Cauchy Spannungstensors

In der Kontinuumsmechanik, der Cauchy Spannungstensors, true Spannungstensor, oder einfach als Spannungstensor, nachdem Augustin-Louis Cauchy benannt, ist ein Tensor zweiter Stufe des Typs mit neun Komponenten, die den Spannungszustand vollständig zu definieren an einem Punkt im Inneren ein Material in der verformten Anordnung oder Konfiguration. Der Tensor betrifft eine Einheitslänge Richtungsvektor n auf den Stress Vektor T über eine imaginäre Oberfläche senkrecht zu n:

woher,

Die Cauchy Spannungstensors gehorcht dem Tensor Transformationsgesetz unter einer Änderung des Koordinatensystems. Eine grafische Darstellung dieser Umwandlung Gesetz ist der Mohrschen Spannungskreises für Stress.

Die Cauchy Spannungstensors für Stress-Analyse der materiellen Körper erleben kleine Verformungen verwendet: Es ist ein zentraler Begriff in der linearen Elastizitätstheorie. Bei großen Verformungen, auch Deformationen, sind weitere Maßnahmen erforderlich, von Stress, wie beispielsweise die Piola-Kirchhoff Spannungstensor, der Biot Spannungstensor und dem Kirchhoff Spannungstensor.

Nach dem Prinzip der Impulserhaltung, wenn das Kontinuum Körper ist im statischen Gleichgewicht nachgewiesen werden kann, dass die Komponenten des Cauchy Spannungstensors in jedem wesentlichen Punkt im Körper erfüllen die Gleichgewichtsgleichungen werden. Zur gleichen Zeit, nach dem Grundsatz der Drehimpulserhaltung Gleichgewicht erfordert, daß die Summe der Momente in Bezug auf einen beliebigen Punkt gleich Null ist, was zu der Schlussfolgerung, dass die Spannungstensors symmetrisch führt somit nur sechs unabhängige Spannungskomponenten mit anstelle der ursprünglich neun.

Es gibt bestimmte Invarianten mit Spannungstensors, deren Werte nicht von dem gewählten Koordinatensystem oder das Flächenelement auf dem das Spannungstensors arbeitet abhängen verbunden. Dies sind die drei Eigenwerte des Spannungstensors, die die Hauptspannungen bezeichnet werden.

Euler-Cauchy betonen Prinzip - Spannungsvektor

Das Euler-Cauchy betonen Prinzip besagt, dass auf jeder Oberfläche, die den Körper trennt, ist die Wirkung eines Teils des Körpers auf der anderen Seite entspricht dem System verteilter Kräfte und koppelt auf der Oberfläche Teilung des Körpers, und es wird durch a dargestellt wird Feld, die so genannte Stress-Vektor, auf der Oberfläche festgelegt und angenommen, kontinuierlich auf Einheitsvektor der Oberfläche abhängen.

Um die Euler-Cauchy Stress Prinzip zu formulieren, sollten Sie von einer imaginären Fläche, die durch einen internen Materialpunkt Division des kontinuierlichen Körper in zwei Segmente, wie in Abbildung 2.1a oder 2.1b gesehen.

Oberflächenkräfte und Massenkräfte: Nach der klassischen Dynamik von Newton und Euler wird die Bewegung eines Materialkörper durch die Wirkung von außen aufgebrachte Kräfte, angenommen von zweierlei Art sein erzeugt. Somit auf einen Körper oder ein Teil des Körpers kann ausgedrückt werden als aufgebrachte Gesamtkraft:

Nur Oberflächenkräfte wird in diesem Artikel beschrieben werden, da sie die für die Cauchy Spannungstensors sind.

Wenn der Körper auf äußere Oberflächenkräfte bzw. Anpresskräfte nach Eulerschen Bewegungsgleichungen unterworfen internen Kontaktkräfte und Momente von Punkt zu Punkt in dem Körper weisen durch die Trennfläche durch die mechanische übertragen und von einem Segment zum anderen, Kontakt eines Teils des Kontinuums auf der anderen Seite. Auf einem Flächenelement enthält, mit dem normalen Vektor wird die Kraftverteilung äquipollent zu einer Kontaktkraft und Flächenmoment. Insbesondere wird die Kontaktkraft gegeben durch

wo ist die mittlere Oberflächen Traktion.

Stress Prinzip Cauchys behauptet, als sehr klein und neigt dazu, das Verhältnis Null wird und das Paar Spannungsvektor verschwindet. In bestimmten Bereichen der Kontinuumsmechanik das Paar Stress wird nicht davon ausgegangen, zu verschwinden; aber klassischen Zweige der Kontinuumsmechanik Adresse nicht-polaren Materialien, die paar Spannungen und Körper Momente nicht berücksichtigen.

