Alternierende Turingmaschine

In Komplexitätstheorie, eine alternierende Turingmaschine ist ein nicht-deterministische Turingmaschine mit einer Regel für die Annahme von Berechnungen, die bei der Definition der Komplexitätsklassen NP und co-NP verwendeten Regeln verallgemeinert. Das Konzept eines ATM wurde weiter von Chandra und Stockmeyer und unabhängig von Kozen im Jahr 1976 festgelegt, mit einem Gelenkzapfen Veröffentlichung im Jahr 1981.

Begriffsbestimmungen

Informelle Beschreibung

Die Definition der NP verwendet die existenzielle Art der Berechnung: Wenn jede Wahl führt zu einer akzeptierenden Zustand, dann ist die ganze Berechnung übernimmt. Die Definition von Co-NP verwendet die Universal-Modus der Berechnung: nur, wenn alle Entscheidungen führen zu einem akzeptierenden Zustand, dann ist die ganze Berechnung übernimmt. Des Wechselturingmaschine wechselt zwischen diesen Modi.

Ein Wechsel Turing-Maschine ist eine nicht-deterministische Turingmaschine, deren Zustände in zwei Gruppen unterteilt: existenzielle Zustände und universelle Staaten. Eine existentielle Zustand zu akzeptieren, wenn einige Übergang führt zu einem akzeptierenden Zustand; eine universelle Zustand zu akzeptieren, wenn jeder Übergang führt zu einem akzeptierenden Zustand .. Die Maschine als Ganzes übernimmt, wenn der Anfangszustand zu akzeptieren.

Formale Definition

Formal ist eine alternierende Turingmaschine ein 5-Tupel, wo

  •  ist die endliche Menge von Zuständen
  •  ist die Finite-Band-Alphabet
  •  wird als die Übergangsfunktion
  •  der Anfangszustand
  •  gibt die Art der einzelnen Staaten

Wenn M in einem Zustand mit dann, dass die Konfiguration wird gesagt, dass die Annahme, und wenn die Konfiguration wird gesagt, dass die Zurückweisung. Eine Konfiguration mit wird gesagt, dass die Annahme, wenn alle Konfigurationen in einem Schritt zu erreichen sind zu akzeptieren, und die Zurückweisung, wenn einige Konfigurations in einem Schritt erreicht wird abgelehnt. Eine Konfiguration mit wird gesagt, dass die Annahme, wenn es existiert eine gewisse Konfiguration in einem Schritt, das zu akzeptieren ist und die Zurückweisung, wenn alle Konfigurationen erreichbar in einem Schritt lehnen erreichbar. M soll eine Eingabezeichenfolge w, wenn die Erstkonfiguration von M ist die Annahme zu akzeptieren und zurückzuweisen, wenn die Anfangskonfiguration ablehnt.

Ressourcengrenzen

Bei der Entscheidung, ob eine Konfiguration einer ATM ist die Annahme oder Ablehnung mit der obigen Definition ist es nicht notwendig, alle Konfigurationen erreichbar über die aktuelle Konfiguration zu prüfen. Insbesondere kann eine existentielle Konfiguration zu akzeptieren, wenn eine Nachfolger-Konfiguration gefunden wird, um sein zu akzeptieren, und eine universelle Konfiguration kann als Zurückweisung, wenn eine Nachfolger-Konfiguration gefunden wird, werden abgelehnt markiert werden markiert werden.

Eine ATM entscheidet eine formale Sprache in der Zeit, wenn auf jede Eingabe der Länge, die Prüfung Konfigurationen nur bis zu den Schritten ist, die ausreicht, um die anfängliche Konfiguration als Annahme oder Ablehnung zu beschriften. Ein ATM entscheidet eine Sprache im Raum, wenn die Prüfung Konfigurationen, die Bandzellen nicht ändern, über die Zelle aus dem links ist ausreichend.

Eine Sprache, die durch eine ATM rechtzeitig für eine Konstante bestimmt wird, wird als in der Klasse, und einen im Raum entschieden Sprache wird als in der Klasse.

