Beschränkte Menge

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Januar 7, 2017 Fredo Plehwe B 0 45

In mathematischen Analyse und damit verbundenen Bereichen der Mathematik wird ein Satz heißt beschränkt, wenn es ist, in einem gewissen Sinne, von endlicher Größe. Umgekehrt ist ein Satz, der nicht begrenzt ist, wird als unbegrenzt. Das Wort begrenzt macht keinen Sinn, in einer allgemeinen topologischen Raum, ohne eine Metrik.

Definition

Eine Menge S reeller Zahlen heißt nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl k, so dass k ≥ s für alle s in S. Die Zahl k wird als eine obere Grenze von S. Die von unten und untere Grenze begrenzt Begriffe sind ähnlich definiert.

Ein Satz S beschränkt ist, wenn sie die oberen und unteren Grenzen. Daher wird ein Satz von reellen Zahlen beschränkt, wenn sie in einem endlichen Intervall enthalten ist.

Metrischen Raum

Eine Teilmenge S von einem metrischen Raum beschränkt ist, wenn er in einer Kugel von endlichen Radius enthalten ist, dh wenn es in x M und r & gt; 0, so daß für alle s in S, wir d & lt haben; r. M eine beschränkte metrischen Raum, wenn M als einer Untermenge von selbst begrenzt wird.

  • Insgesamt Beschränktheit impliziert, Beschränktheit. Für Untergruppen von R sind beide äquivalent.
  • Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann, wenn es vollständig und total beschränkt ist.
  • Eine Untergruppe der euklidischen Raum R ist kompakt, wenn und nur wenn es geschlossen ist und begrenzt ist.

Beschränktheit in topologischen Vektorräume

In topologischen Vektorräume, besteht eine andere Definition für die beschränkten Mengen, die manchmal genannt wird von Neumann Beschränktheit. Wenn die Topologie des topologischen Vektorraum durch eine Metrik, die homogen ist, wie im Fall einer Metrik von der Norm des normierten Vektorräumen induziert, dann die beiden Definitionen überein.

Beschränktheit, um Theorie

Eine Menge der reellen Zahlen ist beschränkt, wenn und nur wenn es eine obere und untere Grenze. Diese Definition ist erweiterbar auf Teilmengen von jedem Halbordnung. Dass dieses allgemeine Konzept der Beschränktheit nicht zu einem Begriff der "Größe" entsprechen.

Eine Teilmenge S einer Halbordnung P heißt nach oben beschränkt, wenn es ein Element k in P, so dass k ≥ s für alle s in S. Das Element k wird als eine obere Grenze von S. Die Konzepte der unten und der unteren begrenzt gebunden sind ähnlich definiert.

Eine Teilmenge S eines teilweise geordneten Menge P heißt beschränkt, wenn sie sowohl eine obere und eine untere Grenze, oder äquivalent, wenn sie in einem Intervall enthalten ist. Beachten Sie, dass dies nicht nur eine Eigenschaft der Menge S, sondern eines aus dem Satz S als Teilmenge von P.

Ein beschränktes Poset P ist eine, die eine mindestens Element und ein größtes Element hat. Beachten Sie, dass dieses Konzept der Beschränktheit hat nichts mit endlicher Größe zu tun, und dass eine Teilmenge S einer beschränkten Poset P mit so um die Beschränkung der Reihenfolge auf P ist nicht unbedingt ein beschränktes Poset.

Eine Teilmenge S von R in Bezug auf den euklidischen Abstand begrenzt ist, wenn es als Untergruppe von R mit dem Produkt um begrenzt. Jedoch kann S als Teilmenge von R mit der lexikographischen Ordnung begrenzt werden, aber nicht in Bezug auf den euklidischen Abstand.

Eine Klasse von Ordnungszahlen ist die grenzenlose oder kofinale zu sein, wenn da keine Ordnungs, gibt es immer ein Element der Klasse größer als sie. So in diesem Fall "unbounded" bedeutet nicht unbegrenzte selbst aber unbegrenzt als Unterklasse der Klasse aller Ordinalzahlen.

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