Der resultierende Vektor wird als die Oberfläche Traktion, die auch als Spannungsvektor, der Traktion oder Zugvektor definiert. durch an der mit einer Ebene mit einem Normalvektor zugeordneten Punkt gegeben durch:

Diese Gleichung bedeutet, daß der Spannungsvektor abhängig von seiner Lage in dem Körper und der Orientierung der Ebene, auf der sie wirkt.

Dies impliziert, dass die ausgleichende Wirkung der inneren Kontaktkräfte erzeugt eine Anpresskraft Dichte oder Cauchy Traktionsfeld, das eine Verteilung der inneren Kontaktkräfte über das gesamte Volumen des Körpers in einer bestimmten Konfiguration des Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt darstellt. Es ist nicht ein Vektorfeld, da es nicht nur von der Position eines bestimmten Materials Punkt, sondern auch von der örtlichen Orientierung des Oberflächenelement wie durch seine Normalvektor definiert.

In Abhängigkeit von der Orientierung der Ebene unter Berücksichtigung der Spannungsvektor nicht notwendigerweise senkrecht zu dieser Ebene, also parallel zu sein, und kann in zwei Komponenten aufgelöst werden:

  • eine senkrecht zu der Ebene, genannt Normalspannung
  • und die andere parallel zu dieser Ebene, genannt die Scherspannung

Cauchy Postulat

Nach dem Cauchy Postulat, bleibt der Spannungsvektor unverändert für alle Oberflächen durch den Punkt hindurch und denselben Normalvektor an, das heißt, mit einer gemeinsamen Tangente an. Das heißt, der Spannungsvektor ist eine Funktion von nur den normalen Vektor und die nicht durch die Krümmung der inneren Oberflächen beeinflußt.

Cauchys Fundamentallemma

Eine Folge Cauchy Postulat ist Cauchys Grund Lemma, auch genannt die Cauchy Gegenseitigkeit Theorem, das besagt, dass die auf entgegengesetzten Seiten der gleichen Oberfläche wirkenden Spannungsvektoren gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind. Cauchys Fundamentallemma entspricht das dritte Newtonsche Gesetz der Bewegung von Aktion und Reaktion, und wird ausgedrückt als

Cauchy-Theorem Stress Spannungstensor

Der Spannungszustand an einem Punkt im Körper wird dann von allen Spannungsvektoren T mit allen Ebenen, die durch diesen Punkt passieren assoziiert definiert. Doch nach Cauchysche Fundamentalsatz, auch als Cauchy-Theorem Stress, nur durch die Kenntnis der Spannungsvektoren auf drei zueinander senkrechten Ebenen, kann der Spannungsvektor auf einer anderen Ebene, die durch diesen Punkt gefunden werden durch Koordinatentransformationsgleichungen.

Cauchys Stress Theorem besagt, dass es eine Tensorfeld zweiter Ordnung σ, die so genannte Cauchy Spannungstensors, unabhängig von n, so dass T eine lineare Funktion von n:

Diese Gleichung bedeutet, daß der Spannungsvektor T an einem beliebigen Punkt P in einem Kontinuum mit einem Flugzeug mit normaler Einheitsvektor n verbunden sind, können in Abhängigkeit von den Spannungsvektoren für die Ebenen senkrecht zu den Koordinatenachsen, das heißt in Bezug auf die Komponenten ausgedrückt werden σij des Spannungstensors σ.

Um diesen Ausdruck zu beweisen, betrachten einen Tetraeder mit drei Gesichter in den Koordinatenebenen ausgerichtet sind und mit einem infinitesimalen Flächenelement dA in einer durch eine normale Einheitsvektor n angegeben beliebigen Richtung ausgerichtet ist. Der Tetraeder ist durch Schneiden des infinitesimalen Elements entlang einer beliebigen Ebene n gebildet. Der Spannungsvektor in dieser Ebene ist mit T bezeichnet Die auf den Seiten des Tetraeders wirkende Spannung Vektoren als T, T und T bezeichnet und sind definitionsgemäß die Komponenten σij des Spannungstensors σ. Diese Tetraeder wird manchmal die Cauchy Tetraeder. Das Gleichgewicht der Kräfte, das heißt Eulersche ersten Bewegungsgesetz gibt:

wo die rechtsseitigen stellt das Produkt aus der Masse durch das Tetraeder und seine Beschleunigung eingeschlossen: ρ ist die Dichte, a die Beschleunigung ist, und h die Höhe des Tetraeders, unter Berücksichtigung der Ebene n als Basis. Der Bereich der Flächen des Tetraeders senkrecht zu den Achsen kann durch Projizieren dA in jeder Fläche zu finden:

und dann Einsetzen in die Gleichung, um aufheben dA:

