Felix Hausdorff

Felix Hausdorff war ein deutscher Mathematiker, der als einer der Begründer der modernen Topologie und die wesentlich zur Theorie, beschreibende Mengenlehre gesetzt, Maßtheorie, Funktionentheorie, und funktionelle Analyse sein wird.

Leben

Kindheit und Jugend

Hausdorff-Vater, der jüdischer Kaufmann Louis Hausdorff, zog im Herbst 1870 mit seiner jungen Familie nach Leipzig und arbeitete im Laufe der Zeit in verschiedenen Unternehmen, darunter ein Leinen und Baumwollwaren Fabrik. Er war ein gebildeter Mann und hatte eine Morenu geworden im Alter von 14. Es gibt mehrere Abhandlungen aus seiner Feder, darunter eine lange Arbeit an den aramäischen Übersetzungen der Bibel aus der Perspektive des talmudischen Gesetzes.

Hausdorff Mutter, Hedwig, der auch in verschiedenen Dokumenten, wie Johanna bezeichnet wird, kam von der jüdischen Familie Tietz. Aus einem anderen Zweig dieser Familie kam Hermann Tietz, der Gründer der erste Kaufhaus, später Mitinhaber der Kaufhauskette namens "Hermann Tietz". Während der Zeit der Nazi-Diktatur war der Name "arisiert", um Hertie.

Von 1878 bis Felix Hausdorff nahmen an der Nicolai-Schule in Leipzig, eine Einrichtung, die einen Ruf als Brutstätte der humanistischen Bildung. Er war ein ausgezeichneter Schüler, Klassenprimus für viele Jahre und oft selbst geschriebenen lateinischen oder deutscher Gedichte in der Schule feiern rezitiert. In seiner Promotion im Jahr 1887 war er der einzige, der den höchsten Grad erreicht.

Die Wahl des Themas war nicht leicht für Hausdorff. Magda Dierkesmann, die oft zu Gast im Haus des Hausdorff als Student in Bonn in den Jahren 1926-1932 war, im Jahr 1967 berichtet, dass:

"Sein vielseitiges musikalisches Talent war so groß, dass er nur das Drängen seines Vaters machte ihn aufzugeben, seinen Plan, um Musik zu studieren und ein Komponist."

Die Entscheidung wurde getroffen, um die Wissenschaften in der High School zu studieren.

Grad, Promotion und Habilitation

Vom Sommersemester 1887 bis Sommersemester 1891 Hausdorff studierte Mathematik und Astronomie, vor allem in seiner Heimatstadt Leipzig, um ein Semester in Freiburg und Berlin unterbrochen. Die überlebenden Zeugnis von anderen Schülern zu zeigen ihn als extrem vielseitig interessierte junge Mann, der, zusätzlich zu den mathematischen und astronomischen Vorträge, Vorlesungen in Physik, Chemie und Geographie und auch Vorträge über Philosophie und Geschichte der Philosophie als auch in Fragen der Sprache, Literatur und Sozialwissenschaften. In Leipzig hörte er Vorlesungen über die Geschichte der Musik aus Musikwissenschaftler Paul. Seine frühe Liebe zur Musik hielt ein Leben lang; in Hausdorff-Haus gab es beeindruckende musikalische Abende mit dem Vermieter am Klavier, nach Aussagen von verschiedenen Teilnehmern zu bezeugen. Schon als Student in Leipzig, war er ein Bewunderer und Kenner der Musik Richard Wagners.

In höheren Semestern des Studiums war Hausdorff in der Nähe von Heinrich Brun. Bruns war Professor für Astronomie und Direktor der Sternwarte an der Universität Leipzig. Unter ihm, absolvierte Hausdorff im Jahre 1891 mit einer Arbeit über die Theorie der astronomischen Brechung des Lichts in der Atmosphäre. Zwei Publikationen zu diesem Thema folgten, und im Jahre 1895 seine Habilitation mit einer Arbeit über die Absorption von Licht in der Atmosphäre auch gefolgt. Diese frühen astronomischen Arbeiten Hausdorff haben - trotz ihrer hervorragenden mathematischen Arbeiten durch - nicht an Bedeutung gewonnen. Erstens hat die Grundidee von Braunschweig nicht lebensfähig erwiesen. Andererseits hat der Fortschritt bei der direkten Messung von atmosphärischen Daten bald machte die mühsame Genauigkeit dieser Daten vom Brechungs Beobachtungen unnötig. In der Zeit zwischen Promotion und Habilitation schloss die Hausdorff-einjährigen freiwilligen Militärbedarf und arbeitete zwei Jahre als Computer in der Sternwarte in Leipzig.

Dozent in Leipzig

Mit seiner Habilitation wurde Hausdorff-Dozent an der Universität Leipzig und begann eine umfangreiche Lehr in einer Vielzahl von mathematischen Bereiche. Neben der Lehre und Forschung in den Bereichen Mathematik, ging er mit seiner literarischen und philosophischen Neigungen. Ein Mann von vielfältigen Interessen, gebildete, hochsensiblen und anspruchsvollen im Denken, Fühlen und Erleben in seiner Leipziger Zeit besucht er mit einer Reihe von berühmten Schriftsteller, Künstler und Verlage wie Hermann Conradi, Richard Dehmel, Otto Erich Hartleben, Gustav Kirstein, Max Klinger, Max Reger und Frank Wedekind. Die Jahre 1897 bis etwa 1904 markieren den Höhepunkt seiner literarischen und philosophischen Kreativität, während welcher Zeit 18 seiner 22 pseudonyme Werke veröffentlicht, darunter ein Buch der Poesie, ein Theaterstück, eine erkenntnistheoretische Buch und einem Volumen von Aphorismen.

Hausdorff heiratete Charlotte Goldschmidt im Jahre 1899, Tochter des jüdischen Arztes Siegismund Goldschmidt. Ihre Stiefmutter war die berühmte Frauenrechtlerin und Erzieherin Henriette Goldschmidt. Im Jahr 1900 Hausdorff das einzige Kind, Tochter Lenore, geboren wurde, der die Zeit des Nationalsozialismus überlebte und starb sehr alt im Jahr 1991 in Bonn.

