Arthur-Merlin-Protokoll

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Januar 3, 2017 Emmo Melzer A 0 33

In Komplexitätstheorie, ist eine Arthur-Merlin-Protokoll ein interaktives Beweissystem, in dem Münzwürfen des Gutachters gezwungen sind öffentlich sein. Dieser Begriff wurde von Babai eingeführt. Goldwasser & amp; Sipser bewiesen, dass alle Sprachen mit interaktiven Beweise von beliebiger Länge mit eigenem Münzen haben auch interaktive Beweise mit öffentlichen Münzen.

Die Grundannahme ist, dass Arthur ist ein Standard-PC mit einem Zufallszahlenerzeugungseinrichtung ausgestattet, während Merlin ist effektiv ein Orakel mit unendlicher Rechenleistung; aber Merlin ist nicht unbedingt ehrlich, so Arthur müssen die Informationen, die von Merlin als Reaktion auf Arthurs Abfragen bereitgestellt analysieren und entscheiden, das Problem selbst. Ein Problem gilt als lösbar dieses Protokolls zu sein, wenn, wann immer die Antwort "ja", hat Merlin eine Reihe von Reaktionen, die dazu führen Arthur auf mindestens 2/3 der Zeit annehmen wird, und wenn, wann immer die Antwort "nein" ist, Arthur wird nie akzeptieren mehr als 1/3 der Zeit. Somit wirkt Arthur als probabilistischen Polynomialzeit-Verifizierer, vorausgesetzt, es wird polynomieller Zeit, ihre Entscheidungen und Abfragen zu machen zugeteilt.

MA

Die einfachste solches Protokoll ist das 1-Message-Protokoll, wo Merlin sendet Arthur eine Nachricht, und klicken Sie dann Arthur entscheidet, ob, indem Sie einen probabilistischen Polynomialzeit Berechnung zu akzeptieren oder nicht. Merlin hat keinen Zugang zu Arthurs Münzwürfen in diesem Protokoll, da es sich um ein Single-Message-Protokoll und Arthur wirft seine Münzen erst nach Erhalt Nachricht Merlins. Dieses Protokoll heißt MA. Informell ist eine Sprache L in MA, wenn für alle Zeichenfolgen in der Sprache gibt es ein Polynom große Beweis, dass Merlin kann Arthur schicken, um ihn auf diese Tatsache mit hoher Wahrscheinlichkeit zu überzeugen und für alle Zeichenfolgen nicht in der Sprache gibt es keinen Beweis dafür, dass Arthur überzeugt mit hoher Wahrscheinlichkeit. Allerdings ist Arthur nicht unbedingt ein BPP Gutachter als es ist nicht bekannt, ob MA ist in der Klasse enthalten sind.

Formal ist die Komplexitätsklasse MA der Satz von Entscheidungsproblemen, die in polynomieller Zeit von einem Arthur-Merlin-Protokoll, wo Merlins nur unterwegs jede Berechnung durch Arthur voraus entschieden werden kann. Mit anderen Worten, ist eine Sprache L in MA, wenn es einen Polynomialzeit-deterministische Turingmaschine M und Polynome p, q, so dass für jeden Eingabestring x der Länge n = | x |,

  • wenn x in L, dann
  • wenn x nicht in L, dann

Die zweite Bedingung kann alternativ wie folgt geschrieben werden

  • wenn x nicht in L, dann

Um dies mit der informellen obigen Definition zu vergleichen, z die angeblichen Beweise von Merlin und y ist die zufällige Zeichenfolge, die Arthur verwendet, die auch polynomiell beschränkt ist.

AM

Die Komplexitätsklasse AM ist der Satz von Entscheidungsproblemen, die in polynomieller Zeit von einem Arthur-Merlin-Protokoll mit zwei Meldungen entschieden werden kann. Es gibt nur eine Frage / Antwort-Paar: Arthur wirft einige zufällige Münzen und sendet das Ergebnis all seine Münze wirft, um Merlin, Merlin reagiert mit einem angeblichen Beweis und Arthur deterministisch überprüft den Beweis. In diesem Protokoll wird Arthur darf nur Ergebnisse der Münze senden wirft, um Merlin, und in der letzten Phase Arthur muss entscheiden, ob die Annahme oder Ablehnung nur mit seinem zuvor erzeugten Zufalls Münzwürfe und Nachrichten Merlins.

Mit anderen Worten, ist eine Sprache L in AM, wenn es einen Polynomialzeit-deterministische Turingmaschine M und Polynome p, q, so dass für jeden Eingabestring x der Länge n = | x |,

  • wenn x in L, dann
  • wenn x nicht in L, dann

Die zweite Bedingung kann hier umgeschrieben werden

  • wenn x nicht in L, dann

Wie oben, z die angeblichen Beweise von Merlin und y ist die zufällige Zeichenfolge, die Arthur verwendet, die auch polynomiell beschränkt ist.