Auf den Grenzfall betrachten, wie das Tetraeder zu einem Punkt schrumpft, muß h auf 0. Als Ergebnis gehen, die rechte Seite der Gleichung 0 nähert, so

Unter der Annahme einer Stoffelement mit Ebenen senkrecht zu den Koordinatenachsen eines kartesischen Koordinatensystem, können die mit jedem der Elementebenen, dh T, T und T zugeordneten Spannungsvektoren in eine normale Komponente und zwei Scher Komponenten, dh Komponenten zerlegt werden die Richtung der drei Koordinatenachsen. Für den besonderen Fall einer Oberfläche mit normaler Einheitsvektor in Richtung der x1-Achse orientiert ist, bezeichnen die Normalspannung von σ11 und die zwei Schubspannungen als σ12 und σ13:

Im Index-Notation ist dies

Die neun Komponenten σij der Spannungsvektoren sind die Komponenten eines zweiter Ordnung kartesischen Tensor genannt Cauchy Spannungstensors, der den Spannungszustand vollständig definiert an einem Punkt und ist gegeben durch

wo σ11, σ22 und σ33 sind Normalspannungen und σ12, σ13, σ21, σ23, σ31 und σ32 sind Schubspannungen. Der erste Index i anzeigt, daß die Spannung auf einer Ebene normal zu der xi-Achse wirkt, und der zweite Index j bezeichnet die Richtung in der die Spannung wirkt. Ein Spannungskomponente ist positiv, wenn es in der positiven Richtung der Koordinatenachsen wirkt und wenn das Flugzeug wirkt dort einen nach außen weisenden Normalenvektor in positiver Richtung zu koordinieren.

Somit kann unter Verwendung der Komponenten des Spannungstensors

oder äquivalent

Alternativ kann in Matrixform haben wir

Das Voigt-Notation Darstellung des Cauchy Spannungstensors nutzt die Symmetrie des Spannungstensors, die Spannung als sechsdimensionalen Vektor der Form auszudrücken:

Die Voigt-Notation wird extensiv in der Vertretung Spannungs-Dehnungs-Beziehungen in der Festkörpermechanik und Recheneffizienz in der numerischen Strukturmechanik-Software verwendet wird.

Transformationsregel des Spannungstensors

Es kann gezeigt werden, dass der Spannungstensor ist ein kontra Tensor zweiter Stufe, die eine Erklärung, wie es im Rahmen einer Änderung des Koordinatensystems transformiert ist. Von einer xi-System, um eine XI "-System, σij die Komponenten in dem Ausgangssystem werden in die Komponenten σij verwandelt" im neuen System nach der Tensor Transformationsregel:

wobei A eine Drehmatrix mit Komponenten aij. In Matrixform ist

Die Erweiterung der Matrixoperation, und die Vereinfachung Begriffe mit der Symmetrie des Spannungstensors, gibt

Der Mohr Kreis für Stress ist eine grafische Darstellung dieser Umwandlung von Spannungen.

Normal- und Schubspannungen

Der Betrag der Normalspannungskomponente & sigma; n von jeder Spannungsvektor T wirkend auf einer beliebigen Ebene mit normaler Einheitsvektor n an einem bestimmten Punkt in Bezug auf die Komponenten σij des Spannungstensors σ, ist das Punktprodukt der Spannungsvektor und der normale Einheitsvektor:

Der Betrag der Schubspannung & tau; n-Komponente in der Ebene durch die beiden Vektoren T und n spannt wirkt, kann dann unter Verwendung des Satzes von Pythagoras gefunden werden:

woher

Balance Gesetze - Cauchyschen Bewegungsgleichungen

Cauchy erste Gesetz der Bewegung

Nach dem Prinzip der Impulserhaltung, wenn das Kontinuum Körper ist im statischen Gleichgewicht nachgewiesen werden kann, dass die Komponenten des Cauchy Spannungstensors in jedem wesentlichen Punkt im Körper erfüllen die Gleichgewichtsgleichungen werden.

Beispielsweise für ein hydrostatisches Fluid in Gleichgewichtsbedingungen nimmt der Spannungstensors auf der Form:

wobei der hydrostatische Druck, und ist das Kronecker-Delta.

