Divergenz der Summe der Kehrwerte der Primzahlen

Die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen divergiert; das ist:

Dies wurde von Leonhard Euler im Jahre 1737 bewiesen, und stärkt Euklids 3. Jahrhundert-BC zur Folge, dass es unendlich viele Primzahlen.

Es gibt eine Vielzahl von Beweisen der Eulerschen Ergebnis einschließlich eines für die Teilsummen, wonach Untergrenze

für alle natürlichen Zahlen n. Das Doppel natürlichen Logarithmus zeigt an, dass die Divergenz könnte sehr langsam, das ist in der Tat der Fall, finden Sie Meissel-Mertens konstant.

Die harmonische Reihe

Zunächst beschreiben wir, wie Euler das Ergebnis ursprünglich entdeckt. Er war angesichts der harmonischen Reihe

Er hatte bereits die folgenden "Produkt-Formel" verwendet werden, um die Existenz unendlich viele Primzahlen zu zeigen.

Solche unendliche Produkte sind heute als Euler-Produkte. Das Produkt oben ist ein Spiegelbild der Fundamentalsatz der Arithmetik. Natürlich ist die obige "Gleichung" nicht nötig, weil die harmonischen Reihe bekannt ist, zu divergieren. Diese Art der formalen Manipulation üblich war zu der Zeit, als die Mathematiker waren noch mit den neuen Werkzeugen von Zahnstein zu experimentieren.

Euler darauf hingewiesen, dass, wenn es nur eine endliche Anzahl von Primzahlen, dann das Produkt auf der rechten Seite würde eindeutig konvergieren, im Widerspruch zu der Divergenz der harmonischen Reihe.

Proofs

Erste

Euler nahm den oben Produktformel und fuhr fort, eine Folge von kühnen logischen Sprünge zu machen. Zuerst nahm er den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten, dann wird er die Taylor-Entwicklung für ln sowie die Summe einer geometrischen Reihe verwendet:

für eine feste Konstante C & lt; 1. Da die Summe der Kehrwerte der ersten n positiven ganzen Zahlen ist asymptotisch ln ,, Euler dann abgeschlossen

Es ist nahezu sicher, dass Euler gemeint, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlen kleiner als n asymptotisch zu ln (ln) ist, wenn n gegen unendlich. Es stellt sich heraus, dies tatsächlich der Fall ist; Euler war ein korrektes Ergebnis durch fragwürdige Mittel erreicht.

Eine Variation

Schon seit

Zeigt, dass deshalb so. Also

Daher divergiert. Aber. Wo ist der i prime ,.

Daher divergiert.

Zweite

Die folgende Widerspruchsbeweis beruht auf Paul Erdős.

Lassen pi bezeichnen die i Primzahl. Annehmen, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlen konvergiert; d.h.

Dann gibt es eine kleinste positive ganze Zahl k, so dass

Für eine positive ganze Zahl x lassen Mx bezeichnen wir die Menge derjenigen n in {1, 2 ,. . ., X}, die nicht teilbar durch jede Primzahl größer als pk sind. Wir werden nun abzuleiten eine obere und eine untere Abschätzung für die Anzahl | Mx | der Elemente in Mx. Für große x, werden diese Grenzen erweisen sich widersprüchlich.

Oberschätzung

Jedes n in Mx als n = r m positive ganze Zahlen m und r, wobei r quadratfrei geschrieben werden. Da nur die k Primzahlen p1, ..., pk kann in der Primfaktorzerlegung von r zu zeigen, gibt es höchstens 2 verschiedene Möglichkeiten, r. Weiterhin gibt es höchstens √x möglichen Werte für m. Dies gibt uns die obere Abschätzung

Niedrigere Schätzung

Der verbleibende x - | Mx | Zahlen in der Menge Unterschied {1, 2 ,. . ., X} \ Mx sind teilbar durch eine Primzahl größer als pk. Lassen Ni, x bezeichnen wir die Menge derjenigen n in {1, 2 ,. . ., X}, die teilbar durch das i prime pi sind. Dann

Da die Anzahl der ganzen Zahlen in Ni, x höchstens x / PI, erhalten wir

Verwendung bedeutet dies,

Widerspruch

Wenn x ≥ 2, die Schätzungen und können nicht beide halten, weil.

Dritte

Hier ist ein weiterer Beweis dafür, dass tatsächlich gibt eine niedrigere Schätzung für die Teilsummen; Insbesondere zeigt sich, dass diese Summen wachsen mindestens so schnell wie log (log). Der Beweis ist eine Anpassung der Produkterweiterung Idee der Euler. Im Folgenden eine Summe oder ein Produkt über p genommen stellt immer eine Summe oder ein Produkt über einen festgelegten Menge der Primzahlen gemacht.

Der Nachweis beruht auf den folgenden vier Ungleichheiten:

  • Jede positive ganze Zahl i eindeutig als Produkt von einem quadratfreie ganze Zahl und ein Quadrat ausgedrückt werden. Dies gibt der Ungleichheit
  • Die obere Schätzung für den natürlichen Logarithmus
  • Die untere Schätzung 1 + x & lt; exp für die Exponentialfunktion, die für alle gilt x & gt; 0.
  • Sei n ≥ 2. Die für die Teilsummen Obergrenze

Die Kombination all dieser Ungleichheiten, sehen wir, dass

Durch Dividieren durch 5/3 und unter den natürlichen Logarithmus beider Seiten gibt

wie gewünscht. ∎

Verwendung

Die oben konstant ln = 0,51082 ... kann ln = 0,4977 ... verbessert werden; in der Tat stellt sich heraus, dass

M = 0.261497 ... ist die Meissel-Mertens konstant.

Vierte

Von Dusart Ungleichung erhalten wir

Dann

durch die Integralkriterium. Dies zeigt, daß die Reihe links divergiert.

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