Bailey-Borwein-Plouffe-Formel

Der Bailey-Borwein-Plouffe-Formel ist ein Zapfen-Algorithmus zur Berechnung der n-te binäre Ziffer von Pi mit math. Die Formel kann den Wert einer gegebenen Stelle der π direkt zu berechnen, ohne die Berechnung des letzten Ziffern. Die BBP ist eine Zusammenfassung Stil Formel, die im Jahr 1995 von Simon Plouffe entdeckt wurde, und wurde nach den Autoren des Papiers, in dem die Formel veröffentlicht, David H. Bailey, Peter Borwein und Simon Plouffe benannt. Vor diesem Papier, war es von Plouffe auf seiner eigenen Website veröffentlicht. Die Formel ist

Die Entdeckung dieser Formel war eine Überraschung. Jahrhunderte lang wurde angenommen, dass es keinen Weg, um die n-te Ziffer der π zu berechnen, ohne die Berechnung der gesamte obige n - 1 Ziffern.

Seit dieser Entdeckung wurden viele Formeln für andere irrationale Konstanten der allgemeinen Form entdeckt worden

wobei α die Konstante und p und q Polynome in ganzzahligen Koeffizienten und b ≥ 2 ist eine ganze Zahl Zahlenbasis.

Formeln in dieser Form als BBP-Formeln Typ bekannt. Bestimmte Kombinationen von spezifischen p, q und b ergeben bekannten Konstanten, aber es gibt keine systematischen Algorithmus zum Finden der geeigneten Kombinationen; bekannten Formeln werden durch experimentelle Mathematik entdeckt.

Spezialisierungen

Eine Spezialisierung der allgemeinen Formel, die viele Ergebnisse erbracht hat, ist

wobei s, b und m ganze Zahlen sind und ein Vektor von ganzen Zahlen. Die P-Funktion führt zu einer kompakten Notation für einige Lösungen.

Bisher bekannte BBP-Typ-Formeln

Einige der einfachsten Formeln dieser Art, die gut vor BBP bekannt waren, und daß der P-Funktion führt zu einer kompakten Notation sind

Plouffe wurde auch durch die arctan Potenzreihe der Form inspiriert:

Die Suche nach neuen Gleichheiten

Verwendung der oben erwähnten P-Funktion ist die einfachste bekannte Formel für π für s = 1, aber m & gt; 1. Viele nun entdeckte Formeln werden für b als Exponent von 2 oder 3 und m bekannt ist, ist ein Exponent von 2 oder ein anderer Faktor reichen Wert ist, aber wo mehrere der Bedingungen der Vektor A gleich Null sind. Die Entdeckung dieser Formeln beinhaltet einen Computer Suche nach solchen Linearkombinationen nach der Berechnung der Einzelbeträge. Das Suchverfahren besteht aus der Auswahl einer Reihe von Parameterwerten für n, b und m, die Auswertung der Summen aus, um viele Stellen, und dann unter Verwendung eines ganzzahligen Verhältnis Suchalgorithmus, um einen Vektor A, die bis fügt diese Zwischensummen zu einem gut finden konstant oder vielleicht bekannt Null.

Die BBP Formel für π

Die Original BBP π Summenformel wurde 1995 von Plouffe mit PSLQ gefunden. Es ist auch darstellbar mit der P-Funktion oben:

hierdurch würde auch die zu dieser äquivalente Verhältnis zweier Polynome:

Diese Formel wurde durch eine strenge und ziemlich einfache Beweis gleich π gezeigt.

BBP-stelligen Extraktionsalgorithmus für π

Wir möchten eine Formel, die die hexadezimale Ziffer n von π zurückliefert. Wenige Manipulationen erforderlich sind, um zu implementieren einen Zapfen-Algorithmus mit dieser Formel.

Wir müssen zuerst die Formel als neu schreiben

Nun, für einen speziellen Wert von n und der Einnahme der ersten Summe, teilen wir die Summe auf unendlich für die n-te Glied

Wir haben jetzt multiplizieren mit 16, so dass die hexadezimale Punkt ist, in der n-ten Platz.

