Euler Ziegel

In der Mathematik ein Euler Ziegel, nach Leonhard Euler benannt wurde, ist ein Quader, dessen Kanten und Flächendiagonalen alle ganzzahligen Längen. Eine primitive Euler Backstein ist ein Euler Backstein, dessen Kantenlängen relativ prim sind.

Definition und Eigenschaften

Die Definition eines Euler Ziegel geometrisch äquivalent zu einer Lösung für das folgende System von Diophantische Gleichungen:

Euler fand mindestens zwei parametrischen Lösungen für das Problem, aber weder give alle Lösungen.

Wenn es eine Lösung ist dann auch eine Lösung für jedes k. Folglich sind die Lösungen in rationalen Zahlen sind alle Umskalierungen der ganzzahligen Lösungen. Angesichts eines Euler Backstein mit Kantenlängen stellt die Dreifach eine Euler Backstein als auch.

Beispiele

Die kleinste Euler Ziegel, von Paul Halcke im Jahre 1719 entdeckt, hat Kanten und Flächendiagonalen 125, 244 und 267.

Einige andere kleine primitive Lösungen, als Kanten Flächendiagonalen gegeben, sind unten:

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Perfekt Quader

Eine perfekte Quader ist ein Euler Backstein, dessen Raumdiagonale hat auch Integer-Länge.

In anderen Worten, wird die folgende Gleichung für das System diophantischer Gleichungen Definieren eines Euler Ziegel hinzugefügt:

Ab November 2012 ist kein Beispiel für eine perfekte Quader gefunden worden war und niemand hat bewiesen, dass keine vorhanden. Erschöpfende Computer sucht zeigen, dass, wenn eine perfekte Quaders vorliegt, einer seiner Kanten muss größer als 3 · 10 sein. Darüber hinaus muss seinen kleinsten Kante mehr als 10 sein.

Einige Fakten über Eigenschaften, basierend auf der modularen Arithmetik, die von einem primitiven perfekte Quader erfüllt sein müssen, falls vorhanden bekannt:

  • Eine Kante, zwei Flächendiagonalen und der Körper diagonal muss ungerade sein, einer Kante und die verbleibende Fläche diagonal muss durch 4 teilbar sein, und die verbleibenden Rand muss durch 16 teilbar sein
  • 2 Kanten müssen Länge durch 3 teilbar sind und mindestens 1 von diesen Kanten müssen Länge teilbar durch 9 haben
  • 1 Kante muss Länge teilbar durch 5.
  • 1 Kante muss Länge teilbar haben um 7.
  • 1 Kante muss Länge teilbar sind um 11.
  • 1 Kante muss Länge teilbar sind um 19.
  • 1 Rand oder Raumdiagonale muss von 13 teilbar sein.
  • 1-Flanke, Gesicht diagonal oder Raumdiagonale muss von 17 teilbar sein.
  • 1-Flanke, Gesicht diagonal oder Raumdiagonale muss um 29 teilbar sein.
  • 1-Flanke, Gesicht diagonal oder Raumdiagonale muss um 37 teilbar sein.

Lösungen wurden gefunden, wo die Raumdiagonale und zwei der drei Flächendiagonalen ganze Zahlen sind, wie:

Auch sind Lösungen bekannt, bei denen alle vier Diagonalen, aber nur zwei der drei Kanten ganze Zahlen sind, wie:

und

Perfekt Quaders

Ein perfektes Parallelepiped ist ein Quader mit ganzzahligen Länge Kanten, Flächendiagonalen und Raumdiagonalen, aber nicht unbedingt mit allen rechten Winkel; eine perfekte Quaders ist ein Spezialfall einer perfekten Parallelepipeds. Im Jahr 2009 wurde ein perfektes Parallelepiped dargestellt zu existieren, die Beantwortung einer offenen Frage, Richard Guy. Lösungen mit nur einer einzigen schrägen Winkel gefunden.

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