Die Komplexitätsklasse AM ist die Menge der Probleme, die in polynomieller Zeit beschlossen werden kann, mit k Anfragen und Antworten. Uhr, wie oben definiert ist AM. AM würde mit einer Nachricht von Merlin Arthur, dann eine Nachricht von Arthur Merlin und dann schließlich auf eine Nachricht von Merlin, um Arthur zu starten. Die letzte Meldung sollte immer von Merlin Arthur sein, da es hilft, nie für Arthur eine Nachricht an Merlin vor der Entscheidung, seine Antwort zu senden.

Immobilien

  • Sowohl MA und AM unverändert bleiben, wenn ihre Definitionen geändert werden, um perfekte Vollständigkeit, was bedeutet, dass Arthur übernimmt mit Wahrscheinlichkeit 1, wenn x in der Sprache erfordern.
  • Für jede feste k ≥ 2, ist die Klasse AM gleich Uhr. Wenn k polynomiell am Eingang der Größe variieren, ist die Klasse AM eine viel stärkere Klasse, IP, von der bekannt ist gleich PSPACE sein.
  • MA in AM enthalten, da MA = AM, und Arthur kann nach Erhalt Merlins Zertifikat, drehen Sie die erforderliche Anzahl von Münzen, senden sie an Merlin, und ignorieren die Antwort.
  • Es ist offen, ob AM und MA sind unterschiedlich. Unter plausiblen Kreis untere Schranken, sie sind beide gleich NP.
  • AM ist die gleiche wie die Klasse BP.NP wo BP bezeichnet die beschränkte Fehler probabilistischen Operator. Auch ist eine Teilmenge der MA. Ob MA gleich ist eine offene Frage.
  • Die Umwandlung zu einem privaten Münze Protokoll, bei dem Merlin können das Ergebnis von Zufallsentscheidungen Arthur nicht vorhersagen, wird die Anzahl der Runden der Wechselwirkung von höchstens 2 im allgemeinen Fall zu erhöhen. So ist die privat Münze Version von AM ist gleich der öffentlich-Münze-Version.
  • MA enthält sowohl NP und BPP. Für BPP dies sofort, da Arthur kann einfach ignorieren Merlin und das Problem direkt zu lösen; für NP, braucht Merlin nur senden Arthur ein Zertifikat, das Arthur kann deterministisch in Polynomialzeit zu validieren.
  • Sowohl MA und AM sind in der Polynomialzeit-Hierarchie enthalten sind. Insbesondere wird MA in dem Schnittpunkt der Σ2 und Π2 enthalten und Am in Π2 enthalten. Noch ist MA in der Unterklasse enthalten, eine Komplexitätsklasse "symmetrische Wechsel" zum Ausdruck. Dies ist eine Verallgemeinerung der Sipser-Lautemann-Theorem.
  • AM ist in NP / poly enthalten sind, die Klasse der Entscheidungsprobleme berechenbar in nichtdeterministischen Polynomialzeit mit einem Polynom Größe Ratschläge. Der Beweis ist eine Variation von Adleman-Theorem.
  • MA in PP enthalten ist; Dieses Ergebnis ist auf Vereschchagin.
  • MA in seiner Quantenversion, QMA enthalten.
  • AM enthält das Problem der Entscheidung, ob zwei Graphen nicht isomorph. Das Protokoll mit Private-Münzen ist die folgende und kann auf eine öffentliche Münz-Protokoll umgewandelt werden. Gegeben zwei Graphen G und H, Arthur wählt zufällig eine von ihnen, und wählt eine zufällige Permutation seiner Ecken und präsentiert das permutierte Graphen I bis Merlin. Merlin hat zu beantworten, wenn ich von G oder H. erstellt Wenn die Graphen sind isomorph, wird Merlin in der Lage, mit voller Sicherheit zu beantworten. Wenn die Graphen isomorph ist es jedoch auch möglich, daß G oder H verwendet wurde, um I zu erzeugen, und mit gleicher Wahrscheinlichkeit. In diesem Fall hat Merlin keine Möglichkeit, sie zu unterscheiden und kann Arthur mit Wahrscheinlichkeit höchstens 1/2 überzeugen, und dies kann zu 1/4 durch Wiederholung amplifiziert werden. Dies ist in der Tat ein Null-Kenntnis-Beweis.
  • Wenn AM enthält coNP dann PH = Uhr. Dies ist ein Beweis, dass Graphisomorphie ist unwahrscheinlich, dass NP-vollständig sein, da es impliziert, Zusammenbruch der Polynomialzeit-Hierarchie.
  • Es ist bekannt, unter der Annahme ERH, dass bei einer D das Problem

Fußnoten

  • ^ Id = "cite_note-2"> ^ Für einen Beweis finden Rafael Pass und Jean-Baptiste Jeannin. "Vorlesung 17: Arthur-Merlin-Spiele, Zero-Knowledge-Beweise". Abgerufen 23. Juni 2010.
  • ^ Symmetric Alter fängt BPP
  • ^ Madhu Sudan, Algebra and Computation Skriptum, Vortrag 22
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