Euklidischen Geometrie

Euklidischen Geometrie ist ein mathematisches System der alexandrinischen griechische Mathematiker Euklid, die er in seinem Lehrbuch der Geometrie zugeschrieben: die Elemente. Euklids Methode besteht in der Annahme, eine kleine Gruppe von intuitiv einleuchtend Axiome und Ableiten viele andere Sätze aus diesen. Obwohl viele von Euklids Ergebnisse waren von früheren Mathematikern festgestellt wurde, war Euclid das erste zu zeigen, wie diese Sätze könnten in ein umfassendes deduktiven und logisches System passen. Die Elemente beginnt mit ebenen Geometrie, noch im Gymnasium als erste axiomatischen Systems und der ersten Beispiele für formale Beweis beigebracht. Es geht weiter zu dem festen Geometrie der drei Dimensionen. Ein Großteil der Elemente Zustände Ergebnisse von dem, was heißen jetzt Algebra und Zahlentheorie, erklärte in der geometrischen Sprache.

Seit mehr als zweitausend Jahren war das Adjektiv "euklidischen" nicht erforderlich, da keine andere Art von Geometrie hatte konzipiert. Euklids Axiomen schien so intuitiv klar, dass jeder Satz bewiesen von ihnen wahr erachtet wurde in einem absoluten, oft metaphysischen Sinn. Heute jedoch viele andere selbstkonsistenten nicht-euklidischen Geometrien bekannt sind, die ersten, die mit in dem frühen 19. Jahrhundert entdeckt. Eine Implikation der Albert Einstein die Allgemeine Relativitätstheorie ist, dass physikalische Raum selbst ist nicht euklidischen und euklidische Raum ist eine gute Näherung für die es nur dort, wo das Gravitationsfeld ist schwach.

Euklidische Geometrie ist ein Beispiel für synthetische Geometrie, indem er schreitet logisch Axiome Sätze ohne die Verwendung von Koordinaten. Dies steht im Gegensatz zu der analytischen Geometrie, die Koordinaten verwendet.

Die Elemente

Die Elemente sind vor allem eine Systematisierung der früheren Kenntnis der Geometrie. Seine Überlegenheit gegenüber früheren Behandlungen wurde schnell erkannt, mit dem Ergebnis, dass es wenig Interesse an der Erhaltung der früheren, und sie sind jetzt fast alle verloren.

Es gibt insgesamt 13 Bücher in der Elements:

Bücher I-IV und VI zu diskutieren ebenen Geometrie. Viele Ergebnisse zu ebenen Figuren bewiesen, zB Wenn ein Dreieck zwei gleiche Winkel, dann die durch die Winkel aufgespannt Seiten gleich sind. Der Satz des Pythagoras ist bewiesen.

Bücher V und VII-X Deal mit der Zahlentheorie, mit Zahlen geometrisch über ihre Darstellung als Liniensegmente mit unterschiedlichen Längen behandelt. Begriffe wie Primzahlen und rationalen und irrationalen Zahlen vorgestellt. Die Unendlichkeit der Primzahlen ist bewiesen.

Bücher XI-XIII Anliegen Volumengeometrie. Ein typisches Ergebnis ist das Verhältnis 1: 3 zwischen dem Volumen eines Kegels und eines Zylinders mit der gleichen Höhe und Basis.

Axiome

Euklidischen Geometrie ist ein Axiomensystem, in dem alle Sätze sind aus einer kleinen Anzahl von Axiomen abgeleitet. In der Nähe der Anfang des ersten Buches der Elemente, gibt Euclid fünf Postulate für die Geometrie der Ebene, in Bezug auf die Konstruktionen erklärte:

"Lassen Sie die folgende postuliert werden":

  • "So zeichnen Sie eine gerade Linie von jedem Punkt zu jedem Punkt."
  • "Um einen endlichen Geraden kontinuierlich in einer geraden Linie zu produzieren."
  • "Um einen Kreis mit einem beliebigen Zentrum und Distanz zu beschreiben."
  • "Dass alle rechten Winkel sind einander gleich."
  • Die parallele Postulat: "Das, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien machen die Innenwinkel auf der gleichen Seite weniger als zwei rechte Winkel, die zwei geraden Linien, wenn unbestimmte Zeit produziert, treffen auf der Seite, auf der die Winkel weniger als die beiden rechten Winkel. "

Obwohl Aussage der Postulate von Euklid die Existenz der Konstruktionen nur explizit behauptet, sie sind auch genommen, einzigartig zu sein.

