Dessin d'enfant

FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc
Januar 10, 2016 Moritz Benz D 0 11

In der Mathematik ist ein Dessin d'enfant eine Art von Zeichnen von Graphen zur Riemannschen Flächen untersuchen und kombinatorischen Invarianten für die Aktion der absoluten Galoisgruppe der rationalen Zahlen bereitzustellen.

Intuitiv ist ein dessin d'enfant einfach ein Graph mit seinen Ecken mit den Farben schwarz und weiß alternierenden, in einer ausgerichteten Fläche, die, in vielen Fällen einfach eine Ebene eingebettet. Für die Färbung zu bestehen, muss der Graph bipartite sein. Die Gesichter der Einbettung muss topologischen Platten sein. Die Oberfläche und die Einbettung kann kombinatorisch mit einem Drehsystem, ein zyklischer Reihenfolge von den Kanten jedes der Knoten des Graphen, die die Reihenfolge, in der die Kanten würde durch einen Pfad, der im Uhrzeigersinn auf der Oberfläche in einer kleinen Schleife fährt gekreuzt werden beschreibt umgebenden beschrieben um den Scheitel.

Alle dessin können die Oberfläche wird in einer Struktur als Riemann Oberfläche eingebettet ist. Es ist natürlich zu fragen, welche Riemann Oberflächen auf diese Weise entstehen. Die Antwort wird durch Belyi Theorem, das besagt, dass die Riemannsche Flächen, die von dessins beschrieben werden können, sind genau diejenigen, die über den Bereich der algebraischen Zahlen definiert werden kann. Die absolute Galoisgruppe wandelt diese insbesondere Kurven ineinander, und damit auch verwandelt sich die zugrunde liegenden Dessins.

Für eine ausführlichere Behandlung dieses Themas finden Schneps oder Lando & amp; Zvonkin.

Geschichte

19. Jahrhundert

Früh Proto-Formen des dessins d'enfants erschien bereits 1856 in der icosian Rechnung William Rowan Hamilton; modern ausgedrückt sind dies Hamilton-Pfaden auf der Ikosaeder-Graphen.

Erkennbare modernen Dessins d'enfants und Belyi Funktionen wurden von Felix Klein in verwendet Klein nannte diese Diagramme Linienzüge. Er verwendet einen weißen Kreis für das Urbild von 0 und einem '+' für das Urbild von 1, anstatt einen schwarzen Kreis für 0 und weißen Kreis 1 wie in moderner Notation. Er verwendet diese Diagramme, um eine 11-fache Abdeckung der Riemannschen Kugel von selbst zu konstruieren, mit Monodromiegruppe PSL, nach früheren Konstruktionen einer 7-fach Abdeckung mit Monodromie PSL auf das Klein quartic in und angeschlossen. Diese waren alle, seine Untersuchungen der Geometrie der Gleichung fünften Grades und der Gruppe, in seinem berühmten 1884/88 Vorlesungen über das Ikosaeder gesammelt zusammen. Die drei auf diese Weise aus diesen drei Gruppen aufgebaut Oberflächen wurden viel später gezeigt, eng durch das Phänomen der Dreiheit in Beziehung gesetzt werden.

20. Jahrhundert

Dessins d'enfant in ihrer modernen Form wurden dann über ein Jahrhundert später wiederentdeckt und von Alexander Grothendieck im Jahr 1984 in seiner Esquisse d'un Programms benannt. Zapponi zitiert Grothendieck über seine Entdeckung des Galois-Aktion auf dessins d'enfants:

Riemannsche Flächen und Belyi Paare

Die komplexen Zahlen, zusammen mit einem als ∞ benannten besonderen Punkt, bilden einen topologischen Raum als Riemannschen Kugel bekannt. Alle Polynom, und allgemein jede rationale Funktion p / q, wobei p und q Polynome, verwandelt die Riemannschen Kugel durch Zuordnung zu sich. Betrachten wir zum Beispiel die rationale Funktion