Erste Professur

Im Dezember 1901 wurde Hausdorff als Zusatz Associate Professor an der Universität Leipzig ernannt. Die oft wiederholte Behauptung, die Hausdorff bekam einen Anruf von Göttingen und wies sie nicht überprüft werden und ist vermutlich falsch. Bei der Anwendung in Leipzig, hatte Dean Kirchner bis sehr positives Votum seiner Kollegen, von Heinrich Bruns geschrieben, noch immer begleitet von den Worten geführt worden:

"Die Fakultät jedoch sieht sich verpflichtet, dem Königlichen Ministerium zu melden, dass die obige Anwendung in der zweiten November dieses Jahres Fakultätssitzung stattgefunden hatte, wurde nicht von allen akzeptiert, aber mit 22 Stimmen bei 7 Die Minderheit entgegengesetzt war, weil Dr. Hausdorff ist der mosaischen Glaubens ". ref =}

Dieses Zitat unterstreicht die unverhohlene Antisemitismus vorhanden, die vor allem nahm einen starken Aufschwung nach der Gründerkrach im Jahre 1873 im gesamten Deutschen Reich. Leipzig war ein Zentrum der antisemitischen Bewegung, vor allem unter der Studentenschaft. Dies kann auch der Grund, dass Hausdorff nicht wohl fühlen in Leipzig sein. Ein weiterer Grund war vielleicht die Spannungen aufgrund der hierarchischen Gehabe der Leipziger Professoren.

Nach seiner Habilitation, Hausdorff schrieb eine weitere Arbeit an der Optik, auf nicht-euklidische Geometrie, und hyperkomplexen Zahlensysteme, sowie zwei Papiere auf der Wahrscheinlichkeitstheorie. Doch sein Hauptarbeitsgebiet wurde bald Mengenlehre, insbesondere die Theorie der geordneten Mengen. Es war zunächst ein philosophisches Interesse, das ihn um 1897 führte zu Georg Cantors Arbeit zu studieren. Bereits im Sommersemester 1901 gab Hausdorff einen Vortrag über Mengenlehre. Dies war einer der ersten Vorlesungen über Mengenlehre überhaupt; Ernst Zermelo Vorlesungen in Göttingen Hochschule im Wintersemester 1900/1901 war der ein wenig früher. Cantor selbst hatte nie über Mengenlehre lehrte. In diesem Vortrag finden wir die erste quantitative theoretische Entdeckung des Hausdorff: Der Typ Klasse aller zählbaren Auftragsarten hat die Mächtigkeit des Kontinuums. Dies war jedoch der Tat bereits in Felix Bernsteins Dissertation.

Für das Sommersemester 1910 Hausdorff als Professor an die Universität Bonn berufen. In Bonn begann er einen Vortrag über Mengenlehre, die er im Sommersemester 1912 wiederholt, wesentlich überarbeitet und erweitert.

Im Sommer 1912 begann er auch die Arbeit an seinem Hauptwerk, das Buch "Grundlagen der Mengenlehre". Es wurde in Greifswald, wo Hausdorff hatte für das Sommersemester zum ordentlichen Professor im Jahr 1913 ernannt worden sind, und wurde im April 1914 veröffentlicht.

Die Universität Greifswald war das kleinste der preußischen Universitäten. Auch das mathematische Institut war klein; im Sommersemester 1916 und im Wintersemester 1916/17 Hausdorff war der einzige Mathematiker in Greifswald. Dies brachte, dass er fast vollständig zur Vermittlung der Grundkurse belegt. Es war eine wesentliche Verbesserung seiner akademischen Situation, wenn Hausdorff wurde 1921 nach Bonn berufen. Hier ist er ein thematisch weitgespannte Lehre entwickeln konnte und immer Vortrag über die neuesten Forschungsergebnisse. Er gab einen besonders bemerkenswert, Vortrag über Wahrscheinlichkeitstheorie im Sommersemester 1923, in dem er auf Masse diese Theorie in maßtheoretischen Axiomatik, und dies geschah vor zehn Jahren AT Kolmogorovs "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie". In Bonn hatte Hausdorff Eduard Study, und später mit Otto Toeplitz, herausragende Mathematiker als auch Kollegen und Freunde.

Hausdorff unter dem NS-Diktatur

Die nationalsozialistische Partei Staatsdoktrin fest Antisemitismus und die Machtübernahme. Hausdorff war nicht ursprünglich von der "Gesetz zur Wiederherstellung des Berufsbeamtentums", im Jahre 1933 verabschiedet besorgt, denn er hatte ein deutscher Beamter seit vor 1914. Er wurde jedoch nicht ganz verschont, als einem seiner Vorträge wurde von unterbrochen Nazi-Studenten. Er hielt an seinem Wintersemester 1934/1935 Calculus III Kurs vom 20. November auf. Während dieser Zeit gab es eine Arbeitssitzung der Nationalsozialistischen Deutschen Studentenschaft an der Universität Bonn, der "Ethnizität" als Thema für das Semester wählte. Die Annahme ist, dass dieses Ereignis, um die Aufhebung des Hausdorff-Klasse verwandt, weil er sonst nie, in seiner langen Karriere als Hochschullehrer, hielt eine Klasse.

In 31. März 1935, nach einigem hin und her gehen, Hausdorff wurde schließlich emeritiert. Keine Worte des Dankes wurden für 40 Jahre erfolgreiche Arbeit in der deutschen Hochschulsystems. Er arbeitete unermüdlich und veröffentlicht, zusätzlich zu den erweiterten Auflage seines Werkes über Mengenlehre, sieben Werke auf Topologie und deskriptive Mengenlehre, die alle veröffentlicht in der polnischen Zeitschriften: eine in Studia Mathematica, die anderen in Fundamenta Mathematicae.

Sein Nachlass zeigt, dass Hausdorff arbeitete noch mathematisch an diesen zunehmend schwierigen Zeiten und folgende aktuelle Entwicklungen von Interesse. Er war selbstlos in dieser Zeit von Erich Bessel-Hagen, ein treuer Freund der Familie Hausdorff, die Bücher und Zeitschriften aus der Bibliothek des Instituts, das Hausdorff wurde nicht mehr erlaubt, als Jude in Kraft gewonnen unterstützt.

