Endliche Menge

In der Mathematik ist eine endliche Menge eine Menge, die eine endliche Anzahl von Elementen hat. Beispielsweise,

ist eine endliche Menge mit fünf Elementen. Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge ist eine natürliche Zahl und heißt die Mächtigkeit der Menge. Ein Satz, der nicht endlich heißt unendlich. Zum Beispiel ist die Menge aller positiven ganzen Zahlen unendlich:

Endliche Mengen sind besonders wichtig in der Kombinatorik, der mathematischen Untersuchung der Zählung. Viele Argumente mit endlichen Mengen basieren auf der Schubfachprinzip, das besagt, dass es nicht eine injektivität bestehen aus einer größeren endliche Menge auf einen kleineren endliche Menge.

Definition und Terminologie

Formal wird eine Menge S heißt endlich, wenn es eine Bijektion

für einige natürliche Zahl n. Die Zahl n ist die Menge der Mächtigkeit, bezeichnet als | S |. Die leere Menge {} oder Ø gilt als endlich, mit Kardinalität Null.

Wenn ein Satz endlich ist, kann seine Elemente als eine Folge geschrieben werden:

In Kombinatorik, ist eine endliche Menge mit n Elementen manchmal auch als n-Set und eine Untergruppe mit k Elementen wird ein k-Untergruppe bezeichnet. Zum Beispiel ist die Menge {5,6,7} einen 3-Satz - eine endliche Menge mit drei Elementen - und {6,7} ist ein 2-Teilmenge davon.

Grundeigenschaften

Jede echte Teilmenge einer endlichen Menge S ist endlich und hat weniger Elemente als S selbst. Als Folge davon kann es nicht existiert eine Bijektion zwischen einer endlichen Menge S und eine echte Teilmenge von S. Jeder Satz mit dieser Eigenschaft heißt Dedekind-endlich. Unter Verwendung der Standard ZFC Axiome der Mengenlehre ist jede Dedekind-endliche Menge auch endlich ist, aber dies erfordert mindestens das Axiom der zählbare Wahl.

Alle injektivität zwischen zwei endlichen Mengen des gleichen Mächtigkeit ist auch ein surjektivität. In ähnlicher Weise ist jede Surjektion zwischen zwei endlichen Mengen des gleichen Mächtigkeit auch eine Injektion.

Die Vereinigung von zwei endlichen Mengen ist endlich, mit

Tatsächlich:

Ganz allgemein ist die Vereinigung einer endlichen Anzahl von endlichen Mengen endlich. Das kartesische Produkt der endlichen Mengen ist auch endlich ist, mit:

In ähnlicher Weise ist das kartesische Produkt endlich vieler endlichen Mengen begrenzt. Eine endliche Menge mit n Elementen hat 2 verschiedene Untergruppen. Das heißt, dass die Potenzmenge einer endlichen Menge ist endlich, mit Kardinalität 2.

Jede Teilmenge einer endlichen Menge ist endlich. Die Menge der Werte einer Funktion, wenn die Elemente aus einer endlichen Menge aufgebracht ist endlich.

Alle endliche Mengen sind zählbar, aber nicht alle abzählbaren Mengen sind endlich.

Die kostenlose Halbverband über eine endliche Menge ist die Menge der nicht-leere Teilmengen, wobei die Verbindungsoperation durch Vereinigungsmenge angegeben.

Notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Endlichkeit

In Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

  • S ist eine endliche Menge. Das heißt, S lassen sich in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung mit dem Satz von jenen natürlichen Zahlen kleiner als eine bestimmte natürliche Zahl platziert werden.
  •  S verfügt über alle Eigenschaften, die durch vollständige Induktion bewiesen werden kann, beginnend mit der leeren Menge und das Hinzufügen eines neuen Elements zu einer Zeit.
  •  S kann insgesamt die wohlgeordnete sowohl vorwärts und rückwärts Bestellung angegeben werden. Das heißt, jede nicht-leere Teilmenge von S hat sowohl eine dest und eine größte Element in der Untergruppe.
  • In einem Drei-zu-eins-Funktion P) in sich auf. Das heißt, die Potenz der Potenzmenge S ist Dedekind-endlich.
  • Jedes surjektivität vom P) auf sich selbst ist eins-zu-eins.
  •  Jeder nicht leere Familie von Teilmengen S eine minimale Elements in Bezug auf die Aufnahme.
  • S kann gut bestellt werden und alle zwei Wohlordnungen auf sie sind, um isomorph. Mit anderen Worten, die Wohlordnungen auf S genau ein Auftragstyp.

