Feld-Arithmetik

In der Mathematik ist Feld arithmetische ein Thema, das die Zusammenhänge zwischen den arithmetischen Eigenschaften eines Feldes und seine absolute Galoisgruppe studiert. Es ist ein interdisziplinäres Fach, wie es verwendet Werkzeuge von der algebraischen Zahlentheorie, arithmetische Geometrie, algebraische Geometrie, Modelltheorie, die Theorie der endlichen Gruppen und der proendliche Gruppen.

Felder mit endlichen absoluten Galoisgruppen

Sei K ein Körper, und sei G = Gal seine absolute Galois-Gruppe sein. Wenn K algebraisch abgeschlossen, so ist G = 1. Wenn K = R der reellen Zahlen, dann

Hier C ist das Feld von komplexen Zahlen Z und der Ring der ganzen Zahlen. Ein Satz von Artin und Schreier behauptet, dass es sich um alle Möglichkeiten für endliche absolute Galois-Gruppen.

Artin-Schreier Satz. Lassen Sie ein Feld, dessen absolute Galoisgruppe G endlich K sein. Dann entweder K trennbar geschlossen und G ist trivial oder K ist echte geschlossen und G = Z / 2Z.

Felder, die durch ihre absolute Galois Gruppen definiert werden

Einige proendliche Gruppen auftreten, als die absolute Galoisgruppe nichtisomorphe Felder. Ein erstes Beispiel dafür ist

Diese Gruppe ist isomorph zu der absoluten Galoisgruppe eines beliebigen endlichen Körper. Auch die absolute Galoisgruppe Bereich der formalen Laurent Serie C) über den komplexen Zahlen isomorph zu dieser Gruppe.

Um ein anderes Beispiel zu bekommen, bringen wir unter zwei nicht isomorph Felder, deren absolute Galois-Gruppen sind kostenlos.

  • Sei C ein algebraisch abgeschlossener Körper und xa variabel sein. Dann Gal) ist frei von Rang gleich der Mächtigkeit C.
  • Die absolute Galoisgruppe Gal ist kompakt und daher mit einem normalisierten Haar Maßnahme ausgestattet. Für eine Galois Automorphismus s (das ist ein Element in Gal) lassen Ns die maximale Galoiserweiterung von q, s Fixes sein. Dann mit Wahrscheinlichkeit 1 die absolute Galoisgruppe Gal ist frei von zählbaren Rang.

Im Gegensatz zu den obigen Beispielen, wenn die Felder in Frage kommenden endlich über Q erzeugt, Florian Pop beweist, dass ein Isomorphismus der absolute Galois Gruppen liefert einen Isomorphismus der Felder:

Theorem. Lassen Sie K, L endlich erzeugt werden Felder über Q und a: → Gal Gal ein Isomorphismus ist. Dann gibt es eine einzigartige Isomorphismus der algebraischen Verschlüsse, b: Kalg → Lalg, dass ein induziert.

Dies verallgemeinert eine frühere Arbeit von Jürgen Neukirch und Koji Uchida auf Zahlenfelder.

Pseudo algebraisch abgeschlossen Felder

Ein Pseudo algebraisch abgeschlossener Körper K ist ein Feld, das die folgende geometrische Eigenschaft. Jede über K definiert absolut irreduzible algebraische Varietät V hat einen K-rationalen Punkt.

Über PAC Felder gibt es eine feste Verbindung zwischen arithmetischen Eigenschaften des Feldes und gruppentheoretische Eigenschaften von seiner absoluten Galoisgruppe. Ein schöner Satz in diesem Geist verbindet Hilbertschen Felder mit ω-freie Felder.

Theorem. Lassen Sie eine PAC-Feld K sein. Dann ist K Hilbert wenn und nur wenn K ω frei.

Peter Roquette bewies die rechts-nach-links-Richtung dieses Satzes gemutmaßt die entgegengesetzte Richtung. Michael Fried und Helmut Völklein angewendet algebraischen Topologie und komplexe Analyse zu Roquette-Vermutung in Charakteristik Null zu etablieren. Später Pop bewies das Theorem für beliebige Charakteristik durch die Entwicklung von "starren Patching".

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