Chaotischen Misch

In der Chaostheorie und der Strömungsdynamik ist chaotisches Mischen ein Prozess, durch den Strömungs Tracer entwickeln in komplexe fraktale unter der Wirkung eines Fluidstroms. Die Strömung wird durch eine exponentielle Wachstum der Fluidfäden aus. Sogar sehr einfache Ströme, wie die blinkende Wirbel, oder endlich gelöst Windfelder kann außergewöhnlich komplexe Muster von anfänglich einfachen Tracer Felder erzeugen.

Das Phänomen ist noch nicht gut verstanden und ist Gegenstand vieler aktueller Forschung.

Rahmen der chaotischen Advektion

Flüssigkeit fließt

Zwei grundlegende Mechanismen sind für die Fluidmisch verantwortlich: Diffusion und Advektion. In Flüssigkeiten, allein molekularen Diffusion kaum effizient zum Mischen. Advektion, die den Stofftransport von einem Strömungs ist, wird zur besseren Durchmischung notwendig.

Der Fluidstrom gehorcht Grundgleichungen der Strömungslehre genannt Navier-Stokes-Gleichungen. Diese Gleichungen werden für die Euler-Geschwindigkeitsfeld und nicht für den Lagrange-Position Fluidteilchen geschrieben. Lagrangian Bahnen werden dann durch Integrieren der Strömung erhalten. Untersuchung der Wirkung von Advektion auf Flüssigkeitsmischung beträgt die beschreiben, wie verschiedene Lagrange Fluidpartikel erkunden Sie die Fluiddomäne und voneinander getrennt.

Bedingungen für chaotische Advektion

Ein Fluidstrom kann als ein dynamisches System, das einen Satz von Differentialgleichungen, die die Entwicklung eines Lagrange-Trajektorie bestimmt ist, berücksichtigt werden. Diese Gleichungen werden als Advektion Gleichungen:

wobei die Komponenten des Geschwindigkeitsfeldes, das annimmt, dass sie aus der Lösung der Gleichungen, die Flüssigkeitsströmung, etwa die Navier-Stokes-Gleichungen bekannt, und ist die physische Position. Wenn das dynamische System über Trajektorien chaotisch, die Integration einer Trajektorie ist extrem empfindlich auf die Anfangsbedingungen, und die benachbarten Punkte trennen exponentiell mit der Zeit. Dieses Phänomen wird als chaotische Advektion.

Dynamische Systeme und Chaostheorie Zustand, dass zumindest 3 Freiheitsgrade, die für ein dynamisches System zu chaotisch. Dreidimensionale Strömungen haben drei Freiheitsgrade entsprechend den drei Koordinaten und üblicherweise in chaotischer Advektion, außer wenn der Durchfluss-Symmetrien, die die Anzahl von Freiheitsgraden senken führen. In Strömungen mit weniger als 3 Freiheitsgraden sind Lagrangian Trajektorien zu geschlossenen Röhren beschränkt ist und scherinduzierten Mischen kann nur innerhalb dieser Röhren ablaufen.

Dies ist der Fall für die 2-D stationäre Strömungen, in denen es nur zwei Freiheitsgraden. Für stationäre Strömungen, Lagrange-Bahnen der Fluidpartikel fallen mit den Stromlinien der Strömung, die Isolinien der Stromfunktion sind. Im 2-D, Stromlinien sind konzentrische geschlossene Kurven, die nur kreuzen Staupunkte. Somit wird ein Punkt der gefärbten Flüssigkeit zu misch nur den Bereich, der durch die am äußeren und inneren Stromlinie, auf dem es zu der Anfangszeit liegenden begrenzt erkunden. Bei den praktischen Anwendungen ist diese Konfiguration nicht sehr befriedigend.

Für 2-D instationären Strömungen, Momentan geschlossenen Stromlinien und Lagrange-Bahnen nicht mehr übereinstimmt. Daher Lagrangian Trajektorien erforschen ein größeres Volumen an das Volumen, was zu einer besseren Durchmischung. Chaotischen Advektion wird für die meisten 2-D nicht stationären Ströme beobachtet. Ein berühmtes Beispiel ist das von Aref, wo zwei festen stabförmigen Agitatoren werden abwechselnd innerhalb des Fluid gedreht eingeführt blinkt Wirbelströmung. Umschalten in regelmäßigen Abständen die aktive Rührwerk führt eine Zeitabhängigkeit in der Strömung, die in chaotischen Advektion führt. Lagrange-Trajektorien kann daher von geschlossenen Stromlinien zu entkommen, und besuchen Sie einen großen Teil der Flüssigkeit Domäne.