Am meisten Punkte der Riemannschen Kugel, ist diese Transformation ein lokaler Homöomorphismus: es eine kleine Scheibe an einem beliebigen Punkt in einer Eins-zu-Eins-Weg in eine andere Festplatte zentriert abbildet. In gewissen kritischen Punkten, ist aber die Zuordnung komplizierter und bildet eine Scheibe an der Stelle in einem k-zu-Eins-Art und Weise auf ihre Bild zentriert. Die Zahl k ist als der Grad des kritischen Punktes und dem transformierten Bild eines kritischen Punktes ist als ein kritischer Wert, bekannt. Im obigen Beispiel, f, hat die folgenden kritischen Punkte und kritische Werte:

Man kann eine dessin d'enfant aus F, indem schwarze Punkte an den Urbildern 0, weiße Punkte an den Urbildern 1 und Bögen an den Urbilder des Liniensegments zu bilden. Dieses Liniensegment hat vier Urbilder zwei entlang dem Liniensegment 1-9 und zwei bilden eine einfache geschlossene Kurve, die von 1 bis selbst Schleifen umgebende 0; die resultierende dessin ist in der Figur gezeigt.

In der anderen Richtung, von diesem dessin, als kombinatorische Objekt ohne Angabe der Orte der kritischen Punkte beschrieben, kann man eine kompakte Riemannsche Fläche, und eine Karte von der Oberfläche zu der Riemannschen Kugel, äquivalent zu der Karte zu bilden, aus der die dessin wurde ursprünglich gebaut. Um dies zu tun, setzen Sie ein ∞ innerhalb jeder Region des dessin markierten Punkt und triangulieren jede Region durch den Anschluss dieses Punkts an den schwarzen und weißen Punkten die Grenze der Region bilden, verbindet mehrmals auf das gleiche schwarze oder weiße Punkt, wenn es scheint, mehrere Male über die Grenze des Bereichs. Jedes Dreieck in der Triangulation hat drei Ecken mit 0, 1, oder ∞. Für jedes Dreieck, ersetzen eine Halbebene, entweder die obere Halbebene für ein Dreieck, das 0 ist, 1 und ∞ entgegen dem Auftrag oder der unteren Halbebene für ein Dreieck, das sie im Uhrzeigersinn hat, und für jeden benachbarten Dreieckspaar kleben die entsprechenden Halbebenen, die entlang dem Abschnitt der Grenzen, die durch den Scheitelpunkt Etiketten angegeben. Das resultierende Riemannsche Fläche kann auf die Riemannschen Kugel mit Hilfe der Identitätskarte innerhalb jeder Halbebene abgebildet werden. Somit ist die dessin d'enfant von f gebildet ausreicht, um bis zu Biholomorphe Abbildung beschreiben f sich.

Die gleiche Konstruktion gilt ganz allgemein, wenn X eine beliebige Riemann Oberfläche und f eine Belyi Funktion; das heißt, mit einem holomorphe Funktion f von X nach der Riemannschen Kugel nur 0, 1, und ∞ als kritische Werte. Ein Paar von diesem Typ wird als Belyi Paar bekannt. Von jedem Paar Belyi man eine dessin d'enfant bilden, auf der Oberfläche X gezogen wird, dass die schwarze Punkte an den Urbilder f 0 hat, seine weiße Punkte an den Urbilder f von 1, und ihre Ränder entlang den Urbilder f platziert das Liniensegment. Umgekehrt kann jedes Dessin d'enfant auf jedem Untergrund X festgelegt, Klebeanleitung für eine Sammlung von Halbräumen, die zusammen eine Riemannsche Fläche homöomorph zu X zu bilden; Abbilden jedes Halbraum von der Identität zu der Riemannschen Kugel ergibt ein Belyi Funktion f X, und führt zu einer Belyi Paar daher. Je zwei Belyi Paare, die zu äquivalenten dessins d'enfants kombinato führen, sind biholomorphe und Belyi Theorem impliziert, dass, für jede kompakte Laufe der algebraischen Zahlen definiert Riemannschen Fläche X, gibt es eine Belyi Funktion f und einem Dessin d'enfant, die eine kombinatorische bietet Beschreibung der sowohl X als auch f.