Über die Demütigungen, denen Hausdorff und seine Familie vor allem wurden nach der Kristallnacht im Jahr 1938 ausgesetzt, viel bekannt ist und aus vielen verschiedenen Quellen, wie zum Beispiel aus den Briefen des Bessel-Hagen.

Vergebens bat Hausdorff den Mathematiker Richard Courant 1939 für ein Forschungsstipendium in der Lage, in die USA emigrieren können.

Mitte 1941 begannen die Juden nach Bonn zum Kloster "Zum Ewigen Anbetung" in Endenich, aus denen die Nonnen vertrieben worden waren deportiert werden. Die Transporte in die Vernichtungslager im Osten kam später. Nachdem Felix Hausdorff, seine Frau und Schwester seiner Frau, wurden Edith Pappenheim im Januar 1942 verurteilt, an die Endenich Lager zu bewegen, am 26. Januar 1942 Selbstmord beging, indem sie eine Überdosis Veronal. Ihre letzte Ruhestätte auf dem Poppelsdorfer Friedhof in Bonn. Zwischen ihrer Platzierung in provisorischen Lagern und seinem Selbstmord, seine handschriftlichen Nachlass gab er zu der Ägyptologe und Presbyter Hans Bonnet, der so viel wie möglich von ihnen gespeichert haben, trotz der Zerstörung seines Hauses durch eine Bombe.

Einige seiner Glaubensgenossen kann Illusionen über das Lager Endenich gehabt haben, aber nicht die Hausdorff. E. Neuenschwander entdeckt in den Nachlass des Bessel-Hagen dem Abschiedsbrief, die Hausdorff schrieb an seinen jüdischen Rechtsanwalt Hans Wollstein. Hier ist der Anfang und das Ende des Briefes:

"Lieber Freund Wollstein Wenn Sie diese Zeilen zu erhalten, haben wir das Problem auf andere Weise gelöst werden. - In der Art, von der Sie immer wieder versucht haben, uns davon abzubringen Das Gefühl der Sicherheit, die Sie für uns vorausgesagt haben, sobald wir die Schwierigkeiten zu überwinden der Bewegung, noch entzieht uns;!, im Gegenteil, Endenich möglicherweise gar nicht das Ende sein Was hat sich in den letzten Monaten an den Juden passiert weckt berechtigte Angst, dass sie nicht lassen Sie uns leben, ein erträglicher Situation zu sehen ".

Nach dankte Freunden und in großer Gelassenheit, mit dem Ausdruck seiner letzten Wünsche in Bezug auf seine Beerdigung und sein Wille, meint Hausdorff:

"Es tut mir leid, dass wir Sie veranlassen, noch mehr Mühe über den Tod hinaus, und ich bin überzeugt, dass Sie tun, was Sie tun können, sind. Vergib uns unsere Deser! Wir wünschen Ihnen und allen unseren Freunden auf bessere Zeiten zu erleben.

Ihr treu ergebener

Felix Hausdorff "

Leider wurde dieser Wunsch nicht erfüllt werden. Hausdorff-Anwalt Wollstein wurde in Auschwitz ermordet.

Hausdorff-Bibliothek wurde von seinem Sohn und Alleinerbe Arthur König verkauft. Der handschriftliche Nachlass wurde von einem Freund der Familie, der Bonner Ägyptologe Hans Bonnet, für die Lagerung angenommen. Es ist nun in der Universitäts- und Landesbibliothek Bonn. Der Nachlass wird katalogisiert.

Arbeit und Empfang

Hausdorff als Philosoph und Schriftsteller

Sein Volumen von Aphorismen im Jahre 1897 war die erste veröffentlichte Arbeit von Hausdorff unter dem Pseudonym Paul Mongré. Sie ist berechtigt Sant 'Ilario. Gedanken von der Landschaft des Zarathustra. Der Untertitel des Sant 'Ilario "Gedanken aus der Landschaft Zarathustra" spielt zunächst auf die Tatsache, dass Hausdorff hatte sein Buch während einer Recovery-Aufenthalt an der ligurischen Küste nach Genua und Friedrich Nietzsche in dieser Umgebung die ersten beiden Teile von Also sprach fertig geschrieben Zarathustra: Er spielt auch auf die geistige Nähe zu Nietzsche. In einem Artikel über Sant 'Ilario in der Wochenzeitung Die Zukunft, räumte Hausdorff expressis verbis zu Nietzsche.

Hausdorff habe nicht versucht, zu kopieren oder sogar überschreiten Nietzsche. "Nietzsches Nachahmung keine Spur", sagt ein zeitgenössischer Bericht. Er folgt Nietzsche in einem Versuch, individuelle Denken zu befreien, um die Freiheit des Fragens veralteten Normen zu nehmen. Hausdorff gehalten kritische Distanz zu den Spätwerken von Nietzsche. In seinem Essay über das Buch Der Wille zur Macht von Noten in der Nietzsche-Archiv verlassen, sagt er zusammengestellt:

"In glüht Nietzsche einen fanatischen Seine Moral der Züchtung, errichtet auf den heutigen biologischen und physiologischen Grundlagen des Wissens:., Die eine Welt historischen Skandal, gegen die der Inquisition und Hexenprozesse verblassen in harmlose Aberrationen sein könnte".

