Disjunkte Mengen

In der Mathematik werden zwei Sätze die disjunkt sind, wenn sie kein Element gemeinsam haben. Gleichwertig disjunkte Mengen sind Sätze, deren Schnittpunkt ist die leere Menge. Zum Beispiel {1, 2, 3} und {4, 5, 6} disjunkte Mengen, während {1, 2, 3} und {3, 4, 5} nicht.

Verallgemeinerungen

Diese Definition der disjunkte Mengen kann zu jeder Familie von Mengen erweitert werden. Eine Familie von Mengen ist paarweise disjunkt oder disjunkte, wenn alle zwei verschiedene Sätze in der Familie sind disjunkt. Zum Beispiel ist die Sammlung von Sätzen paarweise disjunkt.

Zwei Sätze sollen nahezu disjunkte Mengen, wenn ihr Durchschnitt ist klein in einem gewissen Sinn. Zum Beispiel, zwei unendliche Mengen, deren Schnittpunkt ist eine endliche Menge kann sagen fast disjunkt sein werden.

In der Topologie gibt es verschiedene Vorstellungen von voneinander getrennten Gruppen mit mehr strengen Bedingungen als Disjunktheitstest. Zum Beispiel können zwei Sätze betrachtet, getrennt werden, wenn sie disjunkte Schließungen oder disjunkte Umgebungen aufweisen. In ähnlicher Weise in einem metrischen Raum, positiv getrennten Sets sind durch einen von Null verschiedenen Abstand getrennt Sets.

Kreuzungen

Disjunktheitstest von zwei Sätzen oder einer Familie von Sätzen, kann im Hinblick auf ihren Schnittpunkten ausgedrückt werden.

Zwei Sätze A und B disjunkt sind genau dann, wenn ihr Durchschnitt ist die leere Menge. Nach dieser Definition, die jeder Satz ist dijunkt von der leeren Menge, und dass die leere Menge ist der einzige Satz, der disjunkt selbst ist.

Eine Familie F von Sätzen ist paarweise disjunkt, wenn für je zwei Mengen in der Familie, ist ihr Durchschnitt leer. Wenn die Familie mehr als einen Satz enthält, bedeutet dies, dass der Schnittpunkt der ganzen Familie ist auch leer. , Eine Familie von nur einem Satz ist jedoch paarweise disjunkt, unabhängig davon, ob diese Menge leer ist, und kann einen nicht-leeren Durchschnitt haben. Zusätzlich kann eine Familie von Mengen haben eine leere Schnittmenge ohne paarweise disjunkt. Zum Beispiel haben die drei Sätze eine leere Schnittmenge sind aber nicht paarweise disjunkt. In der Tat, es gibt keine zwei disjunkte Mengen in dieser Sammlung.

Ein Helly Familie ist ein System von Sätzen, in dem die einzige Unterfamilien mit leeren Schnittpunkte sind diejenigen, die paarweise disjunkt sind. Zum Beispiel sind die geschlossenen Intervallen der reellen Zahlen bilden eine Helly Familie: Wenn eine Familie von geschlossenen Abständen hat eine leere Kreuzung und minimal ist, muss sie paarweise disjunkt sein.

Disjoint Gewerkschaften und Partitionen

Eine Partition einer Menge X ist eine beliebige Sammlung von disjunkte nichtleere Mengen, deren Vereinigung ist X. Jede Partition kann äquivalent durch eine Äquivalenzrelation, eine binäre Relation, die beschreibt, ob zwei Elemente auf den gleichen Satz in der Partition gehören, beschrieben werden. Disjoint festgelegten Datenstrukturen und Partition Raffinesse sind zwei Techniken der Informatik für die effiziente Pflege Partitionen aus einem Satz unterliegen jeweils union Operationen, die zwei Sätze oder Verfeinerung Operationen, die einen Satz in zwei Teile aufgeteilt verschmelzen.

A disjunkte Vereinigung kann eines von zwei Dingen bedeuten. Am einfachsten kann sie die Vereinigung von Mengen, die disjunkt sind meine. Aber wenn zwei oder mehr Sätze nicht bereits disjunkte, können ihre disjunkte Vereinigung durch Änderung der Sätze ihnen disjoint vor der Bildung der Vereinigung der modifizierten Sätze zu machen, gebildet werden. Beispielsweise zwei Sätze möglicherweise unabhängige durch jedes Element ersetzt durch ein geordnetes Paar von dem Element und einem binären Wert, der angibt, ob es mit dem ersten oder zweiten Satz gehört, hergestellt werden. Familien von mehr als zwei Gruppen, kann man in ähnlicher Weise jedes Element durch ein geordnetes Paar von dem Element und dem Index der eingestellten, die sie enthält zu ersetzen.

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