Einfache Lie-Gruppe

In der Gruppentheorie, ist eine einfache Lie-Gruppe einem nicht-abelschen Lie-Gruppe G, die keine nicht-triviale angeschlossenen Normalteiler.

Eine einfache Lie-Algebra ist eine nicht-abelsche Lie-Algebra, deren einzige Ideale sind 0 und selber. Eine direkte Summe von einfachen Lie-Algebren wird als eine halbeinfache Lie-Algebra.

Eine äquivalente Definition eines einfachen Lie-Gruppe ergibt sich aus der Lie Korrespondenz: eine zusammenhängende Lie-Gruppe ist einfach, wenn ihre Lie-Algebra ist einfach. Ein wichtiger technischer Punkt ist, dass eine einfache Lie-Gruppe können diskrete Normalteiler enthalten, damit ein einfacher Lie-Gruppe ist anders als dass es einfach als eine abstrakte Gruppe.

Einfache Lie-Gruppen gehören viele der klassischen Lie-Gruppen, die eine gruppentheoretischen Untermauerung Kugelgeometrie, projektive Geometrie und zugehörige Geometrie im Sinne von Felix Kleins Erlanger Programm. Es zeigte sich im Verlauf der Klassifizierung der einfachen Lie-Gruppen, dass es existieren auch einige außergewöhnliche Möglichkeiten zu keinem bekannten Geometrie entspricht. Diese außergewöhnlichen Gruppen entfallen viele spezielle Beispiele und Konfigurationen in anderen Zweigen der Mathematik, sowie zeitgenössische theoretische Physik.

Während die Idee einer einfachen Lie-Gruppe ist aus der axiomatischen Sicht erfüllen, in Anwendungen der Lie-Theorie, wie die Theorie der Riemannschen symmetrischen Räumen, etwas allgemeiner Vorstellungen von halbeinfach und reduktive Lie-Gruppen erwies sich als noch nützlich sein. Insbesondere ist jedes angeschlossene kompakte Lie-Gruppe reduktive, und das Studium der Darstellungen der allgemeinen reduktive Gruppen ist ein wichtiger Zweig der Darstellungstheorie.

Kommentare über die Definition

Leider gibt es keinen einheitlichen Standard Definition eines einfachen Lie-Gruppe. Die oben gegebenen Definition ist manchmal auf folgende Weise variiert:

  • Verbundenheit: In der Regel einfache Lie-Gruppen werden durch Definition verbunden ist. Dies schließt diskrete einfache Gruppen sowie getrennten orthogonalen Gruppen.
  • Center: In der Regel einfache Lie-Gruppen sind erlaubt, um eine diskrete Zentrum haben; zum Beispiel, hat SL ein Zentrum der Ordnung 2, aber nach wie vor als eine einfache Lie-Gruppe gezählt. Wenn das Zentrum ist nicht trivial dann die einfache Lie-Gruppe ist nicht einfach als eine abstrakte Gruppe. Einige Autoren vor, dass die Mitte eines einfachen Lie-Gruppe endlich sein; die universelle Abdeckung des SL ist ein Beispiel für eine einfache Lie-Gruppe mit unendlicher Zentrum.
  • R: In der Regel ist die Gruppe R der reellen Zahlen unter Zugabe sind nicht so einfach, Lie-Gruppen gezählt, auch wenn sie verbunden sind, und verfügen über eine Lie-Algebra ohne ordnungsgemäße Nicht-Null-Ideale. Gelegentlich Autoren definieren einfache Lie-Gruppen in einer Weise, dass R ist einfach, auch wenn dies manchmal sein ein Unfall, indem mit Blick auf diesen Fall scheint verursacht.
  • Matrixgruppen: Einige Autoren beschränken sich auf Gruppen, die als Gruppen von endlichen Matrizen dargestellt werden kann, liegt. Die metaplectic Gruppe ist ein Beispiel eines einfachen Lie-Gruppe, die nicht auf diese Weise dargestellt werden kann.
  • Komplexe Lie-Algebren: Die Definition eines einfachen Lie-Algebra ist nicht unter der Erweiterung der Skalare stabil. Die Komplexifizierung eines komplexen einfachen Lie-Algebra, wie sl halbeinfach, aber nicht einfach.