Die Elemente sind auch die folgenden fünf "gemeinsamen Vorstellungen":

  • Dinge, die gleich der gleiche sind, sind ebenfalls einander gleich.
  • Wenn Gleichen sind equals hinzugefügt, dann die Löcher sind gleich.
  • Wenn Gleichen von equals abgezogen, dann die Reste gleich.
  • Dinge, die bei einem übereinstimmt voneinander gleich zueinander.
  • Das Ganze größer als das Teil.

Parallelenpostulat

Den Alten, schien das Parallelenpostulat weniger offensichtlich als die anderen. Sie waren besorgt, mit der Schaffung eines Systems, das absolut strengen war und sie schien es, als ob die parallele Linie Postulat sollte in der Lage gewesen, um nicht nachgewiesen einfach als Tatsache akzeptiert. Es ist nun bekannt, dass ein solcher Nachweis möglich. Euclid selbst scheint es als qualitativ anders als die anderen in Betracht gezogen haben, wie die von der Organisation der Elemente bewiesen: die ersten 28 Sätze präsentiert er sind diejenigen, die, ohne es bewiesen werden kann.

Viele alternative Axiome formuliert werden können, die die gleichen logischen Konsequenzen wie das Parallelenpostulat haben. Zum Beispiel Playfair Axiom besagt:

Beweismethoden

Euklidischen Geometrie ist konstruktiv. Postuliert, 1, 2, 3 und 5 assert die Existenz und Eindeutigkeit von bestimmten geometrischen Figuren, und diese Aussagen sind einer konstruktiven Art: das heißt, wir sind nicht nur gesagt, dass gewisse Dinge existieren, aber werden auch Methoden zum Erstellen von ihnen gegeben nicht mehr als ein Kompass und einem unmarkierten Lineal. In diesem Sinne ist die euklidische Geometrie konkreter als viele moderne axiomatischer Systeme wie der Mengenlehre, die oft das Vorhandensein von Objekten zu behaupten Verständlich, wie man sie zu konstruieren, oder sogar die Existenz von Objekten, die nicht innerhalb der Theorie ausgebildet sein kann behaupten. Streng genommen, die Linien auf dem Papier sind Modelle der in der formalen System definiert, anstatt Instanzen dieser Objekte Objekte. Zum Beispiel eine euklidische Geraden hat keine Breite, aber eine wirkliche gezeichnete Linie wird. Obwohl fast alle modernen Mathematiker betrachten nichtkonstruktiven Methoden genauso klingen, als konstruktive diejenigen, Euklids konstruktive Beweise oft verdrängt trügerische nichtkonstruktiven denen zB einige der Pythagoräer "Beweise, dass irrationale Zahlen, die in der Regel erforderlich, eine Aussage wie" Hier finden Sie die größte gemeinsame Maß beteiligt ... "

Euclid häufig verwendet Widerspruchsbeweis. Euklidischen Geometrie erlaubt ebenfalls das Verfahren der Überlagerung, bei der eine Figur in einen anderen Punkt im Raum überführt. Beispielsweise ist im Satz I.4, seitliche Winkelseitigen Kongruenz von Dreiecken, indem einer der beiden Dreiecke, so dass eine ihrer Seiten mit der gleichen Seite des anderen Dreiecks zusammenfällt, und beweisen, dass die anderen Seiten übereinstimmen sowie erwiesen . Einige moderne Anwendungen hinzuzufügen, die eine sechste Postulat, die Steifigkeit des Dreiecks, die als Alternative zur Überlagerung verwendet werden kann.

Maßsystem und Rechnen

Euklidischen Geometrie hat zwei grundlegende Arten von Messungen: Winkel und Abstand. Der Winkel Skala ist der absolute und Euclid verwendet die rechtwinklig als seine Basiseinheit, so dass beispielsweise, einen 45-Grad-Winkel als die Hälfte eines rechten Winkels bezeichnet. Die Entfernungsskala ist relativ; einen willkürlich wählt ein Liniensegment mit einem bestimmten Nicht-Null-Länge als Einheit und andere Abstände im Verhältnis dazu angegeben. Addition von Abständen durch einen Aufbau, bei dem ein Liniensegment wird auf das Ende eines anderen Liniensegments für die Subtraktion kopiert, um seine Länge zu verlängern, und in ähnlicher Weise dargestellt.

