Affine Varietät

In der algebraischen Geometrie, eine affine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k ist die Null-Locus in der n-affine Raum der endlichen Familie der Polynome n Variablen mit Koeffizienten in k, die ein Primideal generieren. Wenn der Zustand der Erzeugung eines Primideal entfernt wird, wird eine solche Menge rief eine algebraische Set. Ein Zariski offenen Unterraum von einer affinen Varietät wird als quasi-affine Varietät.

Wenn X eine affine Varietät von einem Primideal I definiert, so ist der Quotient Ring

heißt das Koordinatenring von X. Dieser Ring ist genau die Menge aller regulären Funktionen auf X; in anderen Worten, es ist der Raum der globalen Abschnitte der Struktur Garbe X. Ein Satz von Serre gibt einen kohomologische Charakterisierung einer affinen Varietät: das heißt, affine algebraische Vielfalt genau dann, wenn

für jeden und jede quasi-kohärente Garbe F auf X. Das macht den kohomologische Studie einer affinen Varietät nicht vorhanden, in einem scharfen Kontrast zu der projektiven Fall, in dem Kohomologiegruppen von Linienbündeln von zentralem Interesse sind.

Eine affine Vielfalt spielt eine Rolle eines lokalen Chart algebraischer Varietäten; dh, allgemeiner algebraischer Varietäten wie projektive Varietäten durch Kleben affine Varietäten erhalten. Lineare Strukturen, die Sorten gebunden sind, auch affine Varietäten; z.B. Tangentialräume.

Eine affine Varietät ist, bis zu einer Gleichwertigkeit von Kategorien ein Spezialfall einer affinen Schema, das genau ist das Spektrum eines Rings. In komplexen Geometrie ist ein affiner Vielzahl Ein Analogon eines Stein vielfältig.

Einbringen

Die konkrete Sicht um eine affine algebraische Vielfalt zu beschreiben ist, dass es die Menge der Lösungen in einem algebraisch abgeschlossenen Körper k eines Systems von Polynomgleichungen mit Koeffizienten in k. Genauer gesagt, wenn Polynome mit Koeffizienten in k, eine affine Varietät definieren sie

Von Hilberts Nullstellensatz, die Punkte der Reihe sind in 1-1 Korrespondenz mit den maximalen Idealen seiner Koordinatenring, der k-Algebra über der Karte, wo zeigt das Bild in der Quotientenalgebra R des Polynoms In Schema-Theorie, hat diese Korrespondenz worden, um Primideale erweitert, um die affine Schema, das der Vielfalt durch eine Äquivalenz von Kategorien identifiziert werden können, zu definieren.

Die Elemente des Koordinaten Ring R sind auch die regulären Funktionen oder die Polynomfunktionen auf die Vielfalt genannt. Sie bilden den Ring der regulären Funktionen von der Sorte, oder einfach den Ring der Sorte. In der Tat ist ein Element das Bild von einem Polynom, das eine Funktion von k in k definiert; Die Beschränkung der f die Vielzahl nicht von der Wahl der zu den Polynomen über dem Quotienten zugeordnet abhängen.

Die Dimension einer Vielfalt eine ganze Zahl zu jeder Sorte und auch auf alle anderen algebraischen Satz, dessen Bedeutung beruht auf der großen Anzahl von dessen Äquivalent Definitionen zugeordnet.

Erste Immobilien

Lassen Sie in der A, B sind integrale Bereiche, die der Quotient aus dem Polynomring sind, k ein algebraisch abgeschlossener Körper.

  • Ein Morphismus affiner Sorten: Jede k-Algebra-Homomorphismus definiert die kontinuierliche Funktion durch
  • Jede abgeschlossene Teilmenge einer affinen Varietät hat die Form; Insbesondere ist es eine affine Vielfalt.
  • Für jede f in A, ist die offene Menge eine affine Subvarietät der X isomorph. Nicht jeder offenen Untervarietät ist diese Form

Beispiele

  • Jede geschlossene Untervarietät der affine Raum der Kodimension eins wird von einem Primideal des Polynomrings der Höhe einer, der Auftraggeber definiert sind; Somit sind sie Hyper
  • C - 0 eine offene Teilmenge des affine Varietät, die nicht affine; vgl Hartogs 'Fortsetzungssatz
  • Die Normalisierung einer irreduziblen affinen Varietät ist affine; der Koordinatenring der Normalisierung ist das Integral Schließung der Koordinatenring der Sorte.

Rationalen Punkte

Tangentialraum

Tangentialräume kann ebenso in Kalkül definiert werden. Lassen Sie Die affine Varietät. Dann wird die affine Subvarietät der durch die linearen Gleichungen definiert

wird als Tangentenraum auf Wenn der Tangentenraum bei x und der Vielzahl X dieselbe Dimension haben, wird der Punkt x dem glatt zu sein; andernfalls singulär.

Der wichtige Unterschied aus Kalkül ist, dass der Umkehrsatz ausfällt. Um dieses Problem zu verringern, muss man die étale Topologie anstelle des Zariski- Topologie berücksichtigen.

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