Automorphismus

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Dezember 25, 2015 Odo Tissen A 0 393

In der Mathematik ist ein Automorphismus ein Isomorphismus von einem mathematischen Objekt selbst. Sie ist in gewisser Weise eine Symmetrie des Objekts und Mittel zur Zuordnung des Objekts zu sich selbst unter Beibehaltung aller seiner Struktur. Die Menge aller Automorphismen eines Objekts bildet eine Gruppe, die so genannte Automorphismengruppe. Es ist, salopp gesagt, die Symmetriegruppe des Objekts.

Definition

Die genaue Definition eines Automorphismus, hängt von der Art der "mathematischen Objekt" in Frage und was genau stellt eine "Isomorphismus" des Objekts. Die allgemeine Einstellung, in der diese Worte haben Bedeutung ist eine abstrakte Zweig der Mathematik genannt Kategorientheorie. Kategorientheorie beschäftigt sich mit abstrakten Objekten und Morphismen zwischen diesen Objekten.

In der Kategorie der Theorie ist ein Automorphismus ein Endomorphismus, der auch ein Isomorphismus ist.

Dies ist eine sehr abstrakte Definition, da im Bereich der Theorie sind morphisms nicht unbedingt Funktionen und Objekte sind nicht notwendigerweise Sets. In den meisten Beton Einstellungen werden jedoch die Aufgaben werden Sätze mit einigen zusätzlichen Struktur sein, und die Funktionen werden morphisms Bewahrung dieses Struktur sein.

Im Rahmen der Algebra, beispielsweise ein mathematisches Objekt ist eine algebraische Struktur, wie eine Gruppe, Ring oder Vektorraum. Ein Isomorphismus ist einfach eine bijektive Homomorphismus ..

Die Identität Morphismus heißt triviale Automorphismengruppe in manchen Kontexten. Sind jeweils anderen nicht-triviale Automorphismen Automorphismen genannt.

Automorphismengruppe

Wenn die Automorphismen eines Objekts X bilden einen Satz, dann sind sie eine Gruppe bilden unter Komposition von Morphismen. Diese Gruppe wird als Automorphismengruppe von X, dass dies tatsächlich eine Gruppe ist einfach, um zu sehen:

  • Verschluss: Komposition von zwei Endomorphismen ist ein weiterer Endomorphismus.
  • Assoziativität: Komposition von Morphismen ist immer assoziativ.
  • Identität: der Identität ist die Identität morphism von einem Objekt zu sich selbst, die per Definition existiert.
  • Inversen: per Definition jede Isomorphismus eine Inverse der auch isomorph und da die inverse auch eine endomorphism des gleichen Objektes ist es eine automorphism.

Die Automorphismengruppe eines Objekts X in einer Kategorie C bezeichnet wird AUTC oder einfach Aut wenn die Kategorie aus dem Kontext klar.

