Differenz-Set

In Kombinatorik, einen Unterschied setzen eine Teilmenge der Größe einer Gruppe der Ordnung, so dass jeder Nicht-Identität Element kann als ein Produkt der Elemente in genau Weise ausgedrückt werden. Ein Unterschied Menge heißt zyklisch, abelschen, nicht-abelschen usw. zu sein, wenn der Konzern die entsprechende Eigenschaft. Ein Unterschied mit eingestellt wird manchmal auch als ebene oder einfach. Wenn eine abelsche Gruppe in Additiv Notation geschrieben, ist das bestimmende Bedingung, dass jedes von Null verschiedene Element kann als eine Differenz von Elementen in genau Weisen geschrieben werden. Der Begriff "Unterschied Satz" entsteht auf diese Weise.

Grundfakten

  • Ein einfaches Argument Zählung zeigt, dass es genau das Paare von Elementen aus, dass wird Nichtidentität Elemente ergeben, so muss jeder Unterschied Satz die Gleichung.
  • Wenn es einen Unterschied Satz, und dann ist auch ein Unterschied Set, und heißt einer Umsetzung.
  • Das Komplement einer -Differenz Set ist ein -Differenz Set.
  • Die Menge aller übersetzt eine Differenz eingestellt bildet eine symmetrische Block Entwurf, genannt die Entwicklung und bezeichnet. Bei einer solchen Konstruktion gibt es Elemente und Blöcke. Jeder Block des Design besteht aus Punkten, wird jeder Punkt in den Blöcken enthalten sind. Je zwei Blöcke genau gemeinsame Elemente und zwei Punkte gleichzeitig in genau Blöcken enthalten. Die Gruppe agiert als Automorphismengruppe des Designs. Es ist deutlich transitive beiden Punkten und Blöcke.
    • Insbesondere wenn, dann gibt die Differenz gesetzt zu einer projektiven Ebene. Ein Beispiel für einen Unterschied in der Gruppe festgelegt ist, die Teilmenge. Das übersetzt dieser Differenz Satz bilden die Fano-Ebene.
  • Da jede Differenz gesetzt gibt einen symmetrischen Aufbau, muss der Parametersatz die Bruck-Ryser-Chowla Satz genügen.
  • Nicht jeder symmetrischen Design gibt einen Unterschied gesetzt.

Equivalent und isomorph Unterschied Sets

Zwei Unterschied Sätze in der Gruppe und in der Gruppe sind gleichwertig, wenn es eine Gruppe Isomorphismus zwischen und so, dass für einige. Die beiden Differenz-Sets sind isomorph, wenn die Entwürfe und sind isomorph als Block-Designs.

Equivalent Unterschied Sets sind isomorph, aber es gibt Beispiele von isomorph Unterschied Sätze, die nicht gleichwertig sind. Im zyklischen Differenz eingestellt Fall sind alle bekannten isomorph Unterschied Sätze gleichwertig.

Multiplikatoren

Ein Multiplikator von einem Unterschied in der Gruppe festgelegt ist eine Gruppe Automorphismus, so dass für einige. Wenn abelsch und ist der Automorphismus, die Karten, dann wird als numerischer oder Hall-Multiplikator.

Es wurde vermutet, dass, wenn p eine Primzahl ist und nicht teilenden Trenn v, dann die Gruppe Automorphismus von Fixes definiert einige übersetzt von D. Es ist bekannt, gilt für wann ist eine abelsche Gruppe zu sein, und dies wird als der erste Multiplizierer Theorem bekannt . Eine allgemeinere bekanntes Ergebnis, der zweite Multiplizierer Theorem, sagt, dass, wenn ein -Differenz in einer abelschen Gruppe von Exponenten gesetzt, lassen eine ganze Zahl teilerfremd zu. Wenn es einen Divisor, so daß für jede Primzahl p Teilungs m, gibt es eine Zahl mit i ist, dann ist t eine numerische Teiler.

Zum Beispiel 2 ist ein Multiplikator des oben erwähnten -Differenz set.

Es wurde erwähnt, daß ein Zahlen Multiplikator von einem Unterschied in einer abelschen Gruppe eingestellt behebt einer Umsetzung, aber es kann auch gezeigt, dass es eine Übersetzung davon wird von allen numerischen Multiplikatoren fixiert werden.

Parameter

Die bekannte Differenz setzt oder ihre Komplemente haben eine der folgenden Parametersätze:

  • -Unterschied für einige Grundleistung und einige positive ganze Zahl festgelegt. Diese sind als die klassischen Parameter bekannt und es gibt viele Konstruktionen von Differenzsätze mit diesen Parametern.
  • -Unterschied für einige positive ganze Zahl festgelegt. Differenz setzt mit v = 4 n - 1 sind Paley-type Differenzsätze genannt.
  • -Unterschied für einige positive ganze Zahl festgelegt. Ein Unterschied mit diesen Parametern festgelegt ist eine Hadamard Unterschied Set.
  • -Unterschied für einige Grundleistung und einige positive ganze Zahl festgelegt. Bekannt als die McFarland Parameter.
  • -Unterschied für einige positive ganze Zahl festgelegt. Bekannt als die Spence Parameter.
  • -Unterschied für einige Grundleistung und einige positive ganze Zahl festgelegt. Differenz-Sets mit diesen Parametern sind Davis-Jedwab-Chen Unterschied Sätze genannt.

Bekannte Unterschied Sets

Bei vielen Konstruktionen von Differenz legt die Gruppen, die verwendet werden, werden der additiven und multiplikativen Gruppen von finiten Feldern. Das verwendete, um diese Felder zu bezeichnen Notation unterscheidet sich je nach Disziplin. In diesem Abschnitt ist die Galois-Feld der Ordnung, in denen eine Primzahl ist oder Grundleistung. Die Gruppe der Addition wird mit bezeichnet, und ist die multiplikative Gruppe von nicht-Null-Elemente.

  • Paley -Differenz Set:
  • Singer -Differenz Set:
  • Twin-Primärleistung -Differenz Satz bei und sind beide Primzahlpotenzen:

Geschichte

Die systematische Anwendung von zyklische Unterschied Sätze und Methoden für den Bau von Block symmetrischen Designs stammt aus dem RC Bose und einer bahnbrechenden Arbeit von seinem 1939 erschienen jedoch verschiedene Beispiele früher als diese, wie die "Paley Difference Sets", die zurückgehen bis 1933. Die Verallgemeinerung des zyklischen Differenz eingestellt Konzept zu allgemeineren Gruppen ist auf RH Bruck 1955 Multiplikatoren wurden von Marshall Halle Jr. im Jahr 1947 eingeführt.

Anwendung

Es wird von Xia, Zhou und Giannakis festgestellt, dass, können Differenzsätze verwendet werden, um einen komplexen Vektor-Codebuch, das die schwierige Welch auf maximale Kreuzkorrelationsamplitude gebunden erreicht zu konstruieren. Die so aufgebaute Codebuch bildet auch die sogenannten Grassmannsche vielfältig.

Verallgemeinerungen

Ein Differenzfamilie ist eine Reihe von Teilmengen einer Gruppe, so dass die Reihenfolge ist, ist die Größe für alle und jeden Nonidentity Element kann als ein Produkt der Elemente für einige exakt Weise ausgedrückt werden.

Ein Unterschied gesetzt gibt einen Unterschied Familie. Der Parameter obigen Gleichung verallgemeinert zu. Die Entwicklung einer Differenz Familie ist ein 2-Design. Jede 2-Design mit einem regelmäßigen Automorphismengruppe ist seit einiger Unterschied Familie.

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