Messungen der Fläche und das Volumen von Distanzen abgeleitet wird. Beispielsweise ein Rechteck mit einer Breite von 3 und einer Länge von 4 hat eine Fläche, die das Produkt, 12. darstellt Da diese geometrische Interpretation der Multiplikation zu drei Dimensionen begrenzt ist, gibt es keine direkte Möglichkeit der Auslegung des Produkts von vier oder mehr Zahlen und Euclid vermieden solche Produkte, obwohl sie impliziert werden, beispielsweise im Beweis von Buch IX, Satz 20.

Euclid bezieht sich auf ein Paar von Leitungen oder einem Paar von planaren oder festen Figuren, die als "gleich", wenn ihre Längen, Flächen oder Volumina gleich sind, und in ähnlicher Weise für die Winkel. Je stärker Begriff "kongruent" bezieht sich auf die Idee, dass eine ganze Zahl ist die gleiche Größe und Form wie eine andere Figur. Alternativ sind zwei Figuren kongruent, wenn man sich auf der Oberseite des anderen bewegt werden, so dass sie übereinstimmt mit genau. So kann zum Beispiel ein 2x6 Rechteck 3x4 Rechteck und einem identisch sind, aber nicht deckungsgleich, und der Buchstabe R kongruent sein Spiegelbild. Die Zahlen, die mit Ausnahme ihrer unterschiedlichen Größen deckungsgleich wäre, werden als ähnlich bezeichnet. Entsprechenden Winkel in einem Paar von ähnlicher Gestalt sind kongruent und entsprechenden Seiten sind im Verhältnis zueinander.

Notation und Terminologie

Benennung von Punkten und Zahlen

Punkte werden üblicherweise unter Verwendung von Großbuchstaben des Alphabets benannt. Andere Figuren wie Linien, Dreiecke oder Kreise sind durch die Auflistung eine ausreichende Anzahl von Punkten, um sie aus eindeutig aus der entsprechenden Abbildung abholen benannt, zB Dreieck ABC würde typischerweise ein Dreieck mit den Ecken an den Punkten A, B und C .

Ergänzende und Nebenwinkel

Winkel sind, deren Summe in einem rechten Winkel ergänzen sich. Komplementären Winkel gebildet werden, wenn ein Strahl teilt dieselben Knotenpunkte in einer Richtung, die zwischen den beiden ursprünglichen Strahlen, die den rechten Winkel spitz. Die Anzahl der Strahlen zwischen den beiden ursprünglichen Strahlen ist unendlich.

Angles, deren Summe eine gerade Winkel sind zusätzliche. Nebenwinkel gebildet werden, wenn ein Strahl teilt dieselben Knotenpunkte in einer Richtung, die zwischen den beiden ursprünglichen Strahlen, die den geraden Winkel spitz. Die Anzahl der Strahlen zwischen den beiden ursprünglichen Strahlen ist unendlich.

Moderne Versionen von Euklids Notation

In moderner Terminologie würde Winkel normalerweise in Grad oder Radiant gemessen werden.

Modernen Schulbüchern definieren oft getrennte Zahlen genannt Linien, Strahlen und Liniensegmente. Euclid, anstatt diskutieren ein Strahl wie ein Objekt, das auf unendlich in einer Richtung erstreckt, normalerweise locutions verwenden wie "wenn die Leitung auf eine ausreichende Länge ausgefahren", obwohl er manchmal bezeichnet als "unendliche Linien". A "Leitung" in Euclid könnte entweder gerade oder gekrümmt sein, und er nutzte die spezifischeren Begriff "gerade Linie", wenn notwendig.

Einige wichtige und wohlbekannte Ergebnisse

Eselsbrücke

Die Brücke von Asses heißt es, dass in schenklige Dreiecke die Winkel an der Basis gleich zueinander, und wenn die gleichen Strecken werden weiter hergestellt, dann die Winkel unter der Basis gleich zueinander. Sein Name kann auf seine häufige Rolle als erste wirkliche Test in die Elemente der Intelligenz des Lesers und als Brücke zu den härteren Sätze, gefolgt zugeschrieben werden. Es könnte auch so, weil die geometrische Figur Ähnlichkeit mit einem steilen Brücke, die nur eine trittsichere Esel kreuzen könnte benannt werden.

