Couette-Strömung

Strömungslehre ist Couette-Strömung die laminare Strömung eines viskosen Fluids in den Zwischenraum zwischen zwei parallelen Platten, von denen eine sich relativ zu der anderen. Die Strömung wird durch viskose auf das Fluid und der angelegten Druckgradienten parallel zu den Platten wirkenden Widerstandskraft angetrieben. Diese Art der Strömung wird zu Ehren von Maurice Marie Couette Alfred, Professor für Physik an der Französisch Universität Angers in dem späten 19. Jahrhundert benannt.

Einfache konzeptionelle Konfiguration

Mathematische Beschreibung

Couette-Strömung wird häufig in der Undergraduate-Physik und Ingenieurkurse verwendet, um scherungsbetriebenen flüssigen Bewegung zu illustrieren. Die einfachste begriffliche Konfiguration findet zwei unendlich, parallelen Platten mit einem Abstand h getrennt. Eine Platte, also die obere, bedeutet mit einer konstanten Geschwindigkeit u0 in seiner eigenen Ebene. Vernachlässigt Druckgradienten, die Navier-Stokes-Gleichungen zu vereinfachen, um

wobei Y eine Raumkoordinate senkrecht zu den Platten und u ist die Geschwindigkeitsverteilung. Diese Gleichung basiert auf der Annahme, dass der Fluss unidirektional. Das heißt, nur eine der drei Geschwindigkeitskomponenten nicht trivial. Wenn y entsteht an der unteren Platte sind die Randbedingungen u = 0 und u = u0. Die exakte Lösung

kann durch zweimaliges Integrieren und Auflösen nach den Konstanten unter Verwendung der Randbedingungen ermittelt werden.

Konstanten Scher

Ein bemerkenswerter Aspekt dieses Modells ist, dass Schubspannung in der gesamten Fluss Domäne konstant ist. Insbesondere ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit, u0 / h konstant. Nach dem Newtonschen Viskositätsgesetz ist die Scherspannung das Produkt dieses Ausdrucks und der Fluidviskosität.

Couette-Strömung mit Druckgefälle

Ein allgemeinerer Couette-Strömung Situation entsteht, wenn ein Druckgefälle in einer Richtung parallel zu den Platten auferlegt. Die Navier-Stokes-Gleichungen, in diesem Falle zu vereinfachen, um

wo der Druckgradient parallel zu den Platten und die Viskosität der Flüssigkeit. Zweimal die Integration der obigen Gleichung und Anwenden der Randbedingungen, um die folgende genaue Lösung zu erhalten

Die Form der obigen Geschwindigkeitsprofils hängt von der dimensionslosen Parameter

Der Druckgradient kann positiv oder negativ sein.

Es sei darauf hingewiesen, dass im Grenzfall der feststehenden Platten, die Strömung wird als Ebene Poiseuille-Strömung mit einem symmetrischen parabolischen Geschwindigkeitsprofil bezeichnet werden.

Idealisiertes Modell Taylors

Die in der Figur gezeigte Konfiguration kann nicht tatsächlich realisiert werden, wie zwei Platten nicht beliebig in der Strömungsrichtung erstrecken. Sir Geoffrey Taylor interessierte scherungsbetriebenen Ströme erstellt von rotierenden koaxialen Zylindern. In seinem 1923 Papier, berichtet Taylor das mathematische Ergebnis, das für die Krümmung in der Strömungsrichtung Konten und hat die Form

wobei C1 und C2 Konstanten sind, die auf der Drehgeschwindigkeiten der Zylinder abhängen. Es ist aus dieser Gleichung deutlich, dass Krümmungseffekte nicht mehr erlauben konstanten Scher im Strömungsdomäne, wie oben gezeigt. Dieses Modell ist insofern unvollständig, als er nicht für die wandnahe Effekte in endlicher Breite Zylindern Rechnung zu tragen, obwohl es eine vernünftige Näherung, wenn die Breite groß ist im Vergleich zu dem Raum zwischen den Zylindern. Verallgemeinerungen der Basismodell Taylors wurden ebenfalls untersucht. Beispielsweise kann die Lösung für die zeitabhängige "start-up" -Verfahren in Bezug auf Bessel-Funktionen ausgedrückt werden.

Finite-Breite-Modell

Taylor-Lösung berücksichtigt die Krümmung inhärent in den Zylindervorrichtungen typischerweise verwendeten Couette fließt, nicht aber die Endlichkeit der Breite. Eine ergänzende Idealisierung Konten für Endlichkeit, aber nicht Krümmung. In der Abbildung oben, wir von der "Begrenzungsplatte" und die "beweglichen Platte", wie die Kanten von zwei Zylindern mit großen Radien denken, sagen, beziehungsweise wo ist nur geringfügig größer als. In diesem Fall kann Krümmung lokal vernachlässigt werden. Der Physiker / Mathematiker Ratip Berker berichtete über eine mathematische Lösung für diese Konfiguration in Form einer trigonometrischen Expansions

Wendl Ergebnis für physische Geräte

Tatsächliche koaxiale Zylinder-Vorrichtungen verwendet werden, um Couette erstellen Ströme haben sowohl Krümmung und endlichen Geometrie. Letztere führt zu einem erhöhten Widerstand im Wandbereich. Eine mathematische Ergebnis, das für beide Aspekte berücksichtigt wurde erst kürzlich von Michael Wendl angegeben. Seine Lösung hat die Form einer Erweiterung der modifizierten Bessel-Funktionen erster Art.

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