Seine kritische Standard nahm er von Nietzsche selbst,

"Von der Art, bescheiden, zu verstehen, Nietzsche und von dem freien Geist der cool, Dogma-frei, unsystematische Skeptiker Nietzsche"

Im Jahr 1898 appeared- auch unter dem Pseudonym Paul Mongré - Hausdorffs epistemologischen Experiment Chaos in der kosmischen Auswahl. Die Kritik der Metaphysik nach vorne in diesem Buch gegeben hatte ihren Ausgangspunkt in Hausdorff Auseinandersetzung mit Nietzsches Idee der ewigen Wiederkehr. Es wird schließlich zu zerstören jede Art von Metaphysik. Der Welt selbst, von der transzendenten Welt Kern - als Hausdorff ausgedrückt - wir nichts wissen, und wir wissen nichts. Wir müssen annehmen, "die Welt zu sich selbst", wie unbestimmt und unbestimmbar, als bloßes Chaos. Die Welt unserer Erfahrung, unserem Kosmos ist das Ergebnis der Auswahl, die Auswahl, die wir immer instinktiv nach unseren Möglichkeiten zu verstehen und mehr haben. Von diesem Chaos würde auch andere Aufträge zu sehen, andere Kosmoi, denkbar. Auf jeden Fall aus der Welt unseres Kosmos kann man nicht die Existenz einer transzendenten Welt schließen.

Im Jahr 1904 in der Zeitschrift The New Rundschau erschien Hausdorff Spiel die Einakter den Doktor zu seinen Ehren. Es ist eine grobe Satire auf das Duell und auf den traditionellen Vorstellungen von Ehre und Adel des preußischen Offizierskorps, das in der Entwicklung der bürgerlichen Gesellschaft waren zunehmend anachronistisch. Der Arzt in seiner Ehre war Hausdorff größten literarischen Erfolg. In 1914-1918 gab es zahlreiche Auftritte in mehr als dreißig Städte. Hausdorff schrieb später einen Epilog zu dem Spiel, aber es war nicht zu dieser Zeit durchgeführt. Erst im Jahr 2006 kam es zu dieser Epilog haben seine Premiere auf der Jahrestagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung in Bonn.

Neben der oben genannten Werke Hausdorff schrieb zahlreiche Aufsätze, die in einigen der führenden Literaturzeitschriften der Zeit erschienen, sowie ein Buch mit Gedichten, Ecstasy. Einige seiner Gedichte zur Musik des österreichischen Komponisten Joseph Marx gesetzt.

Theorie der geordneten Mengen

Hausdorff den Einstieg in eine gründliche Untersuchung der geordneten Mengen wurde zum Teil von Cantors Kontinuumsproblem gefragt: Welcher Platz nimmt die Kardinalzahl in der Reihe nehmen. In einem Brief an Hilbert am 29. September 1904 spricht er von diesem Problem ", es ist fast wie ein Monomanie geplagt hat". Er sah in dem Satz eine neue Strategie, um das Problem anzugreifen. Cantor hatte vermutet, vermutet wird, sondern nur gezeigt hatte. ist die "Zahl" möglicher Wohlordnungen einer abzählbaren Menge; hatte jetzt als die "Nummer" aller möglichen Ordnungen einer solchen Menge aufgetaucht. Es war natürlich, also auf Systeme, die spezieller als allgemeine Befehle, aber allgemeiner als Wohlordnungen sind zu studieren. Hausdorff tat genau das in seinem ersten Band 1901 mit der Veröffentlichung der theoretischen Studien der "abgestuften Sets". Wir wissen aus den Ergebnissen von Kurt Gödel und Paul Cohen, dass diese Strategie, um das Problem zu lösen Kontinuum ist ebenso wirkungslos wie Cantor-Strategie, die auf Verallgemeinerung des Cantor-Bendixson Prinzip für geschlossene Sätze zu den allgemeinen unzählige Sätze ausgerichtet wurde.

Im Jahr 1904 veröffentlichte Hausdorff die Rekursion nach ihm benannt:

Für jede nicht-Limesordinalzahl wir

Diese Formel wurde, zusammen mit dem später Begriff Konfinalität von Hausdorff, die Basis für alle weiteren Ergebnisse für die Potenzierung Alef eingeführt. Hausdorff "ausgezeichnete Kenntnisse der Probleme, die für diese Art von Sequenz wurde auch durch seine Bemühungen, um den Fehler in Julius Königs Vortrag auf dem Internationalen Kongress der Mathematiker in Heidelberg aufzudecken 1904 ermächtigt. Es König hatte argumentiert, dass das Kontinuum nicht gut geordnet sein, so seine Mächtigkeit keine Aleph und damit großes Aufsehen erregte. Die Behauptung, es war Hausdorff, der den Fehler geklärt hat ein besonderes Gewicht, weil ein falsches Bild wurde in der historischen Literatur für mehr als 50 Jahren über die Ereignisse in Heidelberg erstellt.

In den Jahren 1906-1909 Hausdorff tat seine grundlegenden Arbeiten auf geordnete Mengen. Nur ein paar Punkte kann kurz berührt werden. Von grundlegender Bedeutung für die ganze Theorie ist das Konzept der Konfinalität die Hausdorff eingeführt. Eine Ordnungs heißt regulär, wenn es kofinale mit jedem kleineren Ordnungs ist; sonst ist es einzigartig. Hausdorffs Frage, ob es gibt regelmäßige Nummern mit Index eine Limeszahl, war der Ausgangspunkt für die Theorie der unzugängliche Kardinäle. Hausdorff hatte schon bemerkt, dass solche Zahlen, wenn sie vorhanden sind, muss der "exorbitante Größe" zu sein.

Von grundlegender Bedeutung ist der folgende Satz von Hausdorff: für jeden unbeschränkte bestellt dichte Menge gibt es zwei eindeutig bestimmte regelmäßige Anfangszahlen, so dass es mit kofinale und coinitial mit. Dieser Satz stellt beispielsweise eine Technik zur Charakterisierung von Elementen und Lücken in der geordneten Mengen. So verwendet die Hausdorff-Lücke-Zeichen und Zeichen-Element von ihm eingebracht.

Wenn eine vorbestimmte Menge von Zeichen ist, stellt sich die Frage, ob es geordnete Mengen, deren Zeichensatz ist genau. Man kann sich leicht finden, eine notwendige Voraussetzung für. Hausdorff konnte zeigen, dass diese Bedingung auch hinreichend ist. Dafür braucht man ein reiches Reservoir von geordneten Mengen; Hausdorff hatte dies mit seiner Theorie der allgemeinen Produkte und Befugnisse erstellt. In diesem Behälter so interessante Strukturen werden als Hausdorff Normaltypen gefunden wird, in Verbindung mit dem ersten Hausdorff die verallgemeinerte Kontinuum Hypothese formuliert. Hausdorffs -Sets bildete den Ausgangspunkt für die Untersuchung der wichtigsten Modelltheorie von gesättigten Struktur.