Scher

Eine Strömung fördert das Mischen durch die Trennung benachbarter Fluidpartikel. Diese Trennung tritt wegen Geschwindigkeitsgradienten, ein Phänomen, das als Scher. Lassen Sie Und Werden zwei benachbarte Fluidpartikel, indem zum Zeitpunkt t getrennt. Wenn die Teilchen durch eine Fluss advektiert zum Zeitpunkt der ungefähre Abstand zwischen den Teilchen durch Taylor-Entwicklung unter:

daher

und

Die Wachstumsrate der Trennung wird somit durch die Steigung des Geschwindigkeitsfeldes in der Richtung der Trennung gegeben. Das Flugzeug Scherströmung ist ein einfaches Beispiel von großen stationären Strömung, die Fluidelemente aufgrund einer gleichmäßigen Scher verformt.

Charakterisierung der chaotischen Advektion

Lyapunovexponenten

Wenn der Fluss ist chaotisch, dann kleine anfängliche Fehler ,, in einer Flugbahn wird exponentiell divergieren. Wir interessieren uns für die Berechnung der Stabilität, dh wie schnell der Nähe Trajektorien auseinander? Die Jacobi-Matrix des Geschwindigkeitsfeldes ,, liefert Informationen über die lokale Geschwindigkeit der Divergenz der Nähe Bahnen oder der örtlichen Geschwindigkeit der Dehnung der Lagrange-Raum.

Wir definieren die Matrix H so dass:

wobei I die Identitätsmatrix ist. Es folgt dem:

Die endlichen Zeit Lyapunovexponenten sind als die Zeit, Durchschnitt der Logarithmen der Längen der Hauptkomponenten des Vektors H über eine Zeit t definiert:

wobei der i-te Lyapunov Exponent des Systems, während die i-te Hauptkomponente der Matrix H.

Wenn wir mit einem Satz von orthonormalen anfänglichen Fehlervektoren, dann ist die Matrix H wird sie zu einer Reihe von Abschluss orthogonalen Fehlervektoren der Länge zuzuordnen. Die Wirkung des Systems bildet eine infinitesimale Sphäre inititial Punkte zu einem Ellipsoid, deren Hauptachse wird durch die während der Nebenachse ist gegeben, wobei N die Anzahl der Dimensionen angegeben.

Diese Definition Lyapunov Exponenten beide eleganter und besser geeignet, um der realen Welt, zeitkontinuierliche dynamische Systeme als die üblicher Definition basierend auf diskreten Funktionskarten. Chaos ist als die Existenz von mindestens einer positiven Lyapunov Exponenten definiert.

In einem chaotischen System, nennen wir die Ljapunow-Exponent die asymptotische Wert der größten Eigenwert von H:

Wenn es irgendwelche signifikanten Unterschied zwischen den Lyapunovexponenten dann als ein Fehlervektor entwickelt sich in der Zeit vorwärts, wird jede Verschiebung in Richtung der größten Wachstum neigen, vergrößert werden. So:

Die Lyapunov Exponent einer Strömung ist eine einzigartige Menge, dass das asymptotische Trennung von Fluidpartikeln in einer gegebenen Strömungs charakterisiert. Es wird oft als Maß für die Wirksamkeit des Mischens verwendet, da es wird gemessen, wie schnell Bahnen voneinander trennen, weil chaotischer Advektion. Der Lyapunov Exponent kann mit unterschiedlichen Methoden berechnet werden:

  • indem Sie eine einzige Bahn für sehr lange Zeiten und Computing.
  • oder indem Sie ein Ensemble von Trajektorien für einen bestimmten Zeitraum, und Berechnen der Ensemble-Mittelwert:

Die Gleichwertigkeit der beiden Methoden ist aufgrund der Ergodizität des chaotischen Systems.

Filament Wachstum versus Evolution des Tracers Gradienten

Die folgende, genaue Gleichung kann aus einem Advektions-Diffusions-Gleichung abgeleitet werden, mit einer Diffusionszeit von Null:

Parallel zu der Definition der Lyapunov Exponenten, definieren wir die Matrix, wie folgt:

Es ist leicht zu zeigen, dass:

Wenn wir als quadrierten Längen der Hauptkomponenten des Tracers Gradientenmatrix ,, dann:

wo das 's sind, wie zuvor, vom größten zum kleinsten angeordnet sind. Daher wird das Wachstum in der Fehlervektor zu einer entsprechenden Abnahme der Tracer-Gradienten und umgekehrt. Dies kann sehr einfach und intuitiv anhand zweier in der Nähe gelegenen verstanden werden, da die Differenz in Tracerkonzentration fixiert wird, wird die einzige Quelle der Variation der Steigungen zwischen ihnen die Trennung sein.