Kongruenz von Dreiecken

Dreiecke kongruent, wenn sie alle drei Seiten gleich, zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen gleich sind, oder zwei Winkeln und einer Seiten gleich Nur die erste dieser drei tatsächlich erwiesen haben, sind die beiden anderen Postulate oder Axiome. sind ähnlich, aber nicht notwendigerweise kongruent. Auch Dreiecke mit zwei gleich langen Seiten und einer benachbarten Winkel nicht notwendigerweise gleich oder deckungsgleich sind.)

Triangle Winkelsumme

Die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich einem rechten Winkel. Dies bewirkt, dass ein gleichseitiges Dreieck zu 3 Innenwinkel von 60 Grad aufweisen. Außerdem verursacht sie jedes Dreieck mindestens 2 spitze Winkel und bis zu 1 stumpfen oder rechten Winkel haben.

Satz des Pythagoras

Der berühmte Satz des Pythagoras besagt, dass in jeder rechtwinkligen Dreiecks gleich der Summe der Flächen der Quadrate, dessen Seiten die beiden Schenkel ist die Fläche des Quadrats, dessen Seite die Hypotenuse.

Satz von Thales

Thales Theorem nach thales Milets benannt, dass, wenn A, B und C sind Punkte auf einem Kreis, wo die Linie AC ist ein Durchmesser des Kreises ist, dann ist der Winkel ABC ist ein rechter Winkel. Cantor angenommen, dass Thales bewies seine Satz mittels Euclid Buch I, Prop. 32 nach der Weise der Euclid Buch III, Prop. 31 Tradition hat es, dass Thales opferte einen Ochsen, um dieses Theorem zu feiern.

Skalierung von Fläche und Volumen

In modernen Terminologie ist der Bereich einer ebenen Figur proportional zum Quadrat einer ihrer linearen Abmessungen ,, und das Volumen der Feststoff in den Würfel ,. Euclid erwiesen sich diese Ergebnisse auf verschiedene Sonderfälle wie die Fläche eines Kreises und dem Volumen eines quaderFestStoff. Euclid bestimmt einige, aber nicht alle, der relevanten Proportionalitätskonstanten. ZB, es war sein Nachfolger Archimedes, die bewiesen, dass eine Kugel hat 2/3 des Volumens des umschreibenden Zylinders.

Anwendungen

Wegen der grundlegende Status der euklidischen Geometrie in Mathematik, wäre es nicht möglich, mehr als eine repräsentative Probenahme von Anwendungen hier zu geben.

Wie von der Etymologie des Wortes vorgeschlagen, eine der frühesten Gründe für Interesse an der Geometrie wurde Vermessung, und bestimmte praktische Ergebnisse aus der euklidischen Geometrie, wie das rechtwinklige Eigentum des 3-4-5-Dreieck wurden, lange bevor sie verwendet werden, formal bewiesen. Die grundlegenden Arten von Messungen in der euklidischen Geometrie sind Abstände und Winkel, und beide dieser Mengen können direkt von einem Vermesser vermessen werden. Historisch wurden Distanzen oft von Ketten wie Gunter Kette und Winkel mit Teilkreisen und später des Theodoliten gemessen.

Eine Anwendung der euklidischen Raumgeometrie ist die Bestimmung der Packungsanordnungen, wie beispielsweise das Problem der Suche nach der effizientesten Kugelpackung in n Dimensionen. Dieses Problem hat Anwendungen bei der Fehlererkennung und -korrektur.

Geometrischen Optik verwendet euklidischen Geometrie zu analysieren, die Fokussierung von Licht durch Linsen und Spiegel.

Geometrie ist ausführlich in der Architektur verwendet.

Geometrie kann verwendet werden, um Origami-Design. Einige klassische Konstruktionsprobleme der Geometrie unmöglich sind mit Zirkel und Lineal, kann aber mit Origami gelöst werden.

Als eine Beschreibung der Struktur des Raum

Euclid glaubte, dass seine Axiome waren selbstverständliche Aussagen über physische Realität. Euklids Beweisen hängen von Annahmen vielleicht nicht offensichtlich in Euklids grundlegenden Axiome, insbesondere, dass bestimmte Bewegungen der Zahlen ihre geometrischen Eigenschaften wie die Längen der Seiten und Innenwinkel, der sogenannten euklidischen Bewegungen, die Übersetzungen und Drehungen Zahlen beinhalten nicht ändern . Genommen als physikalische Beschreibung von Raum, Postulat 2 behauptet, dass der Raum nicht haben Löcher oder Grenzen; Postulat 4 sagt, dass der Raum isotrop ist und Zahlen können zu jedem beliebigen Ort verschoben werden kann, während Kongruenz; und Postulat 5, dass der Raum ist flach.