Beispiel

Die vielleicht einfachste Problem für Wechselautomaten zu lösen ist der quantifizierte Boolesche Formel Problem, das eine Verallgemeinerung der Boolesche Erfüllbarkeit Problem, bei dem jede Variable kann entweder durch eine existentielle oder Allquantor gebunden ist. Die alternierenden Maschine Niederlassungen existentiell, alle möglichen Werte eines existentiell quantifizierten Variablen versuchen und universell auf alle möglichen Werte eines universell quantifizierten Variablen zu versuchen, in der links-nach-rechts Reihenfolge, in der sie gebunden sind. Nach der Entscheidung, einen Wert für alle Variablen quantifiziert, übernimmt das Gerät, wenn die resultierende Boolesche Formel true ergibt, und weist, wenn es das Ergebnis falsch. Damit bei einer existentiell quantifizierten Variablen die Maschine anzunehmen, wenn ein Wert für die Variable, die das verbleibende Problem erfüllbar macht, und bei einem universell quantifizierten Variablen die Maschine zu akzeptieren, wenn jeder Wert ersetzt werden kann und das verbleibende Problem ist erfüllbar wechselt werden.

Eine solche Maschine entscheidet Boolesche Formeln in Raum und Zeit quantifiziert.

Der Boolesche Erfüllbarkeit Problem kann als Spezialfall, wo alle Variablen existentiell quantifiziert, so dass gewöhnliche Nichtdeterminismus, die nur existentielle Verzweigung verwendet betrachtet werden, um es effizient zu lösen.

Komplexitätsklassen und gegenüber deterministischen Turingmaschinen

Die folgenden Komplexitätsklassen sind nützlich, um für die Geldautomaten zu definieren:

  •  sind die Sprachen, in Polynomialzeit entscheidbar
  •  sind die Sprachen, entscheidbar in polynomialer Raum
  •  sind die Sprachen, entscheidbar in exponentieller Zeit

Diese sind vergleichbar mit den Definitionen von P, PBEREICH und EXPTIME, unter Berücksichtigung der durch einen ATM anstatt einer deterministischen Turingmaschine verwendeten Ressourcen. Chandra, Kozen und Stockmeyer bewiesen die Sätze

  • AP = PSPACE
  • APSPACE = EXPTIME
  • AEXPTIME = Expspace

wann und.

Eine allgemeine Form dieser Beziehung wird durch die Parallel-Rechen These ausgedrückt.

Bounded Wechsel

Definition

Ein Wechselturingmaschine mit k Wechsel ist eine alternierende Turingmaschine, die aus einer existenziellen zu einer universellen Zustand als k-1 mal .. Die Maschine hat keine Übergänge zwischen einem Zustand, in Satz i und einen Zustand, in Satz j wechselt oder umgekehrt nicht mehr & lt; ich.)

 ist die Klasse der Funktion in der Zeit beginnend von existentieller Staat und Wechselstrom zu den meisten Zeiten. Es ist die th Ebene der Hierarchie bezeichnet.

 sind die gleichen Klassen, sondern beginnt nach einer universellen Zustand ist es das Komplement der Sprache.

 wird in ähnlicher Weise für die Raum begrenzt Berechnung definiert.

Beispiel

Betrachten wir die Schaltung Minimierungsproblem: Bei einer Schaltung A Berechnen einer Booleschen Funktion f und eine Anzahl n, zu bestimmen, ob es einen Stromkreis mit höchstens n Gates, die die gleiche Funktion f errechnet. Ein Wechsel Turing-Maschine, mit einem Wechsel, beginnend in einer existentiellen Zustand kann dieses Problem in polynomieller Zeit lösen.

Zusammenbrechenden Klassen

Es wird gesagt, dass eine Hierarchie zusammenbricht um Stufe, wenn jeder die Sprache in Ebene der Hierarchie ist in seiner Ebene.

Als logische Folge des Immerman-Szelepcsényi Satz bricht der logarithmischen Raum Hierarchie seiner ersten Ebene. Als logische Folge die Hierarchie bricht zu seinem ersten Pegel, wenn Platz ist bebaubar.

Sonderfälle

Ein Wechsel Turing-Maschine in polynomieller Zeit mit k Wechsel, beginnend in einer existentiellen Zustand kann alle Probleme in der Klasse zu entscheiden. Diese Klassen werden manchmal bezeichnet und sind. Siehe die Polynomialzeit-Hierarchie Artikel für Details.

Ein weiterer Sonderfall der Zeithierarchien ist die logarithmische Hierarchie.

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