Algebra

In der Mathematik, insbesondere in Ringtheorie, eine Algebra über einem kommutativen Ring ist eine Verallgemeinerung des Konzepts einer Algebra über einem Feld, in dem die Basiskörper K wird von einem kommutativen Ring R. ersetzt

In diesem Artikel werden alle Ringe angenommen unital sein.

Formale Definition

Sei R ein kommutativer Ring. Ein R-Algebra ist ein R-Modul A zusammen mit einer binären Operation

genannte A-Multiplikation, die die folgende Axiom erfüllt:

  • Bilinearität:

Beispiel

Split-biquaternions

Die Split-biquatuernions sind ein Beispiel einer Algebra über einen Ring, der nicht ein Feld.

Der Basisring der Split-biquaternions ist der Ring der Split-komplexen Zahlen, die eine zweidimensionale kommutativen Algebra über den reellen Zahlen unterscheiden sich von den komplexen Zahlen sind. Jedes Binäre Zahl hat die Form

wobei x und y reelle Zahlen sind. Die Zahl j ist ähnlich zu der imaginären Einheit i, mit der Ausnahme, dass

Ein Split-Biquaternion ist eine hyperkomplexe Zahl der Form

wobei w, x, y und z sind gespalten-komplexe Zahlen und i, j und k multiplizieren, wie im Quaternionengruppe. Da jeder Koeffizient w, x, y, z umspannt zwei realen Abmessungen ist die Split-Biquaternion ein Element von einem Acht-dimensionalen Vektorraum. In Anbetracht, dass es eine Multiplikation führt, ist diese Vektorraum eine Algebra über dem realen Feld oder eine Algebra über einem Ring, wo die Split-komplexen Zahlen bilden den Ring. Diese Algebra wurde von William Kingdon Clifford in einem 1873 Artikel für die London Mathematical Society vorgestellt. Es hat sich immer wieder in mathematischen Literatur seitdem erwähnt, verschiedentlich als eine Abweichung in der Terminologie, eine Illustration der Tensorprodukt von Algebren, und als Illustration der direkte Summe von Algebren.

Assoziativen Algebren

Ist A ein Monoid unter A-Multiplikation, dann die R-Algebra heißt eine assoziative Algebra. Eine assoziative Algebra bildet einen Ring über R und stellt eine Verallgemeinerung von einem Ring. Eine entsprechende Definition eines assoziativen R-Algebra ist ein Ringhomomorphismus so daß das Bild von f in der Mitte A enthalten

Wenn der Ring B ein kommutativer Ring, eine einfachere, alternative Definition ist: Bei einem Ringhomomorphismus wir sagen, dass B ist eine A-Algebra.

Ein Ringhomomorphismus wird stets Karte der Identität eines auf die Identität von B. Wir sagen auch, dass B / A ist eine Algebra über A gegeben. Jeder Ring ist ein -Algebra.

Nicht assoziative Algebren

Ein nicht-assoziative Algebra über einem Körper K ein K-Vektorraum A mit einem K-bilineare Abbildung A × A → A ausgestattet, das eine binäre Multiplikation an A. stellt Da es nicht angenommen, daß die Multiplikation assoziativ ist, die Verwendung von Klammern um anzuzeigen, notwendig die Reihenfolge der Multiplikationen ist. So kann beispielsweise die Begriffe,) d und a (b) alle ergeben unterschiedliche Antworten.

  0   0

In Verbindung Stehende Artikel

Kommentare - 0

Keine Kommentare

Fügen Sie einen Kommentar

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Zeichen übrig: 3000
captcha