Beispiele

  • In der Mengenlehre, ist eine beliebige Permutation der Elemente einer Menge X ein Automorphismus. Die Automorphismengruppe von X wird auch als symmetrische Gruppe auf X.
  • In der elementaren Arithmetik, die Menge der ganzen Zahlen, Z, als eine Gruppe unter Zugabe betrachtet, hat eine einzigartige nicht-trivialen Automorphismus: Negation. Als Ring betrachtet, aber es hat nur die triviale Automorphismengruppe. Generell ist die Negation ein Automorphismus von jeder abelschen Gruppe, aber nicht von einem Ring oder Feld.
  • Eine Gruppe Automorphismus ist eine Gruppe Isomorphismus aus einer Gruppe, zu sich selbst. Informell ist es eine Permutation der Elemente der Gruppe, so dass die Struktur unverändert bleibt. Für jede Gruppe G gibt es eine natürliche Gruppenhomomorphismus G → Aut, dessen Bild die Gruppe Inn der inneren Automorphismen und dessen Kernel ist das Zentrum der G. Wenn also G trivial Zentrum kann es in seine eigene Automorphismengruppe eingebettet werden.
  • In der linearen Algebra ist ein Endomorphismus eines Vektorraums V ein linearer Operator V → V. Ein Automorphismus eine invertierbare lineare Operator auf V. Wenn der Vektorraum ist endlich-dimensionalen, ist das gleiche wie das allgemeine lineare die Automorphismengruppe von V Gruppe, GL.
  • Ein Feld Automorphismus eine bijektive Ringhomomorphismus aus einem Feld zu sich selbst. In den Fällen der rationalen Zahlen und reelle Zahlen gibt es keine nicht-triviale Feld automorphisms. Einige Teilbereiche des R haben triviale Feld Automorphismen, die jedoch nicht auf alle erstrecken R. Bei der komplexen Zahlen, C, gibt es eine einzigartige nicht-trivialen Automorphismus, die R in R sendet: komplexe Konjugation, aber es gibt unendlich viele " wild "Automorphismen. Feld Automorphismen sind wichtig, um die Theorie der Körpererweiterungen, insbesondere Galoiserweiterungen. Im Falle Galoiserweiterung L / K ist die Untergruppe aller automorphisms L Befestigungs K punkt heißt Galois-Gruppe der Erweiterung.
  • Das Feld Qp von p-adische Zahlen hat keine nicht-triviale Automorphismen.
  • In der Graphentheorie ein Automorphismus eines Graphen eine Permutation der Knoten, Kanten und nicht-Kanten bewahrt. Insbesondere dann, wenn zwei Knoten durch eine Kante verbunden sind, so sind ihre Bilder unter der Permutation.
  • Für die Beziehungen finden Relation erhalt Automorphismus.
    • Um Theorie, siehe Bestell Automorphismus.
  • In der Geometrie kann ein automorphism eine Bewegung des Raumes bezeichnet. Fachterminologie wird auch benutzt:
    • In metrischen Geometrie ein Automorphismus ist ein selbst Isometrie. Die Automorphismengruppe wird auch als Isometriegruppe.
    • In der Kategorie der Riemannschen Flächen, ein Automorphismus eine bijektive biholomorphe Abbildung, von einer Oberfläche auf sich. Zum Beispiel sind die Automorphismen der Riemannschen Kugel sind Möbius Transformationen.
    • Ein Automorphismus eines differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ein Diffeomorphismus von M nach sich. Die Automorphismengruppe wird manchmal bezeichnet Diff.
    • In der Topologie sind Morphismen zwischen topologischen Räumen Dauerkarten genannt, und ein Automorphismus eines topologischen Raumes ist ein Homöomorphismus des Raumes auf sich selbst, oder selbst Homöomorphismus. In diesem Beispiel ist es nicht ausreichend für eine morphism zu bijektiv auf isomorph sein.

Geschichte

Eine der frühesten Gruppen Automorphismen wurde von der irischen Mathematiker William Rowan Hamilton im Jahre 1856 gegeben, in seinem icosian Kalkül, wo er entdeckt eine Bestellung zwei Automorphismus, schriftlich:

Innere und äußere Automorphismen

In einigen Kategorien, insbesondere Gruppen, Ringe und Lie-Algebren ist es möglich, Automorphismen in zwei Typen, die so genannte "innere" und "äußere" Automorphismen zu trennen.

Im Falle von Gruppen, wobei die inneren automorphisms die Konjugationen durch die Elemente der Gruppe selbst. Für jedes Element ein aus einer Gruppe G, die Konjugation durch a ist der Betrieb durch gegeben. Man kann sich leicht überprüfen, dass die Konjugation von A eine Gruppe Automorphismus. Die inneren Automorphismen bilden einen Normalteiler von Aut von Inn bezeichnet; dies wird als Goursat Lemma.

Die anderen Automorphismen sind äußere Automorphismen genannt. Der Quotient-Gruppe wird normalerweise durch Out bezeichnet; die nicht-trivial sind die Nebengruppen-Elemente, die die äußeren automorphisms enthalten.

Die gleiche Definition gilt in jedem unital Ring oder Algebra, wo a eine beliebige invertierbare Element. Für Liealgebren die Definition ist etwas anders.

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