Karten und hypermaps

Ein Knoten in einem Dessin hat eine graphentheoretische Grad, die Zahl der einfallenden Kanten, die ihren Abschluss als kritischen Punkt des Belyi Funktion entspricht. Im obigen Beispiel haben alle weißen Punkte Grades; Dessins mit der Eigenschaft, dass jeder Weißpunkt hat zwei Kanten werden als sauber bekannt, und ihre entsprechenden Belyi Funktionen sind reine genannt. Wenn dies geschieht, kann man die Dessin durch eine einfachere eingebettete Graphen, eine, die nur die schwarzen Punkte als Eckpunkte hat zu beschreiben, und dass eine Kante für jeden Weißpunkt mit Endpunkten auf beiden schwarzen Nachbarn der Weißpunkt hat. Zum Beispiel könnte das in der Figur gezeigt dessin einfacher auf diese Weise als ein Paar schwarze Punkte mit einer Kante zwischen ihnen und eine Selbst-Schleifen auf einer der Punkte gezeichnet. Es ist üblich, nur die schwarzen Punkte einer sauberen dessin zu ziehen und die weißen Punkte unmarkiert zu lassen; kann man die vollständige dessin durch Zugabe eines Weißpunkt in der Mitte jeder Kante der Karte zu erholen.

Somit kann jeder Einbettung eines Graphen in einer Fläche, in der jede Fläche eine Scheibe entsteht eine dessin durch Behandeln der Graph Knoten als schwarze Punkte eines dessin, und Platzieren weiße Punkte in der Mitte jedes eingebetteten Graphkante. Wenn eine Karte entspricht einem Belyi Funktion f entspricht der multiplikativen Inversen 1 / f seine doppelte Karte.

A dessin die nicht sauber durch recoloring alle zugehörigen Punkte als schwarze und neue weiße Punkte auf jeder ihrer Kanten in eine saubere dessin in der gleichen Oberfläche umgewandelt werden. Die entsprechende Umwandlung der Belyi Paaren ist es, eine Belyi Funktion β durch die reine Belyi Funktion γ = 4β ersetzen. Γ = β ∪ β, γ = β und γ = β: man kann die kritischen Punkte der γ direkt aus dieser Formel zu berechnen. Somit ist γ das Urbild unter β des Mittelpunkts des Liniensegments, und die Kanten des aus γ gebildet dessin teilen die Kanten des aus β gebildet dessin.

Unter der Interpretation eines sauberen dessin als Karte, ist eine beliebige dessin a HyperMap: das heißt, eine Zeichnung eines Hypergraphen, in dem die schwarzen Punkte stellen Ecken und die weißen Punkte stellen Hyperkanten.

Reguläre Karten und Dreiecksgruppen

Die fünf platonischen Körper - das regelmäßige Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder - als zweidimensionale Flächen betrachtet, haben die Eigenschaft, dass jede Flagge kann auf jede andere Flagge durch eine Symmetrie der Oberfläche entnommen werden. Allgemeiner gesagt, eine Karte in einer Oberfläche mit der gleichen Eigenschaft eingebettet ist, dass jede Flagge kann auf jede andere Flagge durch eine Symmetrie transformiert werden, nennt man eine regelmäßige Karte.

Wenn eine regelmäßige Karte wird verwendet, um einen sauberen dessin erzeugen und die resultierende dessin wird eine triangulierte Riemann Oberfläche zu erzeugen, dann werden die Kanten der Dreiecke liegen entlang der Symmetrielinien der Oberfläche, und die Reflexionen in diesen Linien erzeugen eine Symmetriegruppe rief ein Dreieck Gruppe, für die die Dreiecke bilden die grundlegenden Domänen. Beispielsweise zeigt die Figur die Menge von Dreiecken auf diese Weise ausgehend von einem Dodekaeder generiert. Wenn der regulären Karte liegt in einer Oberfläche, deren Gattung größer als eins ist, die universelle Abdeckung der Oberfläche ist der hyperbolischen Ebene, und das Dreieck-Gruppe in der hyperbolischen Ebene vom gehoben Triangulation ausgebildet ist eine Fuchsgruppe, die eine diskrete Menge von Isometrien der hyperbolischen Ebene. In diesem Fall ist die Ausgangsfläche ist der Quotient aus der hyperbolischen Ebene, die durch eine endliche Indexuntergruppe Γ in dieser Gruppe.

