Deformationsretrakt

In der Topologie ein Zweig der Mathematik ist ein Zurückziehen eine stetige Abbildung aus dem gesamten Raum in einem Unterraum, der die Position aller Punkte in diesem Unterraum bewahrt. Eine Verformung Retraktion ist eine Karte, die die Idee der kontinuierlich schrumpf einen Raum in einem Unterraum erfasst.

Begriffsbestimmungen

Zurückziehen

Sei X ein topologischer Raum und A ein Unterraum von X. Dann eine stetige Abbildung sein

ist ein Zurückziehen, wenn die Beschränkung der r den A ist die Identität Karte auf A; das heißt, r = a für alle a in A. Äquivalent bezeichnet durch

die Aufnahme, ist ein Zurückziehen eine stetige Abbildung r, so dass

das heißt, die Zusammensetzung von R mit der Aufnahme der Identität von A. Man beachte, daß per Definition eine Rückzugs Maps X auf A. Ein Teilraum A wird als ein Rückführ von X, wenn eine solche Rückzugs existiert. Zum Beispiel zieht jeglicher Raum bis zu einem Punkt in der offensichtlichen Weise. Wenn X Hausdorff, dann A muss geschlossen werden.

Wenn ein Zurückziehen, dann ist die Zusammensetzung ein idempotent stetige Abbildung von X nach Umge X., da jede idempotent Dauerkarte, so erhalten wir einen Widerruf auf das Bild des s durch die Einschränkung der Wertebereich.

Ein Raum X als absoluten Rückzugs bekannt, ob für jeden normalen Raum Y, die X als ein abgeschlossener Teilraum enthält, X ist ein Rückzugs von Y. Die Einheitswürfel I sowie die Hilbert Würfel ich sind absolute Rückzüge.

Neighborhood Rückzugs

Wenn es eine offene Menge U, so dass

und A eine Rückzugs von U, dann wird A genannt Nachbarschaft Retrakt von X.

Ein Raum X ist ein absolutes Nachbarschaft zurückziehen, wenn für jeden normalen Raum Y, die X als abgeschlossene Teilmenge bettet, X ist ein Viertel der Rückzugs Y. Die n-Sphäre S ist ein absolutes Nachbarschaft einfahren.

Deformationsretrakt und starke Deformationsretrakt

Eine stetige Abbildung

ein Verformungszurückziehen einer Raum X auf einen Unterraum A, wenn für jedes x in X und eine in A,

Mit anderen Worten, ist eine Verformung Einfahren eine Homotopie zwischen einem Zurückziehen und die Identität Karte auf X. Der Teilraum A wird als Deformationsretrakt von X. Eine Verformung Zurückziehen ist ein Spezialfall des Homotopieäquivalenz.

Ein Rückzugs muss kein Deformationsretrakt sein. Zum Beispiel mit einem einzigen Punkt als Deformationsretrakt würde einen Raum impliziert ist Pfad verbunden.

Wichtig: eine äquivalente Definition Verformungszurückziehen ist die folgende. Eine stetige Abbildung r: X → A ist ein Deformationsrückzugs wenn es ein Zurückziehen und ihre Zusammensetzung mit der Aufnahme homotop zur Identität Karte auf X. In dieser Formulierung führt zu einer Verformung Abfahren mit ihm eine homotopy zwischen der Identität Karte auf X und sich.

Wenn in der Definition einer Verformung Retraktion, der Anforderung hinzuzufügen wir, dass

für alle t in und eine in A, dann F heißt eine starke Verformung Rückzug. Mit anderen Worten, lässt eine starke Verformung Rückzugspunkte in einer in der gesamten Homotopie fixiert.

Als Beispiel wird der N-Bereich S eine starke Deformationsretrakt R \ {0}; als starke Verformung Einfahren kann man in der Karte wählen

Neighborhood Deformationsretrakt

Ein abgeschlossener Teilraum A ist ein Viertel Deformationsretrakt von X, wenn es eine stetige Abbildung, so dass und eine Homotopie so dass für alle, für alle und für alle.

Immobilien

  • Die Haupt offensichtliche Eigenschaft einer Rückzugs A von X ist, dass jede stetige Abbildung wenigstens eine Verlängerung, nämlich ,.
  • Deformation Rückzug ist ein Sonderfall der Homotopieäquivalenz. In der Tat sind zwei Räume homotopieäquivalent genau dann, wenn sie beide Deformationsrückzüge eines einzelnen größeren Raum.
  • Alle topologischen Raum, die Verformung zu einem Punkt zurückzieht, ist zusammenziehbar und umgekehrt. Es existieren jedoch kontrahierbaren Räumen, die nicht stark ende Deformation einfahren zu einem Punkt.
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