Funktionsgleichung

In der Mathematik ist eine Funktionalgleichung eine Gleichung, die eine Funktion in impliziter Form angibt. Oft bezieht sich die Gleichung den Wert der Funktion an irgendeinem Punkt mit ihren Werten in anderen Punkten. Zum Beispiel können Eigenschaften von Funktionen unter Berücksichtigung der Arten von Funktionsgleichungen erfüllen sie bestimmt werden. Der Begriff Funktionsgleichung bezieht sich gewöhnlich auf Gleichungen, die nicht einfach in die algebraische Gleichungen reduziert werden.

Beispiele

  • Die Funktionalgleichung
  • Gamma-Funktion ist die eindeutige Lösung der folgenden System von drei Gleichungen:
  • Die Funktionalgleichung
  • Verschiedene Beispiele, die nicht unbedingt mit Standard- oder benannte Funktionen:

Potenzieren,


  • Eine einfache Form der Funktionsgleichung ist eine Rekursion. Diese formal betrachtet, beinhaltet eine nicht spezifizierte Funktionen auf ganze Zahlen und Operatoren verschieben. Ein Beispiel einer Rekursion ist
  • Die kommutativ und assoziativ Gesetze sind Funktionsgleichungen. Wenn das assoziative Gesetz ist in seiner bekannten Form ausgedrückt, lässt man einige Symbol zwischen zwei Variablen stellen eine binäre Operation,

Aber wenn wir schrieb ƒ anstelle eines ○ b dann würde das assoziative Gesetz mehr wie das, was man üblicherweise denkt als Funktionalgleichung aussehen,


Ein Merkmal, das alle der oben genannten gemeinsam haben aufgeführten Beispielen ist, daß in jedem Fall zwei oder mehrere bekannte Funktionen in das Argument der unbekannten Funktionen für lösen.

Wenn es zu fordern alle Lösungen kommt, kann es der Fall, dass die Bedingungen von einer mathematischen Analyse angewendet werden sollte; beispielsweise im Fall des oben erwähnten Cauchy-Gleichung, die Lösungen, die kontinuierliche Funktionen sind, sind die "angemessen" Einsen, während andere Lösungen, die nicht durch die praktische Anwendung haben sind, können konstruiert werden. Die Bohr-Mollerup Satz ist eine andere bekannte Beispiel.

Beheben von Funktionsgleichungen

Beheben von Funktionsgleichungen kann sehr schwierig sein, aber es gibt einige gemeinsame Methoden zu ihrer Lösung. Beispielsweise in der dynamischen Programmierung eine Vielzahl von aufeinanderfolgenden Näherungsverfahren verwendet werden, um Funktionsgleichung Bellman lösen, einschließlich Methoden, die auf Fixpunktiterationen.

Ein Haupt Methode zur Lösung elementaren Funktionsgleichungen ist die Substitution. Es ist oft nützlich, um Surjektivität oder Injektivität nachweisen und beweisen Merkwürdigkeit oder Ebenheit, wenn möglich. Es ist auch nützlich, um mögliche Lösungen zu erraten. Induktion ist eine nützliche Technik zu verwenden, wenn die Funktion nur für eine rationale oder ganzzahlige Werte definiert.

Eine Diskussion involutiven Funktionen ist aktuell. Betrachten Sie beispielsweise die Funktion

Komponieren f mit sich selbst gibt Funktionalgleichung Babbage,

Mehrere andere Funktionen auch dieser funktionalen Gleichung,

einschließlich, über f = -x,

und

welches umfasst die letzten drei als Spezialfälle oder Grenzen.

Beispiel 1. Hier finden Sie alle Funktionen f, die zu erfüllen

für alle x, y ∈ ℝ, vorausgesetzt ƒ ist eine reelle Funktion.

Es sei x = y = 0,

So ƒ = 0 und ƒ = 0.

Nun, lassen Sie y = -x,

Ein Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ ist, und eine Summe von nicht-negativen Zahlen Null genau dann, wenn beide Zahlen 0.

So ƒ = 0 für alle x und ƒ = 0 ist die einzige Lösung.

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