Allgemeine Produkte und Befugnisse der Kardinalitäten Hausdorffs ihn auf den Begriff der Halbordnung geführt. Die Frage, ob eine geordnete Teilmenge einer Halbordnung ist in einer maximalen geordnete Teilmenge enthalten war, wurde in der positiven von Hausdorff mit dem Wohlordnungssatz beantwortet. Dies ist die Hausdorff Maximalprinzip. Daraus folgt nicht nur aus dem Wohlordnungssatz Auswahlaxiom), aber es ist, wie sich herausstellte, auch auf die Auswahlaxiom äquivalent sind.

Bereits im Jahr 1908, Arthur Moritz Schoen im zweiten Teil seines Berichts über Mengenlehre gefunden, dass die neuere Theorie der geordneten Mengen war fast ausschließlich auf Hausdorff.

Die "Magnum Opus": "Grundlagen der Mengenlehre"

Laut früheren Vorstellungen, inklusive Mengenlehre nicht nur den allgemeinen Mengenlehre und der Theorie der Punktmengen, aber auch zu dimensionieren und zu messen Theorie. Hausdorff-Werk war das erste Lehrbuch, das alle der Mengenlehre in diesem Sinne präsentiert, systematisch und mit voller Beweise. Hausdorff war sich bewusst, wie leicht der menschliche Geist kann irren, während auch der Suche nach Genauigkeit und Wahrheit. So in der Vorrede der Arbeit schlug er vor:

"... Der menschlichen Privileg Fehler als wirtschaftliche einen Einsatz zu machen, wie möglich."

Dieses Buch ging weit über seine meisterhafte Darstellung des bekannten. Es enthielt auch eine Reihe von wichtigen ursprünglichen Arbeiten des Autors, die nur bei im folgenden angedeutet werden können.

Die ersten sechs Kapitel befassen sich mit den grundlegenden Konzepten der allgemeinen Mengenlehre. Zu Beginn Hausdorff legt eine detaillierte Mengenalgebra mit einigen bahnbrechenden neuen Konzepten. Diese einleitenden Absätzen auf Mengen und deren Verbindungen enthalten, beispielsweise die moderne mengentheoretischen Begriff der Funktionen. Weiter in den Kapiteln 3 bis 5 folgen die klassische Theorie der Kardinalzahlen, Auftragsarten und Ordnungszahlen. Im sechsten Kapitel "Die Beziehungen zwischen geordneten und wohlgeordnete Mengen" Hausdorff präsentiert, unter anderem die wichtigsten Ergebnisse der eigenen Forschung zu geordneten Mengen.

In den Kapiteln über "Punktmengen" - die topologischen Kapiteln - Hausdorff entwickelte zum ersten Mal auf der Grundlage der bekannten Viertel Axiome, eine systematische Theorie der topologischen Räumen, wo neben fügte er die Trennungsaxiom später nach ihm benannt. Diese Theorie geht aus einer umfassenden Synthese von früheren Ansätzen anderer Mathematiker und Hausdorff eigenen Reflexionen über das Problem des Raumes. Die Begriffe und Sätze der klassischen Punktmengenlehre sind - soweit möglich - auf den allgemeinen Fall übertragen und somit als Teil der neu geschaffenen allgemeinen oder mengentheoretische Topologie zu werden. Aber Hausdorff nicht nur durchgeführt, dieses "Übersetzungsarbeit", aber er entwickelt auch grundlegende Bauweise der Topologie als Keimbildung und die Bildung der Schale, und er arbeitet die grundlegende Bedeutung des Begriffs der offenen Menge und der von Fréchet eingeführt Kompaktheit. Er gründete und entwickelte die Theorie der angeschlossenen Set, vor allem durch die Einführung der Begriffe "Komponente" und "quasi-Komponente".

Durch den ersten und schließlich die zweite Hausdorff Zählbarkeit Axiome die betrachteten Bereiche wurden nach und nach weiter spezialisiert. Eine große Klasse von Räumen Befriedigung der zählbaren erste Axiom sind metrische Räume. Sie wurden im Jahre 1906 von Fréchet unter dem Namen "Klassen" eingeführt. Der Ausdruck "metrischen Raum" stammt von Hausdorff. In Prinzipien entwickelte er die Theorie der metrischen Räumen und systematisch bereichert durch eine Reihe neuer Konzepte: Hausdorff-Metrik, komplett, insgesamt Beschränktheit, -connectivity, reduzierbaren Sets. Fréchets Arbeit hatte etwas bemerkt; nur durch die Hausdorff-Grundsätze haben metrische Räume werden Gemeingut des Mathematikers.

Das Kapitel über die Abbildungen und das letzte Kapitel Prinzipien für Maß- und Integrationstheorie werden durch die Allgemeingültigkeit des Materials und der Originalität der Präsentation bereichert. Hausdorff Erwähnung der Bedeutung der Maßnahme für die Wahrscheinlichkeitstheorie hatte große historische Wirkung, trotz seiner lakonischen Kürze. Man findet in diesem Kapitel die ersten richtigen Beweis für die starke Gesetz der großen Zahl von Émile Borel. Schließlich enthält der Anhang des Einzel spektakulärste Ergebnis des ganzen Buches, nämlich Hausdorff-Theorem, dass man ein Volumen für alle beschränkten Teilmengen von für nicht definieren. Der Beweis liegt auf paradoxe Ball Zersetzungshausdorffs, deren Erzeugung die Auswahlaxiom beruht.