Umgekehrt ist bei einer Riemannschen Fläche, die ein Quotient eines Tiling ist, ist der zugehörige dessin die Cayleygraph durch die um zwei und um drei Generatoren der Gruppe, oder äquivalent, die Fliesen von der gleichen Oberfläche gegeben durch n-Ecke Treffen drei pro Vertex. Eckpunkte dieser Fliesen geben schwarze Punkte des dessin, Zentren der Ränder geben weiße Punkte, und Zentren der Gesichter geben, die Punkte über die Unendlichkeit.

Bäume und Shabat Polynome

Die einfachsten bipartiten Graphen sind die Bäume. Jede Einbettung eines Baum hat einen einzigen Bereich und daher von der Eulerschen Formel liegt in einer sphärischen Oberfläche. Die entsprechende Belyi Paar bildet eine Transformation der Riemannschen Kugel, die, wenn man legt sich den Pol bei ∞ kann als Polynom dargestellt werden. Umgekehrt, jedes Polynom mit 0 und 1 als seine endliche kritischen Werten bildet eine Belyi Funktion aus der Zahlenkugel auf sich selbst, mit einem einzigen infinite bewertet kritischen Punkt, und entsprechend einer dessin d'enfant, die ein Baum ist. Der Grad des Polynoms gleich der Anzahl von Kanten in dem entsprechenden Baum. Ein solches Polynom Belyi Funktion als Shabat Polynom genannt, nach George Shabat.

Nehmen wir zum Beispiel p, um das Monom p = x mit nur einer endlichen kritischen Punkt und kritischen Wert, beide Null sein. Obwohl 1 ist kein kritischer Wert für p, ist es immer noch möglich, p als Belyi Funktion aus der Riemannschen Kugel, sich zu interpretieren, weil seine kritische Werte alle in der Menge {0,1, ∞} liegen. Die entsprechende Dessin d'enfant ist ein Stern mit einem zentralen schwarzen Scheitel bis d weiße Blätter verbunden ist.

Allgemeiner ein Polynom p mit zwei kritischen Werte Y1 und Y2 eine Shabat Polynom bezeichnet werden. Ein solches Polynom kann in eine Belyi Funktion bei 0 und 1 durch die Formel normalisiert werden, dessen kritische Werte,

aber es kann bequemer, p in seiner un-normalisierte Form zu verlassen.

Eine wichtige Familie von Beispielen Shabat Polynome werden durch die Tschebyscheff-Polynome der ersten Art, Tn, die -1 1 als kritische Werte und angegeben. Die entsprechenden Dessins in Form von Pfadgraphen abwechselnd schwarze und weiße Ecken, mit n Kanten in den Weg. Aufgrund der Verbindung zwischen Shabat Polynomen und Tschebyscheff-Polynome Polynome Shabat selbst werden manchmal auch als Tschebyscheff-Polynome verallgemeinert.

Verschiedene Bäume werden in der Regel entsprechen verschiedenen Shabat Polynome, wie verschiedene Einbettungen oder Farbstoffe des gleichen Baum. Bis zu Normalisierung und lineare Transformationen des Arguments ist der Shabat Polynom von einer Färbung eines eingebetteten Baum eindeutig bestimmt ist, aber es ist nicht immer einfach, einen Shabat Polynom, die eine gegebene eingebettete Baum als Dessin d'enfant hat zu finden.

