Ebene Kurve

In der Mathematik ist eine ebene Kurve eine Kurve in einer euklidischen Ebene. Die am häufigsten untersuchten Fälle sind glatte Ebene Kurven und algebraischen ebenen Kurven.

Eine glatte ebene Kurve ist eine Kurve, in einer realen euklidischen Ebene R und ist ein eindimensionales glatten Mannigfaltigkeit. Gleichwertig kann eine glatte ebene Kurve lokal durch eine Gleichung, wo eine glatte Funktion und die partiellen Ableitungen gegeben werden und sind niemals beide 0. Mit anderen Worten, ist eine glatte ebene Kurve eine ebene Kurve, die "örtlich aussieht einer Linie" mit Um ein reibungsloses Koordinatenwechsel.

Eine algebraische ebene Kurve ist eine Kurve in einer affinen oder projektiven Ebene durch eine Polynom-Gleichung

Algebraische Kurven wurden ausgiebig in der 18. bis 20. Jahrhunderts untersucht, was zu einer sehr reichen und tiefen Theorie. Einige Gründer der Theorie gelten als Isaac Newton und Bernhard Riemann sein, mit Hauptbeitragszahler als Niels Henrik Abel, Henri Poincaré, Max Noether, unter anderem. Jede ebene algebraische Kurve einen Grad, den Grad der Bestimmungsgleichung, die gleich ist, im Falle einer algebraisch abgeschlossenen Bereich, um die Anzahl der Schnittpunkte der Kurve mit einer Linie im allgemeinen Position. Zum Beispiel der Kreis, der durch die Gleichung gegeben ist Grad 2.

Ein wichtiger klassischen Ergebnis besagt, dass jede nicht-singuläre ebene Kurve vom Grad 2 in einer projektiven Ebene isomorph zu der Projektion des Kreises jedoch ist die Theorie der ebenen Kurven vom Grad 3 schon sehr tief und mit dem Weierstraßschen Theorie der bi verbunden -periodischen komplexe analytische Funktionen.

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