Während des 20. Jahrhunderts, wurde es zum Standard, um mathematische Theorien auf axiomatischen Mengenlehre zu bauen. Die Schaffung von axiomatisch begründet verallgemeinerte Theorien, wie die allgemeine Topologie, serviert unter anderem, einzelne aus der gemeinsamen Strukturkern für verschiedene Sonderfälle oder Regionen und dann eine abstrakte Theorie, die alle diese Teile als Sonderfälle enthalten gesetzt. Dies brachte einen großen Erfolg in Form von Vereinfachung und Harmonisierung und letztlich eingereicht am Ökonomie des Denkens mit sich selbst. Hausdorff selbst hervorgehoben, diesen Aspekt in den Grundlagen. Die topologische Kapitel werden die grundlegenden Konzepte sind methodisch eine Pionierleistung, und sie zeigten den Weg für die Entwicklung der modernen Mathematik.

Grundlagen der Mengenlehre erschien in einer bereits angespannten Zeit am Vorabend des Ersten Weltkriegs. Im August 1914, der Krieg, die auch dramatisch beeinflusst das wissenschaftliche Leben in Europa. Unter diesen Umständen konnte es kaum wirksame Hausdorff-Buch werden in den ersten fünf bis sechs Jahre nach seinem Erscheinen. Nach dem Krieg, eine neue Generation von jungen Forschern dargelegt, auf die Vorschläge, die in dieser Arbeit in solcher Fülle enthalten waren zu erweitern, und ohne Zweifel der Topologie war der Fokus der Aufmerksamkeit. Die Zeitschrift Fundamenta Mathematicae spielte eine besondere Rolle bei der Aufnahme von Hausdorff-Ideen, in Polen im Jahre 1920 gegründet und war eine der ersten mathematischen Zeitschriften mit besonderem Schwerpunkt auf der Mengenlehre, Topologie, Theorie der reellen Funktionen, Maß- und Integrationstheorie, Funktionalanalysis , Logik und Grundlagen der Mathematik. In diesem Spektrum ein besonderer Schwerpunkt war die allgemeine Topologie. Principles Hausdorff waren in Fundamenta Mathematicae aus dem ersten Band in einem bemerkenswerten Frequenz vorhanden ist. Von den 558 Arbeiten, die in den ersten zwanzig Bände 1920-1933 erschienen, 88 nennen Grundsätze. Man muss auch berücksichtigen, dass als Hausdorffs Vorstellungen zunehmend alltäglich, so wurden sie auch in einer Reihe von Arbeiten, die nicht erwähnt explizit hat eingesetzt. Die russische topologischen Schule von Paul Alexandroff und Urysohn Paul gegründet wurde, war stark auf Prinzipien Hausdorff-basiert. Dies wird durch die überlebenden Korrespondenz in Hausdorff-Nachlass mit Urysohn gezeigt und vor allem Alexandroff und Urysohn der Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes, ein Werk von der Größe eines Buches, in denen Urysohn entwickelt Dimension Theorie und Grundsätze wird nicht weniger als 60-mal zitiert.

Lange nach dem Zweiten Weltkrieg gab es eine starke Nachfrage nach Hausdorff-Buch, und es gab drei Nachdrucke bei Chelsea von 1949, 1965 und 1978.

Deskriptive Mengenlehre, messen Theorie und Analyse

Im Jahr 1916 Alexandroff und Hausdorff unabhängig lösen das Kontinuum Problem für Borelmengen: Jede Borel-Set in einer kompletten trennbaren metrischen Raum ist entweder zählbar oder hat die Mächtigkeit des Kontinuums. Dieses Ergebnis verallgemeinert die Cantor-Bendixson Satz, daß eine solche Aussage gilt für die geschlossene Sätze. Für lineare setzt William Henry Young hatte das Ergebnis im Jahr 1903 bewiesen, für Sets Hausdorff erhalten ein entsprechendes Ergebnis im Jahr 1914 in den Grundlagen. Der Satz von Alexandroff und Hausdorff war ein starker Impuls für die weitere Entwicklung der deskriptiven Mengenlehre.

Unter den Veröffentlichungen des Hausdorff in seiner Zeit bei Greifswald Zeit die Arbeit Dimension und äußeren Maßnahme aus dem Jahr 1919 ist besonders hervorragend. Es ist hochaktuell geblieben und in späteren Jahren hat wahrscheinlich der am meisten zitierten mathematischen Originalarbeit aus dem Jahrzehnt von 1910 bis 1920. In dieser Arbeit wurden die Konzepte eingeführt, die jetzt als Hausdorff-Maß und dem Hausdorff-Dimension bekannt sind.

Hausdorff-Dimension Begriff ist ein feines Instrument für die Charakterisierung und Vergleich von "höchst robuste Mengen". Die Konzepte der Dimension und äußeren Maßnahme haben Anwendungen und weitere Entwicklungen in vielen Bereichen, wie in der Theorie dynamischer Systeme, geometrischen Maßtheorie, der Theorie der selbstähnlichen Sets und fraktale, der Theorie der stochastischen Prozesse, Oberschwingungsanalyse, Potentialtheorie erfahren und Zahlentheorie.

Signifikante Analysearbeit der Hausdorff trat in seine zweite Zeit in Bonn. In der Summierung Methoden und Zeit-Sequenzen I im Jahre 1921 entwickelte er eine ganze Klasse von Summationsverfahren zur divergenten Reihen, die heute Hausdorff-Methoden aufgerufen werden. In klassischen divergenten Reihen Hardy ist ein ganzes Kapitel dem Hausdorff-Verfahren gewidmet. Die klassischen Methoden der Halter und Cesaro erwies sich als spezieller Hausdorff-Methode. Jeder Hausdorff-Methode wird von einem Moment angegebenen Reihenfolge; in diesem Zusammenhang Hausdorff gab eine elegante Lösung des Augenblicks Problem für ein endliches Intervall, unter Umgehung der Theorie der Kettenbrüche. Im Moment Probleme für ein endliches Intervall von 1923 behandelt er mehr besonderer Moment Probleme, wie diejenigen, die bestimmte Beschränkungen für die Erzeugung Dichte, zum Beispiel. Kriterien für die Lösbarkeit und Bestimmung von Moment Problemen beschäftigt Haausdorff seit vielen Jahren als Hunderte von Seiten von Studien in seinem Nachlass bezeugen.

