Erdős-Mordell Ungleichheit

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Juli 26, 2016 Bernd Ziebel E 0 15

In der euklidischen Geometrie, die Erdős-Mordell Ungleichheit besagt, dass für jedes Dreieck ABC und Punkt P innerhalb ABC, die kleiner oder gleich der Hälfte der Summe der Abstände von P nach der Eckpunkte ist die Summe der Abstände von P zu den Seiten. Es ist benannt nach Paul Erdős und Louis Mordell benannt. Erdős stellte das Problem des Nachweises der Ungleichheit; ein Beweis, wurde zwei Jahre später durch Mordell und DF Barrow zur Verfügung gestellt. Diese Lösung war aber nicht sehr elementar. Nachfolgende einfachere Beweise wurden dann durch Kazarinoff, Bankoff und Alsina & amp gefunden; Nelson.

In absoluten Geometrie ist die Erdős-Mordell Ungleichung entspricht der Aussage, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks ist höchstens 2.

Barrow-Ungleichung ist eine verstärkte Version des Erdős-Mordell Ungleichheit in der die Abstände von P an den Seiten sind durch die Abstände von P zu den Punkten, wo die Winkelhalbierenden ∠APB, ∠BPC und ∠CPA überqueren die Seiten ersetzt. Obwohl die Abstände länger ersetzt sind, und ihre Summe ist immer noch weniger als oder gleich der Hälfte der Summe der Abstände zu den Scheitelpunkten.

Beweis

Lassen Sie die Seiten des ABC a, b, c, auch lassen PA = p, PB = q, PC = r, d = x, d = y, d = z. Zunächst beweisen wir, dass

.

Dies ist äquivalent zu

.

RHS ist die Fläche des Dreiecks ABC, aber auf der LHS, r + z mindestens die Höhe des Dreiecks folglich die LHS nicht kleiner als die rechte Seite sein. Jetzt reflektieren P auf der Winkelhalbierenden auf C. Wir finden, dass Cray + bx für P Reflexion. Ebenso bqaz + cx und apbz + cy. Wir lösen diese Ungleichheiten für r, q und p:

.

.

.

Hinzufügen der drei, bekommen wir

.

Da die Summe aus einer positiven Zahl, und ihr Kehr wenigstens 2 ist, sind wir fertig. Gleichheit gilt nur für die gleichschenkligen Dreiecks, wobei P sein Schwerpunkt.

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