

Im Gegensatz zu vielen algebraischen Kategorien, die vergesslich Funktor U: Top → Set nicht erstellen oder reflektieren Grenzen, da es in der Regel nicht-universelle Kegel in Top abdeckt universelle Kegel in eingestellt werden.

Beispiele für Grenzwerte und Colimites in Top umfassen:

  • Die leere Menge ist die erste Aufgabe der Top; jeder Singleton topologischer Raum ist ein Terminal-Objekt. Es gibt also keine Null-Objekte in Top.
  • Das Produkt in Top durch das Produkt Topologie auf dem kartesischen Produkt angegeben. Das Nebenprodukt wird durch die disjunkte Vereinigung von topologischen Räumen gegeben.
  • Der Equalizer aus einem Paar von Morphismen wird, indem die Unterraumtopologie auf der mengentheoretischen Equalizer gegeben. Dually wird die coequalizer, indem der Quotiententopologie auf der mengentheoretischen coequalizer gegeben.
  • Direkte und inverse Grenzen Grenzen sind die mengentheoretische Grenzen mit der letzten Topologie und anfängliche Topologie auf.
  • Adjunktion Plätze sind ein Beispiel für die Pushouts in Top.

Weitere Immobilien

  • Die Monomorphismen in Top sind die injektive stetige Pläne, die Epimorphismen sind die surjektiv kontinuierliche Karten und die Isomorphismen sind die Homöomorphismen.
  • Die Extrem Monomorphismen sind die Unterraum Einbettungen. Jeder Extrem Monomorphismus ist regulär.
  • Die Extrem Epimorphismen ist der Quotient Karten. Jeder Extrem Epimorphismus ist regulär.
  • Die geteilten Monomorphismen sind die Einschlüsse von Rückzüge in die umgebenden Raum.
  • Die geteilten Epimorphismen sind die kontinuierliche surjektiv Karten von einem Raum auf einer seiner zurückzieht.
  • Es sind keine Null Morphismen in Top, insbesondere die Kategorie nicht preadditive.
  • Top ist nicht kartesischen geschlossen, da es nicht exponentiellen Objekte für alle Räume haben.

Beziehungen zu anderen Kategorien

  • Die Kategorie der topologischen Räumen hingewiesen Top • ist ein coslice Kategorie über Top.
  • Die Homotopiekategorie htop hat topologische Räume für Objekte und Homotopieäquivalenz Klassen von Dauerkarten für Morphismen. Dies ist ein Quotient Kategorie der Top. Man kann ebenfalls bilden die spitzen Homotopiekategorie htop •.
  • Top enthält die wichtige Kategorie Haus topologischer Räume mit dem Hausdorff-Eigenschaft als eine volle Unterkategorie. Die hinzugefügte Struktur dieser Untergruppe sorgt für mehr Epimorphismen: in der Tat, die Epimorphismen in dieser Unterkategorie sind genau jene Morphismen mit dichten Bilder in ihrer codomains, damit Epimorphismen brauchen nicht surjektiv sein.
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