Bipolar Zylinderkoordinaten

Bipolar Zylinderkoordinaten sind ein dreidimensionales orthogonales Koordinatensystem, das von der Projektion der zweidimensionalen bipolaren Koordinatensystems in der senkrechten -Richtung führt. Die beiden Linien der Brennpunkte und der projizierten Apollonian Kreise sind allgemein gemacht, durch definiert werden, beziehungsweise in dem kartesischen Koordinatensystem.

Der Begriff "bipolar" wird oft verwendet, um andere Kurven mit zwei singuläre Punkte, wie zum Beispiel Ellipsen, Hyperbeln und Ellipsen Cassini beschreiben. Jedoch wird der Begriff bipolare Koordinaten nie verwendet, um die Koordinaten mit den Kurven, beispielsweise elliptischen Koordinaten zugeordnet beschreiben.

Grundlegende Definition

Die häufigste Definition der bipolaren Zylinderkoordinaten ist

wo die Koordinate eines Punktes gleich dem Winkel und der Koordinate gleich dem natürlichen Logarithmus des Verhältnisses der Abstände und den Brennlinien

Flächen konstanter entsprechen Zylindern unterschiedlicher Radien

dass alle durch die Brennlinien passieren und nicht konzentrisch. Die Oberflächen konstant sind nicht schneidenden Zylindern unterschiedlicher Radien

dass die Brennlinien umgeben, aber wieder nicht konzentrisch. Die Brennlinien und alle diese Zylinder sind parallel zu der -Achse. In der Ebene, die Zentren der Konstant und konstanter Flaschen liegen auf den und Achse.

Skalierungsfaktoren

Die Skalierungsfaktoren für die bipolaren Koordinaten und gleich sind

während die übrigen Skalierungsfaktor. Somit entspricht die infinitesimale Volumenelement

und die Laplace gegeben durch

Andere differentielle Operatoren wie und in den Koordinaten, die durch Substituieren der Skalenfaktoren in den allgemeinen Formeln in orthogonalen Koordinaten gefunden ausgedrückt werden.

Anwendungen

Die klassischen Anwendungen der bipolaren Koordinaten sind bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen, zB Laplace-Gleichung oder die Helmholtz-Gleichung, für die bipolare Koordinaten ermöglichen eine Trennung der Variablen. Ein typisches Beispiel wäre das elektrische Feld umgibt zwei parallelen zylindrischen Leiter sein.

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