Contraharmonic Mittelwert

In der Mathematik ist eine mittlere contraharmonic eine Funktion, die komplementär zu den harmonischen Mittelwert. Die contraharmonic Mittelwert ist ein Spezialfall des Lehmer bedeuten ,, wobei p = 2.

Definition

Die contraharmonic Mittelwert einer Reihe von positiven Zahlen ist als das arithmetische Mittel der Quadrate der Zahlen geteilt durch das arithmetische Mittel der Zahlen definiert:

oder, einfacher,

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Es ist leicht zu zeigen, dass diese die charakteristischen Eigenschaften einer mittleren erfüllt:

Die erste Eigenschaft bedeutet, dass für alle k & gt; 0,

Die contraharmonic Mittelwert ist in höheren Wert als das arithmetische Mittel und auch höher als der quadratische Mittelwert:

wobei x eine Liste von Werten, H die harmonische Mittel ist G geometrische Mittel ist, L die mittlere logarithmische, A ist der arithmetische Mittelwert, R ist der quadratische Mittelwert und C die contraharmonic Mittelwert. Wenn alle Werte von x, die gleich sind, können die oben genannten Anzeichen Fassung.

Der Name "contraharmonic" kann aufgrund der Tatsache, dass, wenn man den Mittelwert von nur zwei Variablen, ist die mittlere contraharmonic so hoch über dem arithmetischen Mittelwert als arithmetisches Mittel über der harmonische Mittel sein.

Zwei variable Formeln

Aus den Formeln für das arithmetische Mittel und harmonisches Mittel von zwei Variablen haben wir:

Beachten Sie, dass für zwei Variable der Mittelwert der harmonischen und contraharmonic Mittel genau gleich dem arithmetischen Mittel:

Als näher an 0 erhält dann H auch näher an 0. Das harmonische Mittel ist sehr empfindlich auf niedrige Werte. Andererseits wird der Mittelwert contraharmonic empfindlich auf größere Werte, so dass ein gegen 0 C nähert dann b (also ihre durchschnittliche bleibt A).

Es gibt zwei andere bemerkenswerte Beziehungen zwischen 2-variable Mittel. Erstens ist der geometrische Mittelwert der arithmetischen und harmonische Mittel gleich dem geometrischen Mittel der beiden Werte:

Die zweite Beziehung ist, dass das geometrische Mittel der Arithmetik und contraharmonic Einrichtung ist der quadratische Mittelwert:

Die contraharmonic Mittelwert von zwei Variablen kann geometrisch unter Verwendung eines Trapezes ausgebildet sein.

Weitere Konstruktionen

Die contraharmonic Schnitts können auf einem Kreis, ähnlich wie der pythagoreischen mittels zweier Variablen aufgebaut sind konstruiert werden. Die contraharmonic ist der Rest der Durchmesser, auf dem die harmonischen Mittelwert liegt.

Verwendet in der Statistik

Die contraharmonic Mittelwert einer Zufallsvariable gleich der Summe aus dem Mittelwert und der Varianz / bedeuten. Da die Varianz ist immer & gt; 0 die contraharmonic Mittelwert immer größer ist als das arithmetische Mittel.

Das Problem der Größe vorgespannt Probe wurde durch Cox 1969 an einem Problem der Probenahme Fasern erörtert. Die Erwartung der Größe verzerrten Stichprobe gleich seinem contraharmonic Mittelwert.

Die Wahrscheinlichkeit eines Faser abgetastet ist proportional zu seiner Länge. Aus diesem Grund die übliche Stichprobenmittelwert ist ein voreingenommen Schätzer der wahre Mittelwert. Um zu sehen, dies zu berücksichtigen

wobei f die wahre Verteilung der Bevölkerung, g die längengewichtete Verteilung und m ist die Stichprobenmittelwert. Unter den üblichen erwartete mittlere hier gibt der contraharmonic Mittelwert statt der üblichen Mittel aus der Probe. Dieses Problem kann durch Bilden anstatt die Erwartung des harmonischen Mittels überwunden werden. Der Erwartungswert und Varianz von 1 / x sind

und hat Varianz

wobei E der Erwartungsoperator ist. E asymptotisch normalverteilt ist.

Die asymptotische Effizienz der Länge vorgespannt Probenahme hängt in Stichproben von der zugrunde liegenden Verteilung verglichen. wenn f log Normal die Effizienz 1, während, wenn die Bevölkerung ist Gamma mit dem Index b verteilt sind, ist b / der Wirkungsgrad.

Diese Verteilung hat sich in verschiedenen Bereichen eingesetzt.

Geschichte

Die contraharmonic Mittelwert wurde von dem griechischen Mathematiker Eudoxos im 4. Jahrhundert BCE entdeckt.

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