Carathéodory Kernel-Theorem

In der Mathematik ist die Carathéodory Kernel-Theorem ein Ergebnis in komplexen Analyse und geometrischen Funktionentheorie von dem griechischen Mathematiker Constantin Carathéodory im Jahr 1912. Die gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen aus einer Folge von holomorphen einwertige Funktionen auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene definiert gegründet und Fixieren 0 kann rein geometrisch in Bezug auf das Grenzverhalten der Abbildungen der Funktionen formuliert werden. Der Kernel-Theorem hat breite Anwendung in der Theorie der einwertige Funktionen und stellt insbesondere die geometrische Grundlage für die Loewner Differentialgleichung.

Kernel aus einer Folge von offenen Mengen

Lassen Un eine Folge von offenen Mengen werden in C enthält 0. Es sei Vn die angeschlossene Komponente des Innenraums des Un ∩ Un + 1 ∩ ... enthält 0. Der Kernel der Sequenz definiert ist, um die Vereinigung der Vn der sein, vorausgesetzt, es ist nicht leer; andernfalls wird festgelegt zu sein. Damit der Kernel ist entweder verbunden offene Menge, die 0 oder die eine Punktmenge. Die Sequenz wird gesagt, dass es zu einer Kernel konvergieren, wenn jede Teilfolge hat denselben Kernel.

Beispiele

  • Wenn Un eine wachsende Folge von verbundenen offenen Mengen, die 0, dann wird der Kernel ist nur der Gewerkschaft.
  • Wenn Un eine fallende Folge von verbundenen offenen Mengen, die 0, dann, wenn 0 ein innerer Punkt von U1 ∩ U2 ∩ ... die Folge konvergiert auf die Komponente des Inneren enthält 0. Andernfalls, wenn 0 ist kein Innen Punkt, konvergiert die Folge zu.

Kernel-Theorem

Lassen Sie eine Folge von holomorphen einwertige Funktionen auf dem Gerät die Platte D, normiert, so dass fn = 0 und f 'n & gt fn sein; 0. Dann konvergiert fn gleichmäßig auf compacta in D auf eine Funktion f genau dann, wenn Un = fn konvergiert gegen seinen Kernel und dieser Kernel ist nicht C. Wenn der Kernel ist, dann f = 0. Ansonsten ist der Kernel ist ein angeschlossen offene Menge U, f univalente auf D und f = U.

Beweis

Verwendung Hurwitz-Theorem und Satz von Montel, ist es einfach, um zu überprüfen, dass, wenn fn neigt gleichmäßig auf compacta bis f dann wird jeder Teilfolge von Un hat Kernel U = f.

Umgekehrt, wenn Un konvergiert auf einen Kernel nicht gleich C, dann durch die Koebe Viertel Satz Un enthält die Festplatte mit einem Radius von f 'n / 4 mit dem Mittelpunkt 0. Die Annahme, dass U ≠ C bedeutet, dass diese Radien gleichmäßig beschränkt. Durch die Koebe Verzerrungssatz

Daraus ergibt sich die Folge fn gleichmäßig auf kompakten Mengen begrenzt. Wenn zwei Teilfolgen konvergieren holomorphe Grenzen f und g, dann f = g und f ', g' ≥ 0. Mit dem ersten Teil und den Annahmen folgt, dass f = g. Einzigartigkeit in der Riemannschen Abbildungssatz Kräfte f = g, so dass die ursprüngliche Sequenz fn gleichmäßig konvergent auf kompakten Mengen.

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