Wenn das Auswahlaxiom wird auch angenommen, so sind die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

  • S ist eine endliche Menge.
  •  In einem Drei-zu-eins-Funktion S in sich auf.
  • Jedes surjektivität von S auf sich selbst ist eins-zu-eins.
  • S ist leer oder jede Halbordnung der S ein maximales Element enthält.

Grundlegende Fragen

Georg Cantor initiiert seine Theorie der Sätze, um eine mathematische Behandlung der unendlichen Mengen bereitzustellen. So ist die Unterscheidung zwischen dem Endlichen und dem Unendlichen bildet den Kern der Mengenlehre. Bestimmte foundationalists die strengen finitists, lehnen die Existenz unendlicher Mengen und somit treten für eine Mathematik nur auf endliche Mengen basiert. Mainstream Mathematiker betrachten strengen Finitismus zu eng, aber anerkennen, seine relative Konsistenz: das Universum der erblich endliche Mengen stellt ein Modell der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit dem Unendlichkeitsaxiom durch ihre Negation ersetzt.

Selbst für diejenigen Mathematiker, die unendliche Mengen zu umarmen, in bestimmten wichtigen Zusammenhängen, die formale Unterscheidung zwischen dem Endlichen und dem Unendlichen kann eine heikle Angelegenheit bleiben. Die Schwierigkeit ergibt sich aus Gödels Unvollständigkeitssätze. Man kann die Theorie der erblich endliche Mengen innerhalb von Peano Arithmetik zu interpretieren, so dass die Unvollständigkeit der Theorie der Peano Arithmetik bedeutet, dass die Theorie der erblich endliche Mengen. Insbesondere gibt es eine Fülle von so genannten Nicht-Standard-Modelle der beiden Theorien. Eine scheinbare Paradoxon, Nicht-Standard-Modelle der Theorie der erblich endliche Mengen enthalten unendliche Mengen aber diese unendliche Mengen aussehen endlichen aus dem Modell. Aufgrund der Unvollständigkeitssätze kein erster Ordnung Prädikat, noch einmal eine rekursive Schema erster Ordnung Prädikate, die Bestandteil aller solcher Modelle zu charakterisieren. Also, zumindest aus der Sicht der Logik erster Ordnung, man kann nur hoffen, um Endlichkeit etwa charakterisieren.

Allgemeiner informellen Begriffe wie Satz und insbesondere endliche Menge kann Auslegungen in einer Reihe von formalen Systemen zu empfangen unterschiedlicher in ihrer Axiomatik und logische Vorrichtung. Die bekanntesten axiomatischen Mengentheorien gehören Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom, Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre, Nicht fundierte Mengenlehre, Bertrand Russells Typentheorie und alle Theorien ihre verschiedenen Modelle. Man kann auch unter den klassischen Logik erster Ordnung, verschiedene übergeordnete Logik und intuitionistischen Logik zu wählen.

Ein Forma könnte die Bedeutung des Satzes reicht von System zu System zu sehen. Ein Platoniker könnte insbesondere formalen Systeme annähert eine zugrunde liegende Realität zu sehen.

Mengentheoretische Definition der Endlichkeit

In Kontexten, in denen der Begriff der natürlichen Zahl sitzt logisch vor jeder Vorstellung von Satz, kann man eine Menge S als endlich definieren, wenn S gibt eine Bijektion zu einem gewissen Menge der natürlichen Zahlen von der Form. Mathematiker typischer wählen, um Vorstellungen von in der Serie Theorie Masse, zum Beispiel sie natürliche Zahlen von den Auftragsarten endlicher wohlgeordnete Mengen modellieren könnten. Ein solcher Ansatz erfordert eine strukturelle Definition der Endlichkeit, die nicht auf natürliche Zahlen abhängt.

Interessant ist, dass verschiedene Eigenschaften, die herausgreifen, die endliche Mengen aller Sätze in der Theorie ZFC erweisen sich logischerweise nicht äquivalent in schwächeren Systemen wie ZF oder intuitionistischen Satz Theorien. Zwei Definitionen prominent in der Literatur, einer durch Richard Dedekind, die andere, um Kazimierz Kuratowski.