Wie im Folgenden näher erörtert, Einsteins Relativitätstheorie deutlich modifiziert diese Ansicht.

Die zweideutige Charakter der Axiome wie ursprünglich von Euclid formuliert ist es möglich, verschiedene Kommentatoren, über einige ihrer anderen Auswirkungen auf die Struktur von Raum, wie beispielsweise, ob es unendlich ist und was seine Topologie ist anderer Meinung. Modern, strengere Neuformulierungen des Systems zielen in der Regel für eine saubere Trennung von diesen Fragen. Dolmetschen Euklids Axiome im Geist dieser moderneren Ansatz, Axiome 1-4 Einklang mit entweder unendlich oder endlichen Raum sind, und alle fünf Axiomen konsistent mit einer Vielzahl von Topologien sind.

Spätere Arbeiten

Archimedes und Apollonius

Archimedes, eine schillernde Figur, über die viele historische Anekdoten aufgezeichnet sind, wird zusammen mit Euclid als einer der größten der antiken Mathematiker erinnert. Obwohl die Grundlagen seiner Arbeit anstelle von Euklid, seine Arbeit, im Gegensatz zu Euklids setzen, wird angenommen, dass ausschließlich Original gewesen. Er bewies, Gleichungen für die Mengen und Bereiche der verschiedenen Figuren in zwei und drei Dimensionen, und verkündet das archimedische Eigentum der endlichen Zahlen.

Apollonios von Perge ist vor allem für seine Untersuchung der Kegelschnitte bekannt.

17. Jahrhundert: Descartes

René Descartes entwickelte analytische Geometrie, ein alternatives Verfahren zur Formalisierung der Geometrie, die auf Dreh Geometrie in Algebra konzentriert. In diesem Ansatz wird ein Punkt durch den kartesischen Koordinaten dargestellt wird, wird eine Linie durch die Gleichung dargestellt wird, und so weiter. In Euklids ursprüngliche Ansatz, der Satz des Pythagoras ergibt sich aus Euklids Axiome. Im kartesischen Ansatz, die Axiome sind die Axiome der Algebra, und die Gleichung den Satz des Pythagoras zum Ausdruck ist dann eine Definition von einem der Begriffe in Euklids Axiome, die heute als Theoreme sind. Die Gleichung

Definieren des Abstands zwischen zwei Punkten P = und Q = wird dann als die euklidische Metrik bekannt und andere Metriken definieren nichteuklidisch Geometrien.

In Bezug auf die analytische Geometrie, die Beschränkung der klassischen Geometrie Zirkel und Lineal Konstruktionen bedeutet eine Beschränkung auf der ersten und zweiten Ordnung Gleichungen, beispielsweise y = 2x + 1 oder x + y = 7.

Auch im 17. Jahrhundert, Girard Desargues, motiviert durch die Theorie der Perspektive, wurde das Konzept der idealisierten Punkte, Linien und Flächen im Unendlichen. Das Ergebnis kann als eine Art allgemeiner Geometrie projektiven Geometrie berücksichtigt werden, aber es kann auch auf Beweise in gewöhnlichen euklidischen Geometrie, in denen die Anzahl von Spezialfällen verringert verwendet werden.

18. Jahrhundert

Geometer des 18. Jahrhunderts gekämpft, um die Grenzen des euklidischen System definieren. Vergeblich versuchten viele, die fünfte Postulat von der ersten vier zu beweisen. Durch die 1763 mindestens 28 verschiedene Beweise veröffentlicht worden, aber alle waren nicht korrekt gefunden.