Cauchys zweiten Bewegungsgesetz

Nach dem Prinzip der Erhaltung des Drehimpulses, Gleichgewicht erfordert, daß die Summe der Momente in Bezug auf einen beliebigen Punkt gleich Null ist, was zu der Schlussfolgerung, dass die Spannungstensors symmetrisch ist, also nur sechs unabhängige Spannungskomponenten mit führt, statt der ursprünglichen neun:

In Gegenwart von paar-Spannungen, dh Momente pro Volumeneinheit ist jedoch die Spannungstensors nicht-symmetrisch. Dies ist auch der Fall, wenn die Knudsen-Zahl in der Nähe von einem oder ,, das Kontinuum ein nicht-Newtonschen Flüssigkeit, die nicht rotations invariant Flüssigkeiten, wie beispielsweise Polymere führen kann.

Hauptspannungen und Spannungs Invarianten

An jedem Punkt in einem gespannten Körper gibt es mindestens drei Ebenen, genannt Hauptebenen mit normalen Vektoren, die so genannte Hauptrichtung, wobei der entsprechende Spannungsvektor senkrecht zur Ebene ist, das heißt parallel oder in der gleichen Richtung wie der Normalvektor, und, wo es keine normale Schubspannungen. Die drei Spannungen normal zu diesen Hauptebenen sind Hauptspannungen bezeichnet.

Die Komponenten des Spannungstensors, hängt von der Orientierung des Koordinatensystems am betrachteten Punkt. Die Spannungstensors selbst ist jedoch eine physikalische Größe, und als solche, unabhängig von der gewählten sie darzustellen Koordinatensystem ist. Es gibt bestimmte Invarianten mit jeder Tensor zugeordnet, die auch unabhängig von dem Koordinatensystem. Zum Beispiel ist ein Vektor eine einfache Tensor ein. In drei Dimensionen, hat es drei Komponenten. Der Wert dieser Komponenten wird auf die gewählte, um den Vektor darzustellen Koordinatensystems abhängt, sondern die Größe des Vektors ist eine physikalische Größe, und ist unabhängig von dem kartesischen Koordinaten ausgewählt, um den Vektor des Systems darstellen. In ähnlicher Weise jedes zweite Rang Tensor verfügt über drei unabhängige invariante Mengen zugeordnet. Ein Satz solcher Invarianten sind die Hauptspannungen des Spannungstensors, die nur die Eigenwerte des Spannungstensors sind. Ihre Richtungsvektoren sind die Hauptrichtungen und Eigenvektoren.

Ein Spannungsvektor parallel zu der normalen Einheitsvektors gegeben ist durch:

wo ist eine Proportionalitätskonstante ist, und in diesem besonderen Fall entspricht der Größe der Normalspannungsvektoren oder Hauptspannungen.

Zu wissen, dass, und wir haben

Dies ist ein homogenes System, dh gleich Null ist, aus drei linearen Gleichungen wo sind die Unbekannten. Um eine nicht-triviale Lösung zu erhalten, muß die Determinante Matrix der Koeffizienten gleich null ist, dh das System ist einzigartig. Somit

Expandieren des Determinante führt zu der charakteristischen Gleichung

woher

Die charakteristische Gleichung hat drei reelle Wurzeln, das heißt nicht imaginär aufgrund der Symmetrie des Spannungstensors. Die, und sind die Hauptspannungen, Funktionen der Eigenwerte. Die Eigenwerte sind die Wurzeln der Satz von Cayley-Hamilton. Die Hauptspannungen sind einzigartig für ein bestimmtes Spannungstensors. Daher ist aus der charakteristischen Gleichung, die Koeffizienten, und rief die ersten, zweiten und dritten Belastungs Invarianten bzw. haben immer den gleichen Wert unabhängig von der Ausrichtung des Koordinatensystems.

Für jeden Eigenwert, gibt es eine nicht-triviale Lösung in der Gleichung. Diese Lösungen sind die Hauptrichtungen und Eigenvektoren der Ebene, in der die Hauptspannungen handeln definieren. Die Hauptspannungen und Hauptrichtungen prägen die Spannung bei einem Punkt und sind unabhängig von der Ausrichtung.