Eine Menge S heißt Dedekind unendlich, wenn es eine injektive, nicht surjektivität. Eine derartige Funktion weist eine Bijektion zwischen S und einer echten Teilmenge von S, nämlich das Bild von f. Bei einer Dedekind unendliche Menge S, eine Funktion f, und ein Element x, das nicht in das Bild von f, können wir eine unendliche Folge von verschiedenen Elementen von S bilden, nämlich. Umgekehrt kann bei einer Sequenz in S, die aus verschiedenen Elementen, aber wir können eine Funktion f solche definieren, die auf die Elemente in der Sequenz und f verhält sich wie die Identitätsfunktion anders. So Dedekind unendliche Mengen enthalten, Teilmengen, die bijektiv mit den natürlichen Zahlen entsprechen. Dedekind endlichen natürlich bedeutet, dass jeder injektive Selbst Karte ist auch surjektiv ist.

Kuratowski Endlichkeit ist wie folgt definiert. Angesichts jede Menge S, die binäre Operation der Union verleiht dem Potenz P mit der Struktur eines Halbgitter. Schreiben K für das Sub-Halbgitter durch die leere Menge und die Singletons generiert, Rufaufbau S Kuratowski endlich, wenn S selbst gehört zu K. Intuitiv K besteht aus den endlichen Teilmengen von S. Entscheidend ist, dass man nicht braucht, Induktion, Rekursion oder eine Definition der natürlichen Zahlen, die von da kann man K einfach, indem man die Schnittmenge aller Teil semi-Gittern, die die leere Menge und die Singletons erhalten erzeugten definieren.

Leser vertraut mit semi-Gittern und andere Vorstellungen von der abstrakten Algebra kann eine ganz elementare Formulierung bevorzugen. Kuratowski endlichen Mitteln S liegt in der Menge K, wie folgt aufgebaut. Schreiben M für die Menge aller Teilmengen X von P, so dass:

  • X enthält die leere Menge;
  • Für jede Menge T in P, wenn X enthält T dann X enthält auch die Vereinigung von T mit jeder Singleton.

Dann kann K als Schnittpunkt definiert werden M.

Im ZF, Kuratowski endlichen impliziert Dedekind endlich, aber nicht umgekehrt. Im Sprachgebrauch eines beliebten pädagogischen Formulierung, wenn das Auswahlaxiom nicht schlecht, kann man eine unendliche Familie von Socken mit keiner Weise eine Socke aus mehr als endlich viele der Paare zu wählen. Das würde die Menge solcher Socken Dede finite: es kann keine unendliche Folge von Socken, da eine solche Sequenz würde eine Auswahl von einer Socke für unendlich viele Paare von der Auswahl der ersten Socke in der Sequenz zu ermöglichen. Allerdings würde Kuratowski Endlichkeit für den gleichen Satz von Socken scheitern.

Andere Konzepte der Endlichkeit

Im ZF Mengenlehre ohne Auswahlaxiom, sind die folgenden Konzepte der Endlichkeit für einen Satz S deutlich. Sie werden in streng abnehmender Reihenfolge der Stärke angeordnet. In anderen Worten, wenn ein Satz S erfüllt eines der Kriterien in dieser Liste, erfüllt er alle Kriterien, die, dass man zu folgen. In Abwesenheit des Auswahlaxiom, sind die umgekehrten Implikationen all unbeweisbar. Wenn das Auswahlaxiom wird davon ausgegangen, dann werden alle diese Begriffe sind äquivalent.

  • I-endlich. Jede nicht leere Menge von Teilmengen von S hat eine ⊆-maximales Element.
  • Ia-endlich. Für jede Partition von S in zwei Gruppen, mindestens eine der beiden Gruppen I-endlich.
  • II-endlich. Jede nicht-leere ⊆-monotone Reihe von Teilmengen von S hat eine ⊆-maximales Element.
  • III-endlich. Die Potenzmenge P ist Dedekind endlich.
  • IV-endlich. S ist Dedekind endlich.
  • V-endlich. |S| = 0 oder 2⋅|S| & gt; |S |.
  • VI-endlich. |S| = 0 oder |S| = 1 oder |S|² & gt; |S |.
  • VII-endlich. S I-endlichen oder nicht gut bestellbar.

Die zukunfts Implikationen sind Theoreme innerhalb von ZF. Gegenbeispiele zu den umgekehrten Auswirkungen werden mit Modelltheorie gefunden.

Die meisten dieser Endlichkeit Definitionen und ihre Namen sind auf Tarski 1954 von Howard & amp zugeschrieben; Rubin 1998 p. 278. Allerdings Definitionen I, II, III, IV und V wurden in Tarski 1924 mit Beweisen für die Vorwärts- Implikationen vorgestellt, pp. 49, 93, zusammen. Zu dieser Zeit wurde Modelltheorie nicht weit genug fortgeschritten, um die Gegenbeispiele zu finden.

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