FEE-Methode

In der Mathematik ist die Gebühr Verfahren die Methode der schnellen Summierung der Reihe von einer speziellen Form. Es wurde 1990 von EA Karatsuba gebaut und wurde FEE Schnelle E-Funktion Auswertung genannt, weil sie es ermöglicht schnelle Berechnungen der Siegel -Funktionen, insbesondere,

Eine Klasse von Funktionen, die "ähnlich wie die Exponentialfunktion" sind war der Name "E-Funktionen 'von Siegel gegeben. Unter diesen Funktionen sind solche speziellen Funktionen wie die hypergeometrische Funktion, Zylinder, Kugelfunktionen und so weiter.

Unter Verwendung der FEE, ist es möglich, den folgenden Satz zu beweisen

Theorem: Sei eine elementare transzendente Funktion, die die Exponentialfunktion oder eine trigonometrische Funktion oder eine elementare algebraische Funktion oder deren Überlagerung, oder deren inverse, oder eine Überlagerung der Inversen ist. Dann

Hier ist die Komplexität der Berechnung der Funktion mit einer Genauigkeit bis zu stellen, ist die Komplexität der Multiplikation zweier stellige Zahlen.

Die Algorithmen, basierend auf der Methode FEE sind die Algorithmen für die schnelle Berechnung von Elementar Transcendental Funktion für jeden Wert des Arguments, die klassischen Konstanten e, der Euler konstante die katalanische und die apery Konstanten, wie höhere transzendente Funktionen wie die Euler Gammafunktion und seine Derivate, die hypergeometrischen, sphärisch, Zylinderfunktionen und einige andere Funktionen zur algebraischen Werte des Arguments und Parameter, die Riemannsche Zetafunktion für ganzzahlige Werte des Arguments und der Hurwitz Zetafunktion für Integer-Argument und algebraische Werte des Parameters, sowie solche speziellen Integrale als Integral der Wahrscheinlichkeit, die Fresnel Integrale der integral Exponentialfunktion, die trigonometrischen Integrale und einige andere Integrale für algebraischen Werte des Arguments der Komplexität gebunden, welche in der Nähe des optimalen eins ist, nämlich

Derzeit sind nur die Gebühr ist es möglich, schnell berechnen die Werte der Funktionen aus der Klasse der höheren transzendenten Funktionen, bestimmte Sonder Integrale der mathematischen Physik und solche klassischen Konstanten Eulers, Katalanisch und apery der Konstanten. Ein zusätzlicher Vorteil des Verfahrens FEE ist die Möglichkeit der Parallelisierung der Algorithmen auf Basis der Gebühr.

FEE-Berechnung von klassischen Konstanten

Für die schnelle Auswertung der konstanten man die Euler Formel und wenden Sie die Gebühr an die Taylor-Reihe für Fassend

mit den übrigen Bedingungen, die die Grenzen erfüllen

und für

Um von der FEE zu berechnen ist es möglich, auch andere Annäherungen In allen Fällen, die Komplexität

Um die Euler konstante gamma mit einer Genauigkeit von bis zu Stellen zu berechnen, ist es notwendig, von der FEE zwei Reihen summieren. Nämlich für

Die Komplexität ist

Um zu bewerten, schnell die Konstante ist es möglich, die Gebühr zu anderen Annäherungen an.

FEE-Berechnung bestimmten Potenzreihen

Durch die FEE die beiden folgenden Reihen berechnet schnell:

unter der Annahme, dass ganze Zahlen sind,

und Konstanten sind und eine algebraische Zahl. Die Komplexität der Auswertung der Reihe

Die Gebührenangaben am Beispiel der schnellen Berechnung der klassischen Konstante e

Für die Bewertung des Gleich take, Bedingungen der Taylorreihe für

Hier wählen wir, zu verlangen, dass für den Rest die Ungleichung erfüllt ist. Dies ist der Fall, wenn beispielsweise Somit nehmen wir, dass die natürliche Zahl ist durch die Ungleichungen ermittelt:

Wir berechnen die Summe

in Schritten von den folgenden Prozess.

Schritt 1. Die Kombination in der Summanden sequenziell paarweise führen wir der Klammern die "offensichtlich" gemeinsamen Faktor und zu erhalten

Wir werden nur ganzzahlige Werte der Ausdrücke in den Klammern zu berechnen, das heißt die Werte

Somit wird bei dem ersten Schritt die Summe wird in

Im ersten Schritt des ganzen Zahlen der Form

berechnet. Danach haben wir wirken auf ähnliche Weise: die Kombination zu jedem Schritt die Summanden der Summe sequenziell paarweise aus den Halterungen der "offensichtlichen" gemeinsamen Faktor nehmen und berechnen nur die ganzzahligen Werte der Ausdrücke in den Klammern wir. Davon aus, dass die ersten Schritte dieses Verfahrens sind abgeschlossen.

Step.

berechnen wir nur ganze Zahlen von der Form

Hier

ist das Produkt der ganzen Zahlen.

Etc.

Schritt wird die letzte. Berechnet man einen ganzzahligen Wert wir berechnen, unter Verwendung des oben beschriebenen Wertes schnellen Algorithmus und stellen eine Division der ganzen Zahl mit der ganzen Zahl mit einer Genauigkeit von bis zu Stellen. Als Ergebnis erhält man die Summe oder die Konstante bis zu Ziffern. Die Komplexität aller Berechnungen ist

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