Contour Advektion

Contour Advektion ist ein weiteres nützliches Verfahren zur Charakterisierung chaotisches Mischen. In chaotischen Strömungen, advektiert Konturen exponentiell mit der Zeit wachsen. Die Abbildung oben zeigt die Frame-by-Frame-Evolution einer Kontur über mehrere Tage advektiert. Die Figur auf der rechten Seite zeigt die Länge dieser Kontur als eine Funktion der Zeit.

Die Verbindung zwischen Kontur exponentiellen Wachstum und positive Lyapunovexponenten ist leicht zu sehen. Die Rate der Wachstums Kontur gegeben ist als:

wobei der Pfad und das Integral über die Länge der Kontur durchgeführt. Contour Wachstumsraten wird der Durchschnitt der großen Lyapunovexponenten nähern:

Poincaré Abschnitten

In chaotischen Advektion, reist ein Fluidpartikel in einem großen Bereich, und begegnet anderen Teilchen, die zunächst weit davon entfernt waren. Man kann dann bedenkt, dass ein Teilchen mit Teilchen, die innerhalb der gleichen Region reisen gemischt. Allerdings ist der Bereich, der durch eine Bewegungsbahn abgedeckt nicht immer überspannen die gesamte Fluiddomäne. Poincaré Abschnitte werden verwendet, um Regionen der guten und schlechten Durchmischung zu unterscheiden.

Die Poincaré-Karte wird als Transformation definiert

 transformiert einen punktartigen Teilchen in die Position des Teilchens, nachdem ein Zeitintervall T. Insbesondere für eine Zeit-periodische Strömung mit Periode T, die Anwendung der Karte mehrere Male, um ein Teilchen gibt die aufeinanderfolgenden Positionen des Teilchens Periode nach Periode. A Poincaré Abschnitt ausgehend von einigen unterschiedlichen Anfangsbedingungen und Aufzeichnen der entsprechenden Iteration aufgebaut. Das kommt darauf an, Auftragen der Trajektorien stroboscoped jeden T.

Betrachten wir ein Beispiel. Die hier vorgestellte Bild zeigt die Poincaré-Abschnitt erhalten wird, wenn man regelmäßig übt eine Achter-artige Bewegung zu einer kreisförmigen Mischstab. Einige Bahnen umfassen einen großen Bereich: Das ist die chaotische oder Mischbereich, in dem eine gute Vermischung auftritt. Jedoch gibt es auch zwei "Löcher": in diesen Regionen, die Flugbahnen geschlossen sind. Diese werden als elliptischen Inseln, die Flugbahnen im Inneren sind elliptisch artigen Kurven. Diese Regionen werden nicht mit dem Rest der Flüssigkeit vermischt. Zum Mischen von Anwendungen, haben elliptischen Inseln aus zwei Gründen vermieden werden:

  • Fluidteilchen nicht imstande sind, die Grenzen der Inseln kreuzen, was zu einer Segregation.
  • Mischung innerhalb dieser Bereiche ist nicht effizient, weil Bahnen geschlossen sind und daher nicht chaotisch.

Vermeidung von nicht-chaotischen Inseln erfordert das Verständnis der physikalischen Ursprung dieser Regionen. Allgemein gesagt, die Änderung der Geometrie des Strömungs kann das Vorhandensein oder Fehlen von Inseln zu modifizieren. In der Achter-Strömung zum Beispiel für einen sehr dünnen Stab, der Einfluss des Stabes ist nicht weit von seiner Lage Filz und nahezu kreisförmigen Flugbahnen in den Schlaufen der Achter-existieren. Mit einem größeren Stange können Partikel aus diesen Schleifen und Inseln nicht entgehen mehr vorhanden, was zu einer besseren Durchmischung.

Mit einer Poincaré-Abschnitt können die Mischqualität eines Flusses durch die Unterscheidung zwischen chaotisch und elliptische Regionen analysiert werden. Dies ist ein grobes Maß für den Mischprozess, da jedoch die Streckeigenschaften kann nicht von dieser Abbildungsverfahren abgeleitet werden. Dennoch ist dieses Verfahren sehr nützlich für die Untersuchung der Vermischung der periodischen Ströme und kann zu einem 3-D-Domäne erweitert.