Da wir uns nur für den Bruchteil der Summe, schauen wir auf unseren beiden Begriffe und erkennen, dass nur die erste Summe in der Lage, ganze Zahlen zu erzeugen; Umgekehrt kann die zweite Summe nicht die ganzen Zahlen zu erzeugen, da der Zähler niemals größer als der Nenner für k & gt; n. Deshalb brauchen wir einen Trick, um die ganzen Zahlen für das erste Summe zu entfernen. Das Trick ist mod 8k + 1. Unsere Summe für die erste Bruchteil wird dann:

Beachten Sie, wie der Modulo-Operator immer gewährleistet, dass nur der Bruchsumme einbehalten. Um schnell und effizient zu berechnen 16 mod, verwenden Sie die modulare Potenzierung Algorithmus. Wenn die Laufprodukt größer als eins wird, nehmen Sie die Modulo genauso wie Sie für die laufende Summe in jeder Summe zu tun.

Nun, um die Berechnung müssen Sie dies auf jeden der vier Summen wiederum gelten abzuschließen. Sobald dies erledigt ist, nehmen Sie die vier Summen und legte sie zurück in der Summe zu ¸.

Da nur der Bruchteil genau ist, das Extrahieren der gewünschten stelligen erfordert, dass man entfernt die ganzzahlige Teil der Endsumme und vermehrt sich um 16 auf "abschöpfen" die hexadezimale Ziffer an dieser Position.

Dieses Verfahren ist ähnlich der Durchführung lange Multiplikationen, sondern nur mit der Additions einiger mittleren Spalten auszuführen. Zwar gibt es einige führt, die nicht gezählt werden, Computer in der Regel führen Rechen für viele Bits und sie ergänzen und wir nur an der höchstwertigen Stelle sind. Gibt es eine Möglichkeit, dass ein bestimmtes Rechen wird verwandt andernfalls einen niedrigen Wert, um die Anzahl 999999999999999 hinzufügen, und daß sich der Fehler an der höchstwertigen Stelle ausbreiten.

BBP Vergleich zu anderen Verfahren der Datenverarbeitung π

Dieser Algorithmus berechnet π ohne benutzerdefinierte Datentypen, die Tausende oder sogar Millionen von Ziffern erfordern. Das Verfahren berechnet den n-ten Ziffern ohne Berechnung der ersten n - 1 Ziffern und können kleine, effiziente Datentypen verwenden.

Der Algorithmus ist der schnellste Weg, um den n-ten Ziffern zu berechnen; weil dieser, durch die Verwendung mehrerer Maschinen ist es der schnellste Weg, um alle Ziffern von 1 bis n zu berechnen. Auch auf einer einzigen Maschine Wenn die Speichergröße aller Ziffern von 1 - n Ursachen Prügel auf der Maschine, es ist der schnellste Weg, um alle Ziffern von 1 bis n zu berechnen.

Obwohl die BBP Formel kann direkt berechnet den Wert einer gegebenen Stelle der π mit weniger Rechenaufwand als die Formeln, die alle dazwischenliegenden Stellen berechnen muss, bleibt BBP linearithmic wodurch sukzessive größere Werte von n immer mehr Zeit für die Berechnung erforderlich; das heißt, die "weiter außen" eine Zahl ist, desto länger dauert es, BBP um es zu berechnen, wie die Standard-π-Rechenalgorithmen.

Verallgemeinerungen

D. J. Broadhurst stellt eine Verallgemeinerung der BBP-Algorithmus, der verwendet wird, um eine Anzahl anderer Konstanten in nahezu lineare Zeit und logarithmischen Raum berechnet werden kann. Explizite Ergebnisse werden für die katalanische Konstante ,,, Apéry-Konstante, ,, ,, und verschiedene Produkte der Befugnisse und angegeben. Diese Ergebnisse werden in erster Linie durch die Verwendung von Polylogarithmus Leitern erhalten.

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