Im Vorfeld dieser Zeit versuchte Geometer auch zu bestimmen, welche Konstruktionen in der euklidischen Geometrie erreicht werden könnte. Zum Beispiel das Problem der trisecting einen Winkel mit einer Kompass und Lineal zählt, das natürlicherweise in der Theorie, da die Axiome beziehen sich auf konstruktive Operationen, die mit diesen Werkzeugen durchgeführt werden kann. , Jahrhunderte der Bemühungen scheiterten jedoch, um eine Lösung für dieses Problem zu finden, bis Pierre Wantzel veröffentlicht einen Beweis im Jahr 1837, dass eine solche Konstruktion unmöglich war. Andere Konstruktionen, die erwies sich als unmöglich wurden zählen Würfelverdoppelung und die Quadratur des Kreises. Im Falle der Verdoppelung des Würfels, die Unmöglichkeit, den Bau stammt aus der Tatsache, dass der Zirkel und Lineal Verfahren beinhalten erster und zweiter Ordnung Gleichungen, während die Verdoppelung eines Würfels erfordert die Lösung einer Gleichung dritter Ordnung.

Euler diskutiert eine Verallgemeinerung der euklidischen Geometrie genannt affinen Geometrie, die das fünfte Postulat unmodifizierten behält während Schwächung postuliert drei und vier in einer Weise, die die Vorstellungen von Winkel und der Gleichheit der Länge der Liniensegmente in der Regel unter Beibehaltung der Begriffe der Parallelität als beseitigt Äquivalenzrelation zwischen den Zeilen, und die Gleichheit der Länge der parallelen Liniensegmenten.

Aus dem 19. Jahrhundert und nicht-euklidische Geometrie

Im frühen 19. Jahrhundert, Carnot und Möbius systematisch die Verwendung von unterzeichnete Winkel und Liniensegmente als eine Möglichkeit der Vereinfachung und Vereinheitlichung Ergebnisse entwickelt.

Wichtigste Entwicklung des Jahrhunderts in der Geometrie aufgetreten ist, wenn, um 1830, János Bolyai und Nikolaj Iwanowitsch Lobachevsky separat veröffentlichten Arbeiten über nicht-euklidische Geometrie, in dem das Parallelenpostulat ist nicht gültig. Da nicht-euklidische Geometrie ist nachweislich relativ konsistent mit der euklidischen Geometrie kann das Parallelenpostulat nicht von den anderen Postulaten nachgewiesen werden.

Im 19. Jahrhundert wurde auch erkannt, dass Euklids zehn Axiome und gemeinsame Vorstellungen nicht aus, um alle Elemente in den angegebenen Theoreme zu beweisen. Beispielsweise angenommen, Euclid implizit, dass jede Zeile enthält mindestens zwei Punkte, aber diese Annahme nicht von den anderen Axiomen bewiesen werden, und müssen daher ein Axiom selbst sein. Die erste geometrische Beweis in der Elemente, in der Abbildung oben gezeigt, ist, dass jede Strecke ist Teil eines Dreiecks; Euclid-Konstrukte in gewohnter Weise durch das Zeichnen von Kreisen um die beiden Endpunkte und nehmen ihre Kreuzung als dritte Eckpunkt. Seine Axiome jedoch nicht garantieren, dass die Kreise tatsächlich schneiden, weil sie nicht die geometrische Eigenschaft der Kontinuität, die in kartesischen Begriffe äquivalent zu der Vollständigkeitseigenschaft der reellen Zahlen zu behaupten. Beginnend mit Moritz Pasch 1882 viele verbesserte axiomatischen Systeme zur Geometrie sind vorgeschlagen worden, die bekannteste ist die von Hilbert, George Birkhoff und Tarski.

20. Jahrhunderts und die allgemeine Relativitätstheorie

Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie zeigt, dass die wahre Geometrie der Raumzeit ist nicht der euklidischen Geometrie. Wenn beispielsweise ein Dreieck von drei Lichtstrahlen aufgebaut ist, dann ist im allgemeinen die Innenwinkel addieren sich nicht zu 180 Grad aufgrund der Schwerkraft. Eine relativ schwache Gravitationsfeld, wie die Erde oder der Sonne, durch eine Metrik, die in etwa dargestellt, aber nicht genau, euklidischen. Bis ins 20. Jahrhundert gab es keine Technologie, des Erfassens der Abweichungen von der euklidischen Geometrie, aber Einstein vorhergesagt, dass derartige Abweichungen bestehen würde. Sie wurden später durch Beobachtungen wie die leichte Biegung des Sternenlichts durch die Sonne während einer Sonnenfinsternis im Jahr 1919 überprüft, und solche Überlegungen sind heute ein fester Bestandteil der Software, die das GPS-System läuft. Es ist möglich, auf diese Auslegung der Allgemeinen Relativitätstheorie mit der Begründung, dass Lichtstrahlen könnten unsachgemäße physikalische Modelle von Euklids Linien sein oder, dass die Relativitäts könnte neu formuliert werden, um die geometrischen Interpretationen zu vermeiden, widersprechen. Allerdings ist eine der Folgen von Einst Theorie, dass es keine möglichen physikalischen Test, der zwischen einem Lichtstrahl, der als Modell eines geometrischen Linie und einer anderen physikalischen Modell unterscheiden. Somit sind die einzige logische Möglichkeiten, nicht-euklidische Geometrie als physisch realen übernehmen, oder, um den gesamten Begriff der physikalischen Tests der Axiome der Geometrie, die dann als ein formales System ohne Eigen realen Bedeutung vorstellen kann ablehnen.