Einen wesentlichen Beitrag zu den aufstrebenden Funktionsanalyse in den zwanziger Jahren war Hausdorffs Verlängerung der Satz von Fischer-Riesz, um Räume in seinem 1923 Arbeit Eine Erweiterung des Parseval-Theorem auf Fourier-Reihe. Er erwies sich die Ungleichheiten jetzt nach ihm benannt und WH Young. Die Hausdorff-Young Ungleichheiten wurde zum Ausgangspunkt der wichtigsten neuen Entwicklungen.

Hausdorffs Buchreihe Theorie erschien in 1927. Dies wurde als eine zweite Ausgabe der Principles deklariert, aber es war eigentlich ein völlig neues Buch. Da die Skala wurde deutlich durch seinen Auftritt in Goschen Lehre Bibliothek reduziert wurden große Teile der Theorie der geordneten Mengen und Maßnahmen und Integrationstheorie entfernt. "Mehr als diesen Deletionen, wird der Leser vielleicht bereuen", "daß ich, um Platz in Punktmengenlehre weiter zu speichern, haben die topologische Sicht, durch die die erste Ausgabe hat offenbar erworben viele Freunde haben mich auf die einfachere Theorie beschränkt zu verlassen metrischer Räume ".

In der Tat, das war eine explizite Bedauern einiger Rezensenten der Arbeit. Als eine Art Entschädigung Hausdorff zeigte zum ersten Mal den dann aktuellen Stand der deskriptiven Mengenlehre. Dies gewährleistet das Buch fast so intensiv wie ein Empfangs Grundsätze, vor allem in Fundamenta Mathematicae. Als Lehrbuch, es war sehr beliebt. Im Jahr 1935 gab es eine erweiterte Auflage veröffentlicht, und dies wurde von Dover im Jahre 1944. Eine englische Übersetzung nachgedruckt erschien 1957 mit Nachdruck im Jahr 1962 und 1967.

Es gab auch eine russische Ausgabe, die, obwohl es nur teilweise eine getreue Übersetzung und zum Teil eine Überarbeitung von Alexandroff und Kolmogorov. In diese Übersetzung die topologische Sicht wieder in den Vordergrund gerückt. Im Jahr 1928 eine Überprüfung der Mengenlehre erschien aus der Feder von Hans Hahn. Vielleicht Hahn hatte die Gefahr des deutschen Antisemitismus in seinem Kopf, als er schloss diese Diskussion mit dem folgenden Satz:

"Eine beispielhafte Darstellung in jeder Hinsicht der schwierigen und dornigen Bereich, ein Werk, auf einer Stufe mit denen, die den Ruhm der deutschen Wissenschaft über die Welt durchgeführt und so, daß alle deutschen Mathematiker kann stolz auf sein sollen." Ref =}

Die letzten Arbeiten

In seinem letzten Werk Erweiterung Einer stetigen zeigten Abbildung Hausdorff im Jahre 1938, dass eine stetige Funktion von einer geschlossenen Teilmenge eines metrischen Raumes können auf alle ausgedehnt werden. Als Sonderfall kann jeder Homöomorphismus von zu einem Homöomorphismus von verlängert werden. Diese Arbeit her Ergebnisse aus früheren Jahren festgelegt. Im Jahr 1919, in Über halbstetige Funktionen und Deren Verallgemeinerung, Hausdorff hatte unter anderem angesichts weiterer Beweis für die Tietze Fortsetzungssatz. 1930 in Erweiterung Einer Homöomorphie er zeigte folgendes: Lassen Sie ein metrischer Raum, eine abgeschlossene Teilmenge sein. Wenn sich eine neue Metrik gegeben, ohne die Topologie kann diese Metrik auf den ganzen Raum, ohne die Topologie verlängert werden. Die Arbeit Gestufte Räume erschienen im Jahr 1935. Hier Hausdorff-Räume diskutiert, die der Kuratowski Verschluss Axiome bis knapp dem Axiom der Idempotenz erfüllt. Er nannte sie `` abgestuften Räumen verwendet sie in der Studie über die Zusammenhänge zwischen den Fréchet Grenzflächen und topologische Räume.

Hausdorff als Namensgeber

Der Name des Hausdorff ist im gesamten Mathematik gefunden. Unter anderem wurden diese Konzepte nach ihm benannt:

  • Hausdorff-Raum
  • Hausdorff-Maß
  • Hausdorff-Dimension
  • Hausdorff-Konvergenz
  • Hausdorff-Metrik
  • Hausdorff Maximalprinzip
  • Hausdorff-Young Ungleichheit
  • Baker-Campbell-Hausdorff-Formel

In den Universitäten Bonn und Greifswald, wurden diese Dinge nach ihm benannt:

  • das Hausdorff Center für Mathematik in Bonn,
  • das Hausdorff Research Institute für Mathematik in Bonn, und
  • die Felix Hausdorff Internationale Begegnungszentrum in Greifswald.

Neben diesen, in Bonn gibt es die Hausdorffstraße, wo er wohnte zuerst .. In Greifswald gibt es eine Felix-Hausdorff-Straße, in dem die Institute für Biochemie und Physik befinden, unter anderem. Seit 2011 gibt es eine "Hausdorffweg" in der Mitte des Leipziger Ortsteil Gohlis.

Der Asteroid Hausdorff wurde nach ihm benannt.

Schriften

Als Paul Mongré

Nur eine Auswahl der Essays, die in Text erschienen sind hier dargestellt.