Die häufigste Definition ist die über: einfache Lie-Gruppen angeschlossen werden müssen, dürfen sie nicht-triviale Zentren haben, die sie benötigen, nicht darstellbar durch endliche Matrizen, und sie müssen nicht-abelschen können.

Verfahren zur Klassifizierung

Solche Gruppen werden mit der vorherigen Einstufung des komplexen einfachen Lie-Algebren eingeteilt: für die finden Sie in der Seite auf Wurzelsysteme. Es wird gezeigt, dass eine einfache Lie-Gruppe verfügt über eine einfache Lie-Algebra, die auf der Liste dort gegeben, sobald es komplexifizierten wird auftreten. Dies verringert die Klassifizierung zu zwei weitere Fragen.

Echt Formen

Die Gruppen so und so beispielsweise führen zu unterschiedlichen realen Lie-Algebren, aber mit der gleichen Dynkin-Diagramm. Im Allgemeinen kann es unterschiedliche reale Formen des gleichen komplexen Lie-Algebra ist.

Beziehung der einfachen Lie-Algebren zu Gruppen

Zweitens die Lie-Algebra bestimmt nur einmalig die einfach zusammenhängende Abdeckung G * der Komponente der Identität einer Lie-Gruppe G. Es kann durchaus passieren, dass G * enthält, wird nicht wirklich eine einfache Gruppe, beispielsweise mit einer nicht-trivialen Zentrum. Deshalb müssen wir über die globale Topologie sorgen, indem die grundlegenden Gruppe von G. Dies wurde von Elie Cartan getan.

Für ein Beispiel, nehmen Sie die spezielle orthogonale Gruppen in noch Dimension. Mit dem nicht-Identitätsmatrix -I in der Mitte, das sind nicht wirklich einfachen Gruppen; und mit einer zweifachen Spinabdeckung, werden sie auch nicht einfach zusammen. Sie liegen "zwischen" G * und G, in der Notation oben.

Klassifizierung nach Dynkin-Diagramm

Nach Dynkin-Klassifikation, haben wir Möglichkeiten, wie diese nur, wobei n die Anzahl der Knoten:

Unendliche Reihe

Eine Serie

A1, A2, ...

Ar entspricht der speziellen unitären Gruppe, SU.

B-Serie

B2, B3, ...

Br entspricht der speziellen orthogonalen Gruppe SO.

C-Serie

C3, C4, ...

Cr entspricht der symplektischen Gruppe, Sp.

D-Serie

D4, D5, ...

Dr entspricht der speziellen orthogonalen Gruppe SO. Beachten Sie, dass SO ist keine einfache Gruppe, though. Das Dynkin-Diagramm hat zwei Knoten, die nicht miteinander verbunden sind. Es gibt einen Homomorphismus surjektiv von SO * × SO * zu SO durch Quaternionenmultiplikation gegeben; siehe Quaternionen und räumliche Rotation. Daher sind die einfachen Gruppen hier beginnen mit D3, die als ein Diagramm begradigt bis A3. Mit D4 gibt es eine "exotische" Symmetrie des Diagramms zu sogenannten Trialität entspricht.

Ausnahmefällen

Für den so genannten Ausnahmefällen siehe G2, F4, E6, E7 und E8. Diese Fälle werden als "außergewöhnlich", weil sie nicht in die unendliche Reihe von Gruppen von zunehmender Dimension fallen. Aus der Sicht der einzelnen Gruppen jeweils für sich genommen, es gibt nichts so Ungewöhnliches an ihnen. Diese außergewöhnlichen Gruppen wurden um 1890 in der Klassifizierung der einfachen Lie-Algebren entdeckt, über den komplexen Zahlen. Seit einiger Zeit war es eine Forschungsfrage zu konkreten Möglichkeiten, in denen sie entstehen, beispielsweise als Symmetriegruppe eines Differenzsystem zu finden.

Siehe auch E7½.

Einfach geschnürt Gruppen

Ein einfach geschnürt Gruppe ist eine Lie-Gruppe, deren Dynkin-Diagramm enthalten nur einfache Links und damit alle von Null verschiedenen Wurzeln der entsprechenden Lie-Algebra die gleiche Länge haben. Der A, D und E-Serie-Gruppen sind alle einfach geschnürt, aber keine Gruppe vom Typ B, C, F oder G einfach geschnürt.

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