Ein Koordinatensystem mit den Achsen zu den Hauptrichtungen orientiert bedeutet, daß die Normalspannungen sind die Hauptspannungen und der Spannungstensors wird durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird:

Die Hauptspannungen können kombiniert werden, um die Belastung Invarianten bilden ,,, und. Der erste und dritte invariant sind die Leiterbahn und bestimmend bzw. des Spannungstensors. Somit

Aufgrund seiner Einfachheit ist das Hauptkoordinatensystem oft nützlich, wenn man den Zustand des elastischen Mediums an einer bestimmten Stelle. Hauptspannungen werden oft in der folgenden Gleichung zur Auswertung Spannungen in den Richtungen x und y oder axiale und Biegespannungen auf einem Teil ausgedrückt. Die Hauptspannungen können dann verwendet werden, um die von Mises-Spannung und letztlich den Sicherheitsfaktor und Sicherheitsspanne berechnen.

Mit nur den Teil der Gleichung unter der Wurzel ist gleich der maximalen und minimalen Scherspannung für Plus und Minus. Dies wird wie folgt angezeigt:

Maximale und minimale Scherspannungen

Die maximale Scherspannung bzw. maximale Hauptschubspannung ist gleich der Hälfte der Differenz zwischen den größten und den kleinsten Hauptspannungen, und wirkt auf die Ebene, die den Winkel zwischen den Richtungen der größten und der kleinsten Hauptspannung halbiert, das heißt der Ebene der maximale Schubspannung wird aus den Hauptspannungsebenen orientiert. Die maximale Scherspannung wird ausgedrückt

Unter der Annahme, dann

Wenn die Spannungstensors nicht Null ist die normale Spannungskomponente in der Ebene für die maximale Scherspannung wirkt, nicht Null ist, und es ist gleich

Spannungsdeviators Tensor

Der Spannungstensor kann als die Summe der beiden anderen Spannungstensoren ausgedrückt werden:

  • einen mittleren hydrostatischer Spannungstensor oder Volumen Spannungstensor bzw. meine normale Spannungstensor ,, welche, um die Lautstärke des gestressten Körper verändern neigt; und
  • a deviatoric Komponente namens Spannungsdeviators Tensor ,, die dazu neigt, sie zu verzerren.

Also:

wo ist der Mittelspannung gegeben durch

Der Druck wird in der Regel als negativ ein Drittel definiert die Spur des Spannungstensors Minus Stress die Divergenz des Geschwindigkeits trägt mit, dh

wobei eine Proportionalitätskonstante ist die Divergenz des Bedieners ist der k-ten kartesischen Koordinaten, die Geschwindigkeit und der k-ten kartesischen Komponente.

Die deviatoric Spannungstensor kann durch Subtraktion der hydrostatischen Spannungstensor aus der Cauchy Spannungstensors erhalten:

Invarianten des Spannungsdeviators Tensor

Da es ein Tensor zweiter Stufe, hat der Spannungsdeviators Tensor auch eine Reihe von Invarianten, die nach dem gleichen Verfahren verwendet, um die Invarianten des Spannungstensors Berechnung erhalten werden können. Es kann gezeigt werden, daß die Hauptrichtungen der Spannungsdeviators Tensor sind die gleichen wie die Hauptrichtungen des Spannungstensors. Somit ist die charakteristische Gleichung

wo und sind die ersten, zweiten und dritten deviatorische Spannungsinvarianten sind. Ihre Werte sind gleich, unabhängig von der Orientierung des gewählten Koordinatensystem. Diese deviatoric Stress Invarianten kann als eine Funktion der Komponenten oder ihre Hauptwerte ausgedrückt werden ,, und, oder alternativ in Abhängigkeit von oder ihre Hauptwerte ,, und. Somit

Da ist die Spannungsdeviators Tensor in einem Zustand der reinen Scherung.

Eine Menge genannte Vergleichsspannung oder von Mises-Spannung wird allgemein in der Festkörpermechanik verwendet. Die Vergleichsspannung ist definiert als

Oktaedrische Belastungen

Unter Berücksichtigung der Hauptrichtungen auf die Koordinatenachsen, einer Ebene, deren Normalvektor macht gleiche Winkel mit jeder der Hauptachsen wird ein Oktaeder-Ebene aufgerufen. Es gibt insgesamt acht oktaedrische Ebenen. Die Normal- und Scherkomponenten des Spannungstensors auf diesen Ebenen sind aufgerufen oktaedrischen Normalspannung und Schubspannungs Oktaeder sind.

Wissend, dass der Spannungstensor der Punkt O in der Hauptachsen ist

Spannungsvektors auf einem Oktaederebene ist dann gegeben durch:

Die Normalkomponente der Spannungsvektor am Punkt O mit der oktaedrischen Ebene zugeordnet ist

Das ist die mittlere Normalspannung oder hydrostatische Druck. Dieser Wert ist der gleiche in allen acht oktaedrischen Flächen. Die Scherspannung an der Oktaederebene dann

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