  • Sant'Ilario. Gedanken aus der Landschaft Zarathustras. Verlag C. G. Naumann, Leipzig 1897.
  • Das Chaos in Kosmischer Auslese - Ein erkenntniskritischer Versuch. Verlag C. G. Naumann, Leipzig 1898; Nachdruck, hg. und mit Vorwort von Max Bense: Baden-Baden: Agis-Verlag 1976, ISBN 3-87007-013-7
  • Massenglück und Einzelglück. Neue Deutsche Rundschau 9 ,, S. 64-75.
  • Das unreinliche Jahrhundert. Neue Deutsche Rundschau 9 ,, S. 443-452.
  • Ekstasen. Gedichtband. Verlag H. Seemann Nachf., Leipzig 1900.
  • Der Wille zur Macht. In: Neue Deutsche Rundschau 13, S. 1334 bis 1338.
  • Max Klingers Beethoven. Zeitschrift für bildende Kunst, Neue Folge 13, S. 183-189.
  • Sprachkritik Neue Deutsche Rundschau 14 ,, S. 1233-1258.
  • Der Arzt Wadenfänger Ehre, Groteske. In: Die Neue Rundschau 15 ,, S. 989-1013. Neuherausgabe als: Der Arzt Wadenfänger Ehre. Komödie in einem Akt mit Einem Epilog. Mit 7 Bildnissen, Holzschnitte von Hans Alexander Müller nach Zeichnungen von Walter Tiemann, 10 Bl, 71 S. Fünfte ordentliche VERÖFFENTLICHUNG des Leipziger Bibliophilen-Abends, Leipzig 1910. Neudruck:. S. Fischer, Berlin 1912, 88 S.

Als Felix Hausdorff

  • Beiträge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung Ber. Gesetz über die Verhandlungen der Königl. Sächs. Ges. Der Wiss. zu Leipzig. Math.-Phys. Classe 53, S. 152-178.
  • Über Eine Gewisse Art geordneter Mengen. Ber. Gesetz über die Verhandlungen der Königl. Sächs. Ges. Der Wiss. zu Leipzig. Math.-Phys. Classe 53, S. 460-475.
  • Das Raumproblem. Ostwalds Annalen der Naturphilosophie 3, S. 1-23.
  • Der Potenzbegriff in der Mengenlehre. Jahresbericht der DMV 13, S. 569-571.
  • Untersuchungen über Ordnungstypen I, II, III. Ber. Gesetz über die Verhandlungen der Königl. Sächs. Ges. Der Wiss. zu Leipzig. Math.-Phys. \ Klasse 58, S. 106-169.
  • Untersuchungen über Ordnungstypen IV, V. Ber. Gesetz über die Verhandlungen der Königl. Sächs. Ges. Der Wiss. zu Leipzig. Math.-Phys. Klasse 59, S. 84-159.
  • Über Dichte Ordnungstypen. Jahresbericht der DMV 16, S. 541-546.
  • Grundzüge Einer Theorie der geordneten Mengen. Math. Annalen 65, S. 435-505.
  • Die Graduierung Nach Dem Endverlauf. Abhandlungen der Königl. Sächs. Ges. Der Wiss. zu Leipzig. Math.-Phys. Klasse 31, S. 295-334.
  • Grundzüge der Mengenlehre Verlag Veit & amp; Co, Leipzig. 476 S. mit 53 Figuren. Nachdrucke: Chelsea Pub. Co. 1949, 1965, 1978.
  • Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen. Math. Annalen 77, S. 430-437.
  • Dimension und Äußeres Maß. Math. Annalen 79, S. 157-179.
  • Über halbstetige Funktionen und Deren Verallgemeinerung. Math. Zeitschrift 5, S. 292-309.
  • Summationsmethoden und Momentfolgen I, II. Math. Zeitschrift 9, I: S. 74-109, II: S. 280-299.
  • Eine ausdehnung des Parsevalschen Satzes Über Fourierreihen. Math. Zeitschrift 16, S. 163-169.
  • Momentprobleme Für ein endliches Intervall. Math. Zeitschrift 16, S. 220-248.
  • Mengenlehre., Zweite neubearbeitete Auflage. Verlag Walter de Gruyter & amp; Co., Berlin. 285 S. mit 12 Figuren.
  • Erweiterung Einer Homöomorphie. Fundamenta Mathematicae 16, S. 353-360.
  • Mengenlehre, dritte Auflage. Mit Einem zusätzlichen Kapitel und Einigen Nachträgen. Verlag Walter de Gruyter & amp; Co., Berlin. 307 S. mit 12 Figuren. Nachdruck: Dover Pub. New York, 1944. Englische Ausgabe: Mengenlehre. Übersetzung aus dem Deutschen von J. R. Aumann et al. Chelsea Pub. Co., New York 1957, 1962, 1967.
  • Gestufte Räume. Fundamenta Mathematicae 25, S. 486-502.
  • Erweiterung Einer stetigen Abbildung. Fundamenta Mathematica 30, S. 40-47.
  • Nachgelassene Schriften. 2 Bände. Ed .: G. Bergmann, Teubner, Stuttgart 1969. Band I Enthält aus dem Nachlass sterben Faszikel 510-543, 545-559, 561-577, Band II sterben Faszikel 578-584, 598-658.

Gesammelte Werke

Der "Hausdorff-Edition", vertreten durch E. Brieskorn, F. Hirzebruch, W. Purkert, R. Remmert und E. Scholz in Zusammenarbeit mit mehr als zwanzig Mathematiker, Historiker, Philosophen und Gelehrten bearbeitet wird, wird die Werke von Hausdorff zu präsentieren, mit Kommentar und viel weiteres Material. Die Ausgabe ist ein laufendes Projekt der Nordrhein-Westfälischen Akademie der Wissenschaften und der Künste. Die geplanten neun Bände werden von Springer-Verlag, Heidelberg. Ab 2008 fünf erschienen war, veröffentlicht. Siehe die Startseite . des Hausdorff-Projekt Homepage des Hausdorff-Edition für den aktuellen Status und weitere Informationen Die projizierten Volumen sind:

  • Band I: Hausdorff als akademischer Lehrer; Arbeiten zur Mengenlehre.
  • Band II: Grundzüge der Mengenlehre. 2002 ISBN 978-3-540-42224-2
  • Band III: Mengenlehre; Deskriptive Mengenlehre und Topologie. 2008, ISBN 978-3-540-76806-7
  • Band IV: Analysis, Algebra und Zahlentheorie. 2001, ISBN 978-3-540-41760-6
  • Band V: Astronomie, Optik und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2006 ISBN 978-3-540-30624-5
  • Band VI: Geometrie, Raum und Zeit.
  • Band VII: Philosophisches Werk. 2004 ISBN 978-3-540-20836-5
  • Band VIII: Literarisches Werk. 2010, ISBN 978-3-540-77758-8
  • Band IX: Korrespondenz.
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