Cotton Tensor

In der Differentialgeometrie, die Cotton Tensor auf einem -Riemannian Mannigfaltigkeit der Dimension n ist ein dritter Ordnung Tensor Begleit der Metrik, wie die Weyl-Tensor. Das Verschwinden des Cotton-Tensor für n = 3 ist notwendige und hinreichende Bedingung für die vielfältigen, um konform flach sein, wie bei der Weyl-Tensor für n ≥ 4. Für n & lt; 3 der Cotton-Tensor ist identisch Null. Das Konzept wird nach Émile Cotton benannt.

Der Beweis für die klassische Folge, dass für n = 3 das Verschwinden des Cotton-Tensor entspricht die Metrik als konform flach durch Eisenhart gegeben mit einem Standard-Integrierbarkeit Argument. Diese Tensordichte ist durch seine konforme Eigenschaften verbunden mit der Forderung, dass sie differenzierbar für beliebige Metrik sein, wie gezeigt ist.

Vor kurzem hat die Untersuchung der dreidimensionalen Räumen wird immer von großem Interesse, weil die Baumwolle Tensor schränkt die Beziehung zwischen der Ricci-Tensor und die Energie-Impuls-Tensor der Materie in den Einsteingleichungen und spielt eine wichtige Rolle in der Hamilton-Formalismus der Allgemeinen Relativitätstheorie .

Definition

Koordinaten und Bezeichnen der Riccitensor durch Rij und Skalarkrümmung durch R, sind die Komponenten des Tensors Cotton

The Cotton Tensor kann betrachtet als vektorwertigen 2-Form sein, und für n = 3 kann man die Hodge-Sterne-Operator verwenden, um diese in eine zweite, um zu konvertieren Spuren kostenlos Tensordichte

manchmal auch die Cotton-Yorker-Tensor.

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Konformen Reskalierung

Unter konformen Reskalierung der Metrik für einige skalare Funktion. Wir sehen, dass die Christoffel-Symbole zu verwandeln, wie

wo ist der Tensor

Die Riemann Krümmungstensor verwandelt als

In dimensionalen Mannigfaltigkeiten, so erhalten wir die Ricci-Tensor durch Kontraktion des transformierten Riemanntensor, um zu sehen, wie es zu transformieren

Ebenso ist der Ricci Skalar transformiert, wie

Die Kombination all dieser Tatsachen ermöglicht uns gemeinsam für den Abschluss des Cotton-Yorker Tensor transformiert, wie

oder unter Verwendung von Koordinaten unabhängige Sprache

wobei der Gradient in den symmetrischen Teil der Weyl-Tensor W. gesteckt

Symmetrien

The Cotton Tensor hat folgende Symmetrien:

und deshalb

Neben der Bianchi Formel für die Weyl-Tensor umgeschrieben werden

wobei die positive Divergenz in der ersten Komponente W.

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