Alexandroff Verlängerung

In mathematischen Gebiet der Topologie ist die Alexandroff Erweiterung eine Möglichkeit, eine nichtkompakten topologischen Raum, indem neben einem einzigen Punkt in der Weise, dass die sich ergebende Raum ist kompakt zu verlängern. Es ist für die russische Mathematiker Pavel Alexandrov benannt.

Genauer gesagt sei X ein topologischer Raum. Dann wird die Alexandroff Verlängerung der X eine bestimmte kompakten Raum X * mit einer offenen Einbettung c: X → X *, so daß das Komplement von X in X * besteht aus einem einzigen Punkt, üblicherweise bezeichnet ∞. Die Karte C ist ein Hausdorff-Kompaktifizierung genau dann, wenn X ein lokal kompakt, nichtkompakten Hausdorff-Raum. Für diese Räume die Alexandroff Erweiterung wird als Ein-Punkt-Kompaktifizierung oder Alexandroff Kompaktifizierung. Die Vorteile der Alexandroff Kompaktifizierung in seiner einfachen, oft geometrisch sinnvolle Struktur und der Tatsache, dass es in einem präzisen Sinne minimal unter allen Kompaktifizierungen ist liegen; Der Nachteil liegt in der Tatsache, dass es gibt nur einen Hausdorff-Kompaktifizierung von der Klasse des lokal-kompakten, nichtkompakten Hausdorff-Räume, im Gegensatz zu den Stone-Čech-Kompaktifizierung, die für jede Tychonoff Raum, einem viel größeren Klasse von Räumen besteht.

Beispiel: inverse stereographische Projektion

Eine geometrisch ansprechend Beispiel eines Punkt Kompaktifizierung durch die inverse stereographische Projektion gegeben. Daran erinnern, dass die stereographische Projektion S gibt eine explizite Homöomorphismus von der Einheitskugel minus dem Nordpol zu der euklidischen Ebene. Die inverse stereographische Projektion ist eine offene, dichte Einbettung in eine kompakte Hausdorff-Raum, indem neben dem Zusatzpunkt erhalten. Unter der stereographischen Projektion Breitenkreise bekommen den planaren Kreise abgebildet. Daraus folgt, dass die gelöschte Nachbarschaft Grundlage von durch die punktierten Kugelkalotten übertragen, entspricht für die Ergänzung von geschlossenen ebenen Platten. Mehr qualitativ eine Umgebungsbasis in wird von den Sätzen, wie K eingerichtet reicht durch die kompakte Teilmengen. Dieses Beispiel enthält bereits die wichtigsten Konzepte des allgemeinen Fall.

Motivierung

Sei eine Einbettung von einem topologischen Raum X eine kompakte Hausdorff-topologischen Raum Y, dichtes Bild und Ein-Punkt-Rest mit. Dann c ist in einem kompakten Hausdorff-Raum offen, so ist lokal kompakte Hausdorff, daher der homöomorph Urbild X ist auch lokal kompakte Hausdorff. Außerdem, wenn X waren kompakte dann c würde in Y geschlossen werden und somit nicht dicht. So ein Raum kann nur zugeben, eine Ein-Punkt-Kompaktifizierung, wenn es lokal kompakt, nichtkompakten und Hausdorff. Darüber hinaus ist in einem solchen einen Punkt Kompaktifizierung das Bild einer Umgebungsbasis für x in X gibt eine Umgebungsbasis für c in c, und weil eine Teilmenge einer kompakten Hausdorff-Raum ist kompakt genau dann, wenn es geschlossen ist, die offene Umgebungen von Most werden alle Sätze von benachbarten zu dem Bild unter c einer Teilmenge von X mit kompakten Komplement erhalten.

Die Alexandroff Verlängerung

Sei X beliebige topologischer Raum, und lassen Sie jedes Objekt, das nicht bereits ein Element von X. Put und topologize sein, wobei als offene Mengen alle offenen Teilmengen U von X zusammen mit allen Untergruppen, die V enthalten, und so, dass geschlossen ist und kompakte ,.

Die Einbeziehung der Karte wird als Alexandroff Erweiterung des X.

Die vorgenannten Eigenschaften alle folgen aus der obigen Diskussion:

  • Die Karte C ist kontinuierlich und offen: Es bettet X als eine offene Teilmenge.
  • Der Raum ist kompakt.
  • Das Bild c dicht in, wenn X nichtkompakten.
  • Der Raum ist Hausdorff genau dann, wenn X Hausdorff und lokal kompakt.

Die Ein-Punkt-Kompaktifizierung

Insbesondere ist die Alexandroff Erweiterung eine Kompaktifizierung von X genau dann, wenn X Hausdorff, nichtkompakten und lokal kompakt. In diesem Fall spricht man von der Ein-Punkt-Kompaktifizierung oder Alexandroff Kompaktifizierung von X. Recall aus der obigen Diskussion, dass jede Kompaktifizierung mit einem Punkt Rest ist unbedingt der Alexandroff Kompaktifizierung.

Sei X beliebige nichtkompakten Tychonoff Raum. Unter der natürlichen Halbordnung auf der Menge der Äquivalenzklassen von Kompaktifizierungen ist jede minimale Element entspricht dem Alexandroff Erweiterung. Daraus folgt, dass ein nichtkompakten Tychonoff Raum gibt eine minimale Kompaktifizierung genau dann, wenn sie lokal kompakt ist.

Weitere Beispiele

  • Die Ein-Punkt-Kompaktifizierung der Menge der positiven ganzen Zahlen ist homöomorph zu dem Raum, bestehend aus K = {0} U {1 / n | n eine positive ganze Zahl ist.} der Reihenfolge Topologie.
  • Die Ein-Punkt-Kompaktifizierung von n-dimensionalen euklidischen Raum R homöomorph auf die n-Sphäre S. Wie oben, die Karte kann explizit als n-dimensionale inverse stereographische Projektion gegeben.
  • Seit dem Abschluß eines angeschlossenen Teilmenge verbunden ist, wird die Alexandroff Verlängerung eines nichtkompakten verbunden Raum verbunden. Jedoch ein Ein-Punkt-Kompaktifizierung kann "connect" einen getrennten Raum: zum Beispiel die Ein-Punkt-Kompaktifizierung der disjunkte Vereinigung von Kopien des Intervalls ist ein Keil aus Kreisen.
  • Die Alexandroff Erweiterung kann als Funktor von der Kategorie der topologischen Räumen zu der Kategorie, deren Objekte Dauerkarten und für die die Morphismen aus, um Paare von Dauerkarten, so dass eingesehen werden. Insbesondere haben homöomorph Räume isomorph Alexandroff Erweiterungen.
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