Die absolute Galoisgruppe und seine Invarianten

Das Polynom

kann durch die Wahl in eine Shabat Polynom vorgenommen werden

Die Wahl zwischen zwei eine Leitung mit zwei Belyi Funktionen f1 und f2. Diese Funktionen, aber eng miteinander verwandt sind, nicht äquivalent sind, wie sie von den zwei isomorphen Bäume in der Figur gezeigt ist, beschrieben.

Da jedoch diese Polynome sind über die algebraische Zahl-Feld definiert sind, können sie durch die Wirkung des Absolut Galois Gruppe Γ der rationalen Zahlen umgewandelt werden. Ein Element, das Γ √21 wandelt sich -√21 wird f1 zu f2 verwandeln und umgekehrt, und kann daher auch gesagt, um jeden der beiden in der Figur in den anderen Baum angezeigt Bäume zu transformieren. Allgemeiner, aufgrund der Tatsache, dass die kritischen Werte jedes Belyi Funktion sind die reinen rationals 0, 1 und ∞, sind diese kritischen Werte unverändert durch die Galois-Aktion, so dass diese Aktion statt Belyi Paare zu anderen Belyi Paaren. Man kann eine Aktion von Γ auf jedem Dessin d'enfant durch die entsprechende Aktion auf Belyi Paare zu definieren; Diese Aktion, beispielsweise permutiert die zwei in der Figur gezeigt Bäumen.

Aufgrund Belyi Theorem, ist die Wirkung von Γ auf dessins treu, so die Studie der dessins d'enfants können uns von Γ sich viel zu erzählen. Vor diesem Hintergrund ist es von großem Interesse, zu verstehen, welche Dessins durch die Wirkung von Γ ineinander umgewandelt und bei dem es nicht sein können. Beispielsweise kann man beobachten, daß die beiden gezeigten Bäume den gleichen Grad Sequenzen für ihre schwarzen Knoten und weißen Knoten: beide haben eine schwarze Knoten Grad drei, zwei schwarze Knoten mit Grades, zwei weiße Knoten mit dem Grad zwei und drei weißen Knoten mit einem Grad. Diese Gleichheit ist kein Zufall: wenn Γ verwandelt einen dessin in eine andere, werden beide den gleichen Grad Sequenz aufweisen. Der Grad Sequenz eine bekannte Invariante des Galois Aktion, aber nicht die einzige invariant.

Der Stabilisator eines Dessin ist die Untergruppe von Γ, bestehend aus Elementen der Gruppe, die das Dessin unverändert zu lassen. Aufgrund der Galois-Entsprechung zwischen Untergruppen von Γ und algebraischen Zahl, entspricht einem Bereich, im Bereich der Module der dessin der Stabilisator. Eine Bahn eines dessin ist die Menge aller anderen Dessins, in die sie umgewandelt werden kann; aufgrund der Grad invariant sind Bahnen notwendigerweise endlich und Stabilisatoren sind von endlichem Index. Man kann in ähnlicher Weise definieren die Stabilisator einer Umlaufbahn und dem entsprechenden Bereich der Moduli der Umlaufbahn, einen anderen Invariante des dessin. Der Stabilisator der Umlaufbahn ist die maximale Normalteiler Γ im Stabilisator der dessin enthalten ist und das Feld der Module der Umlaufbahn entspricht der kleinsten normale Verlängerung der Q, die das Feld der Module der dessin enthält. Beispielsweise für die beiden konjugierten Dessins in diesem Abschnitt betrachtet wird, das Feld der Module der Umlaufbahn. Die beiden Belyi Funktionen f1 und f2 in diesem Beispiel über den Bereich der Module definiert sind, aber es existieren Dessins für die der Bereich der Definition des Belyi Funktion muss größer sein als im Bereich der Module sein.

  0   0
Vorherige Artikel 18. Feld-Artillerie-Brigade
Nächster Artikel Beidhändig Organisation

In Verbindung Stehende Artikel

Kommentare - 0

Keine Kommentare

Fügen Sie einen Kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Zeichen übrig: 3000
captcha