Fraktale Dimension

Durch einen kontinuierlichen Prozess der Strecken und Falten, ähnlich wie in einer "Karte Bäcker," Tracer in chaotische Strömungen advektiert wird in komplexe Fraktale zu entwickeln. Die fraktale Dimension einer einzelnen Kontur wird zwischen 1 und 2. Das exponentielle Wachstum gewährleistet, daß die Kontur, im Grenzfall sehr lange Integrations wird Fraktal. Fractals von einer einzigen Kurve zusammengesetzt sind unendlich lang, und wenn iterativ gebildet haben eine exponentielle Wachstumsrate, wie ein advektiert Kontur. Die Koch Flocke, zum Beispiel wächst mit einer Rate von 4/3 pro Iteration.

Die folgende Abbildung zeigt die fraktale Dimension eines advektiert Kontur als eine Funktion der Zeit, auf vier verschiedene Arten gemessen. Ein gutes Verfahren zur Messung der fraktalen Dimension eines advektiert Kontur ist die Unsicherheit Exponenten.

Evolution der Tracer-Konzentration in der chaotischen Advektion Felder

In Fluidmisch man oft wünscht, eine Spezies, die von seiner Konzentration Feld q charakterisiert werden können, zu homogenisieren. Häufig kann die Spezies als passiver Tracer, die die Strömung nicht verändert angesehen werden. Die Art kann beispielsweise ein Farbstoff vermischt sein. Die Entwicklung einer Konzentration Feld gehorcht der Advektions-Diffusionsgleichung, auch Convection-Diffusionsgleichung:

Im Vergleich zu der einfachen Diffusionsgleichung der Begriff proportional zum Geschwindigkeitsfeld stellt die Wirkung von Advektion.

Beim Mischen eine Stelle des Tracers dominiert der Advektionsterm die Entwicklung des Konzentrationsfeld zu Beginn des Mischprozesses. Chaotischen Advektion verwandelt den Ort in ein Bündel von dünnen Fäden. Die Breite eines Farbstoffs Filament nimmt exponentiell mit der Zeit, bis ein Gleichgewichtsskala erreicht ist, an dem der Effekt der Diffusion beginnt signifikant. Diese Skala wird als Batchelor Maßstab. Es wird als die Quadratwurzel des Verhältnisses zwischen der Diffusionskoeffizienten und der Lyapunov Exponenten definiert

wo der Lyapunov Exponent und D der Diffusionskoeffizient ist. Diese Waage misst das Verhältnis zwischen Dehnung und Diffusion über die Entwicklung der Konzentration field: Dehnung neigt dazu, die Breite eines Filaments zu verringern, während die Diffusion dazu neigt, sie zu erhöhen. Das Batchelor Maßstab ist die kleinste Längenskala, die seit Diffusions Abstriche schnell jeder feinere Details im Konzentrationsbereich beobachtet werden kann,.

Wenn die meisten Farbstoff Filamente erreichen die Batchelor Skala beginnt Diffusion um den Kontrast der Konzentration zwischen dem Filament und dem umgebenden Domäne signifikant verringern. Der Zeitpunkt, zu dem ein Filament erreicht Batchelor Maßstab ist daher seine Mischzeit bezeichnet. Die Auflösung des Advektions-Diffusions-Gleichung zeigt, daß nach der Mischzeit eines Filaments ist die Abnahme der Konzentrationsschwankung aufgrund von Diffusion exponentiell, was einen schnelleren Homogenisierung mit der umgebenden Flüssigkeit.

Geschichte der chaotischen Advektion

Die Geburt der Theorie der chaotischen Advektion ist in der Regel auf eine 1984 Veröffentlichung von Hassan Aref zurückzuführen. In dieser Arbeit untersucht Aref die Vermischung von zwei Wirbel induzierte schaltet abwechselnd ein und aus im Inneren eines nicht viskosen Flüssigkeit. Diese bahnbrechenden Arbeit war von früheren Entwicklungen in den Bereichen Dynamischer Systeme und Strömungstechnik in den vergangenen Jahrzehnten ermöglicht. Vladimir Arnold und Michel Hénon war bereits aufgefallen, dass die Trajektorien von inhaltstreue dreidimensionale Strömungen advektiert könnte chaotisch. Die praktische Bedeutung der chaotischen Advektion für Fluidmischanwendungen blieb jedoch bis zur Arbeit von Aref in den 80er Jahren unbemerkt. Seitdem hat sich die gesamte Toolkit von dynamischen Systemen und Chaostheorie verwendet worden, um Flüssigkeitsmischung durch chaotische Advektion charakterisieren. Neuere Arbeiten haben zum Beispiel eingesetzt topologische Methoden zur Charakterisierung der Dehnung der Fluidpartikel. Andere neue Forschungsrichtungen betreffen die Untersuchung von chaotischen Advektion in komplexen Strömungen wie granulare Strömungen.

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