Algebraisch kompakte Modul

In der Mathematik, vor allem im Bereich der abstrakten Algebra als Modul Theorie algebraisch kompakte Module, die auch als rein injektiv Modulen bekannt, sind Module, die eine gewisse "nice" Eigenschaft, die die Lösung von unendlichen Gleichungssysteme im Modul durch finitäre ermöglicht haben bedeutet. Die Lösungen für diese Systeme ermöglichen die Ausdehnung bestimmter Arten von Modul homomorphisms. Diese algebraisch kompakten Module sind analog zu den Modulen, in denen man alle Modul Homomorphismen erstrecken injektiv. Alle injektiv Module sind algebraisch kompakt, und die Analogie zwischen den beiden wird durch eine Kategorie Einbettung sehr präzise gefertigt.

Begriffsbestimmungen

Es sei R ein Ring und M ein R-Modul links. Nehmen Sie zwei Sätze I und J, und für jedes i in i und j in J, ein Element rij von R, so dass für jedes i in I, nur endlich viele rij nicht null sind. Darüber hinaus nehmen Sie ein Element mi von M für jedes i in I. Diese Daten beschreiben ein System von linearen Gleichungen in M:

Das Ziel ist, zu entscheiden, ob dieses System eine Lösung, dh, ob Elemente gibt xj M für jedes j in J, so daß alle Gleichungen des Systems gleichzeitig erfüllt sind.

Betrachten wir nun ein solches System von linearen Gleichungen, und setzen die Subsystem aus nur endlich viele Gleichungen lösbar ist. Wenn jeder wie "endlich-lösbar" System ist selbst lösbar, dann nennen wir das Modul M algebraisch kompakt.

Ein Modul-Homomorphismus M → K wird als reine injektiv, wenn der induzierte Homomorphismus zwischen den Tensorprodukte C ⊗ M → C ⊗ K injektiv ist für jeden R-Rechtsmodul C Das Modul M ist rein-injektiv, wenn eine reine injektiv Homomorphismus j: M → K spaltet.

Es stellt sich heraus, dass ein Modul ist algebraisch kompakt genau dann, wenn es sich um rein injektiv.

Beispiele

Jedes Vektorraum algebraisch kompakt. Allgemeiner ist jede injektive Modul algebraisch kompakt, aus dem gleichen Grund.

Falls R einen assoziative Algebra mit 1 über einen gewissen Bereich k, dann ist jeder R-Modul mit endlichen k-Maß ist algebraisch kompakt. Dies führt zu der Intuition, die algebraisch kompakten Module sind die Module, die die schönen Eigenschaften der "kleinen" Module zu teilen.

Die Prüfer Gruppen sind algebraisch kompakten abelschen Gruppen.

Viele algebraisch kompakte Module können mit dem injektiv Kogenerator Q / Z von abelschen Gruppen hergestellt werden. Ist H ein richtige Modul über dem Ring R, bildet man die Charakter-Modul H *, bestehend aus allen Gruppenhomomorphismen von H bis Q / Z. Dies ist dann eine linke R-Modul und das * -Operation führt eine getreue kontra functor von rechts R-Modulen, um R-Modulen belassen. Jedes Modul des Formulars H * ist algebraisch kompakt. Darüber hinaus gibt es reine injektiv Homomorphismen H → H **, natürliche in H. Man kann oft ein Problem zu vereinfachen, indem zuerst die * -functor, da algebraisch kompakten Module sind einfacher zu handhaben.

Fakten

Die folgende Bedingung ist äquivalent zu M algebraisch kompakt:

  • Für jeden Indexmenge I kann die Zugabe Karte M → M zu einem Modul-Homomorphismus M → M. verlängert werden

Jeder unzerlegbaren algebraisch kompakte Modul verfügt über eine lokale Endomorphismenring.

Algebraisch kompakte Module teilen viele andere Eigenschaften mit injektive Objekte aus folgendem Grund: gibt es eine Einbettung von R-Mod in ein Grothendieck Kategorie G, unter denen die algebraisch kompakte R-Modulen genau auf die injektive Objekte in G. entsprechen

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