Beck-Theorem

Im Rahmen der diskreten Geometrie kann Beck-Theorem, mehrere unterschiedliche Ergebnisse, von denen zwei unten verwiesen. Beide erschienen, neben mehreren anderen wichtigen Lehrsätze, in einem bekannten Papier von József Beck. Die beiden nachfolgend beschriebenen Ergebnisse in erster Linie Untergrenzen betreffen auf der Anzahl der Zeilen durch eine Reihe von Punkten in der Ebene bestimmt.

Erdős-Beck-Theorem

Erdös-Beck-Theorem ist eine Variation des klassischen Ergebnisses LM Kelly und WO J. Moser mit Konfigurationen von n Punkten, von denen höchstens n-k kollinear irgendeinem 0 & lt; k & lt; O. Sie zeigten, dass, wenn n ausreichend groß ist, bezogen auf K, dann ist die Konfiguration umfasst mindestens KN- Leitungen.

Elekes und Csaba Toth beachten, dass die Erdős-Beck-Theorem nicht leicht zu höheren Dimensionen zu erweitern. Nehmen Sie zum Beispiel einen Satz von 2n Punkte in R allem auf zwei windschiefen Geraden liegen. Davon ausgehen, dass diese beiden Linien sind jeweils Vorfall n Punkten. Solch eine Konfiguration von Punkten umfasst nur 2n Ebenen. Somit wird eine triviale Erweiterung der Hypothese Punktmengen in R nicht ausreicht, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten.

Dieses Ergebnis wurde zuerst von Erdős vermutet und durch Beck bewährt.

Aussage des Satzes

S eine Gruppe von n Punkten in der Ebene sein. Wenn nicht mehr als n - k Punkte liegen auf allen Strecken für einige 0 ≤ k & lt; n - 2, dann es gibt Ω Linien durch die Punkte von S. ermittelt

Beweis

Beck-Theorem

Beck-Theorem besagt, dass Finite Sammlungen von Punkten in der Ebene in eine von zwei Extremen fallen; eine, wo ein großer Teil der Punkte liegen auf einer einzigen Leitung, und man in dem eine große Anzahl von Leitungen erforderlich sind, um alle Punkte zu verbinden.

Obwohl nicht in Becks Papier erwähnt, wird dieses Ergebnis durch die Erdős-Beck-Theorem impliziert.

Aussage des Satzes

Der Satz behauptet das Bestehen positive Konstanten C, K, so dass, dass angegebenen irgendwelche n Punkten in der Ebene, wahr ist zumindest eine der folgenden Aussagen:

  • Es ist eine Linie, die mindestens n / C der Punkte enthält.
  • Es existieren mindestens Leitungen, von denen jede zumindest zwei der Punkte enthält.

In Becks ursprüngliche Argument, C 100 und K eine unbestimmte Konstante; es ist nicht bekannt, was die optimalen Werte von C und K sind.

Beweis

Ein Nachweis der Beck-Theorem kann wie folgt angegeben werden. Man betrachte eine Menge P von n Punkten in der Ebene. Sei j eine positive ganze Zahl sein. Lassen Sie uns sagen, dass ein Paar Punkte A, B in der Menge P j-verbunden, wenn die Verbindungslinie zwischen A und B enthält, zwischen und Punkte P.

Vom Szemerédi-Trotter-Theorem, die Zahl solcher Leitungen ist, wie folgt: Wir betrachten die Menge P von n Punkten, und die Menge L aller dieser Linien durch Paare von Punkten P überspannt, die mindestens Punkte P. Hinweis enthalten, dass , da keine zwei Punkte können auf zwei verschiedenen Linien liegen. Nun mit Szemerédi-Trotter Theorem folgt, daß die Anzahl der Fälle zwischen P und L bei den meisten. Alle Linien, die j-verbundenen Punkte liegen ebenfalls in L und jeder trägt mindestens Vorfälle. Daher ist die Gesamtzahl solcher Linien.

Da jede solche Leitungspaare Punkte miteinander verbindet, so sehen wir, dass in den meisten Paaren von Punkten kann j-verbunden sind.

Nun, lassen Sie C eine große Konstante sein. Durch Addition der geometrischen Reihe, sehen wir, dass die Anzahl der Paare von Punkten, die j-j verbunden irgendeinem erfüllt sind, ist bei den meisten.

Andererseits ist die Gesamtzahl von Paaren. So, wenn wir wählen, C, um groß genug zu sein, können wir zumindest paarweise für jeden, der nicht j-verbunden sind. Die Linien, die diese Paare schließen Sie entweder passieren weniger als 2C Punkte oder durch mehr passieren als n / C Punkten. Wenn die letzteren Fall gilt für auch nur eines dieser Paare, dann haben wir den ersten Abschluss des Beck-Theorem. Man daher an, alle Paare von Linien, die durch weniger als 2C Punkte verlaufen verbunden. Aber jede solche Leitung kann in den meisten Paaren von Punkten verbinden. So muss es mindestens Verbindungslinien an mindestens zwei Stellen zu sein, und die Behauptung folgt, indem sie.

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