Behandlung von infinity

Unendlichen Objekten

Euclid manchmal unterscheiden explizit zwischen "Finite-Linien" und "unendliche Linien". Allerdings hat er in der Regel nicht eine solche Unterscheidungen zu treffen, wenn sie nicht notwendig waren. Die Postulate nicht ausdrücklich auf unendliche Linien beziehen, auch wenn beispielsweise einige Kommentatoren interpretieren Postulat 3, Existenz eines Kreises mit einem Radius bis, wie suggeriert wird, dass der Raum unendlich.

Der Begriff des unendlich kleinen Mengen zuvor ausgiebig von eleatischen Schule diskutiert worden, aber niemand war in der Lage, sie auf eine feste logische Grundlage zu stellen, mit Paradoxien wie Zenos Paradoxon auftritt, dass nicht zum Universal Zufriedenheit gelöst worden. Euclid verwendet die Methode der Erschöpfung statt infinitesimals.

Später alten Kommentatoren wie Proklos behandelt viele Fragen über Unendlichkeit als Fragen anspruchsvolle fest und, zum Beispiel, behauptete Proclus, um die unendliche Teilbarkeit einer Linie zu beweisen, auf der Grundlage eines Widerspruchsbeweis, in dem er für die Fälle von gerade und ungerade Zahlen von Punkten bilden es.

An der Wende des 20. Jahrhunderts, Otto Stolz, Paul du Bois-Reymond, Giuseppe Veronese und andere hergestellt umstrittene Arbeit an nicht-archimedischen Modelle der euklidischen Geometrie, in der der Abstand zwischen zwei Punkten kann unendlich oder infinitesimal sein, in der Newton -Leibniz Sinn. Fünfzig Jahre später Abraham Robinson vorgesehen eine strenge logische Grundlage für Veronese Arbeit.

Unendlichen Prozessen

Ein Grund dafür, daß die Alten behandelt das Parallelenpostulat als weniger sicher als die anderen ist, dass körperlich Überprüfung wäre es von uns verlangen, inspizieren zwei Zeilen, um zu überprüfen, dass sie nie durchschnitten, auch bei einigen sehr entfernten Punkt, und diese Prüfung könnte möglicherweise zu nehmen eine unendliche Menge von Zeit.

Die moderne Formulierung der Induktionsbeweis wurde erst im 17. Jahrhundert entwickelt, aber einige spätere Kommentatoren halten es implizit in einigen Euklids Beweisen, beispielsweise der Nachweis der Unendlichkeit der Primzahlen.

Soll Paradoxien mit unendlichen Reihen, wie Zenos Paradox, vordatiert Euclid. Euclid vermieden solche Diskussionen, so dass beispielsweise der Ausdruck für die Teilsummen der geometrischen Reihe in IX.35 ohne zu kommentieren über die Möglichkeit der Vermietung der Anzahl der Begriffe unendlich werden.

Logische Grundlage

Klassischen Logik

Euclid häufigsten verwendeten die Methode der Widerspruchsbeweis und damit die traditionelle Präsentation der euklidischen Geometrie übernimmt der klassischen Logik, bei der jeder Satz entweder wahr oder falsch, das heißt, für jede Aussage P, der Satz "P oder nicht P" ist automatisch wahr .

