Hermitesch adjungierten

In der Mathematik, und zwar in Funktionsanalyse, die jeweils beschränkten linearen Operator auf einem Hilbert-Raum hat einen entsprechenden Operator. Adjoints von Betreibern zu verallgemeinern konjugierten Transponierten der quadratische Matrizen zu unendlichdimensionalen Situationen. Denkt man an Operatoren auf einem Hilbertraum als "generali komplexen Zahlen", dann die adjoint eines Bedieners spielt die Rolle des konjugiert komplexen einer komplexen Zahl.

Die adjoint eines Operators A kann auch die hermitesch adjungierten, hermitesch Konjugierte oder Hermitesche Transponierte von A bezeichnet werden und wird von einem * oder A bezeichnet

Definition für beschränkte Operatoren

Angenommen, H ein Hilbertraum, mit inneren Produkts. Betrachten Sie einen stetigen linearen Operator A: H → H. Dann wird der adjoint von A ist die kontinuierliche lineare Operator A *: H → H befriedigend

Existenz und Eindeutigkeit dieses Operators folgt aus der Riesz Darstellungssatz.

Dies kann als eine Verallgemeinerung der adjungierten Matrix aus einer quadratischen Matrix, die eine ähnliche Eigenschaft, die die Standard komplexe innere Produkt gesehen werden.

Immobilien

Die folgenden Eigenschaften des hermiteschen adjoint der beschränkten Operatoren sind unmittelbar:

  • A ** = A - involutiveness
  • Ist A invertierbar ist, so ist auch A *, mit = *
  • * = A * + B *
  • * = & Lambda; A *, wobei λ die komplexe Konjugierte des komplexen Zahl λ - antilinearity
  • * = B * A *

Wenn wir die Operatornorm von A um zu definieren

dann

Außerdem

Man sagt, dass eine Norm, die diese Bedingung erfüllt, verhält sich wie ein "größten Wert", Extrapolation von dem Fall der selbstadjungierte Operatoren.

Die Menge der beschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbertraum H zusammen mit dem adjungierten Operation und der Operatornorm bilden den Prototyp einer C * -Algebra.

Adjoint von dicht definierten Operatoren

Ein dicht definierte Operator A auf einem Hilbert-Raum H ist ein linearer Operator, deren Domain-D ist ein dichter linearer Teilraum von H, und deren Co-Domain ist H. Seine adjoint A * ist als Domain-D die Menge aller y ∈ H für die es ist az ∈ H befriedigend

und A * gleich der so definierte z.

Eigenschaften 1.-5. Halten Sie mit entsprechenden Klauseln über Domains und codomains. So, jetzt die letzte Eigenschaft, dass * ist eine Erweiterung des B * A *, wenn A, B und AB sind dicht definierten Operatoren.

Die Beziehung zwischen dem Bild A und dem Kern der adjungierten ist gegeben durch:

Beweis für die erste Gleichung:

Die zweite Gleichung ergibt sich aus der ersten, indem die orthogonale Komplement auf beiden Seiten. Man beachte, dass im Allgemeinen das Bild braucht nicht geschlossen werden, sondern der Kern aus einer kontinuierlichen Bediener immer.

Hermitesche Operatoren

Ein beschränkter Operator A: H → H heißt hermitesch oder selbstadjungiert, wenn

das entspricht

In gewissem Sinne, spielen diese Betreiber die Rolle der reellen Zahlen und einem reellen Vektorraum bilden. Sie dienen als Modell der reelle Observable in der Quantenmechanik. Siehe den Artikel über selbstadjungierte Operatoren für eine vollständige Behandlung.

Adjoints der antilinear Betreiber

Für eine antilinear Bediener die Definition der adjungierten muss, um für die komplexe Konjugation Kompensation eingestellt werden. Ein Operator des antilinear Operator A auf einem Hilbert-Raum H ist ein antilinear Operator A *: H → H mit der Eigenschaft:

Andere adjoints

Die Gleichung

ist formal ähnlich wie die Definition von Eigenschaften der Paare von adjungierten Funktoren in der Kategorie Theorie, und das ist, wo adjungierten Funktoren haben ihren Namen aus.

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