Modernen Standards der Strenge

Platzieren euklidischen Geometrie auf einer soliden axiomatischen Grundlage war ein Anliegen der Mathematiker seit Jahrhunderten. Die Rolle der primitiven Vorstellungen, oder nicht definierten Begriffe, wurde deutlich nach vorne von Alessandro Padoa der Peano Delegation auf der Pariser Konferenz 1900 gesetzt:

Das heißt, dass die Mathematik kontextunabhängigen Wissen innerhalb einer hierarchischen Rahmen. Wie von Bertrand Russell sagte:

Solche grundlegenden Ansätze liegen zwischen Fundamentalismus und Formalismus.

Axiomatischen Formulierungen

  • Euklids Axiome: In seiner Dissertation zum Trinity College, Cambridge, fasste Bertrand Russell die sich wandelnde Rolle von Euklids Geometrie in den Köpfen der Philosophen bis zu diesem Zeitpunkt. Es war ein Konflikt zwischen bestimmten Wissens, unabhängig von Experiment und Empirismus, erfordern Versuchseingang. Dieses Problem wurde deutlich, als es entdeckt wurde, dass die parallele Postulat war nicht unbedingt gültig und seine Anwendbarkeit war eine empirische Frage, die Entscheidung, ob die geltenden Geometrie war euklidischen oder nichteuklidischen.
  • Hilberts Axiome: Hilberts Axiome hatte das Ziel der Identifizierung eine einfache und komplette Reihe von unabhängigen Axiomen, von denen die wichtigsten geometrischen Theoreme abgeleitet werden könnte. Die herausragenden Ziele waren, um die euklidische Geometrie strengen und deutlich zu machen, die Auswirkungen des Parallelenpostulat.
  • Birkhoff Axiome: Birkhoff vorgeschlagenen vier Postulate für die euklidische Geometrie, die experimentell mit Skala und Winkelmesser bestätigt werden kann. Dieses System stützt sich stark auf die Eigenschaften der reellen Zahlen. Die Vorstellungen von Winkel und Abstand werden Grundbegriffe.
  • Tarskis Axiome: Alfred Tarski und seine Schüler definierten elementaren euklidischen Geometrie wie die Geometrie, die in Logik erster Ordnung ausgedrückt werden kann und nicht auf der Mengenlehre hängen für ihre logische Grundlage, im Gegensatz zu Hilberts Axiome, die Punktmengen beinhalten. Tarski bewiesen, dass seine axiomatischen Formulierung von elementaren euklidischen Geometrie ist konsistent und vollständig in einem gewissen Sinn: es ist ein Algorithmus, für jeden Satz kann entweder wahr oder falsch angezeigt werden. Dies ist gleichbedeutend mit der Entscheidbarkeit der realen geschlossen Felder, von denen elementaren euklidischen Geometrie ist ein Modell.

Konstruktive Ansätze und Pädagogik

Der Prozess der abstrakten Axiomatisierung durch Hilberts Axiome Beispiel reduziert Geometrie Beweisen oder Prädikatenlogik. Im Gegensatz dazu verwendet die Griechen Aufbau postuliert, und betonte, Problemlösung. Für die Griechen sind Konstruktionen primitiver als Existenz Sätzen und kann verwendet werden, um Existenz Sätze beweisen werden, aber nicht umgekehrt. Um Problem zu beschreiben Lösung adäquat erfordert eine reichere System logischer Konzepte. Der Kontrast in Ansatz kann zusammengefasst werden:

  • Axiomatischen Beweis: Beweise sind deduktive Ableitungen von Sätzen von primitiven Räumlichkeiten, die "wahren" in gewissem Sinne sind. Ziel ist es, die Behauptung zu rechtfertigen.
  • Analytic Beweis: Beweise sind nicht-deduktiven Ableitungen von Hypothesen von Problemen. Das Ziel ist, Hypothesen fähig ist, eine Lösung für das Problem zu finden. Man kann argumentieren, dass Euklids Axiomen wurden auf diese Weise angekommen. Insbesondere wird angenommen, dass Euklid fühlte sich das Parallelenpostulat wurde ihm aufgezwungen, wie seine Zurückhaltung angezeigt, um davon Gebrauch zu machen, und seine Ankunft, die ihm nach dem Verfahren des Widerspruchs.

Andrei Nikolajewitsch Kolmogorov einen Vorschlag für eine Problemlösung Basis für Geometrie. Diese Arbeit war ein Vorläufer der modernen Formulierung in Bezug auf konstruktive Art Theorie. Diese Entwicklung hat Auswirkungen auf die Pädagogik als auch.

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